经济数学基础 第五章不定积分 第一单元原函数的概念 、学习目标 通过本节课的学习,理解原函数的概念 二、内容讲解 这节课我们讲原函数的概念,先来看什么是原函数 已知 求 总成本函数 边际成本 (x) 求 已知总成本C(x),求边际成本C(x),就是求导数.反之如果已知边际成本, 用MC表示,要求总成本,这就是我们要讨论的问题,也就是要知道哪一个函数的 导数等于MC.我们引进一个概念 定义1.1——原函数 若对任何x∈D,F(x)(x),则称F(x)为(x)的原函数 我们来看具体的问题:例如 (x3)=3x2[F(x)(x);∴x3是3x2的原函数 大家用自己的方法把它搞清楚,不要和导数的概念搞混了 先考虑这样一个问题:2x的原函数是哪个? 2
经济数学基础 第五章 不定积分 ——142—— 第一单元 原函数的概念 一、学习目标 通过本节课的学习，理解原函数的概念． 二、内容讲解 这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数． 已知 求 总成本函数 边际成本 C(x) C(x) ‖ （ ） MC ( ) = MC 求 已知 已知总成本 C(x)，求边际成本 C(x)，就是求导数．反之如果已知边际成本， 用 MC 表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的 导数等于 MC．我们引进一个概念： 定义 1.1——原函数 若对任何 xD，F(x)=f(x)，则称 F(x)为 f(x)的原函数． 我们来看具体的问题：例如 (x 3 ) =3x 2 [F(x) f(x)]；x 3 是 3x 2 的原函数． 大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数的概念搞混了． 先考虑这样一个问题：2x 的原函数是哪个？
经济数学基础 第五章不定积分 由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是2x,即它使得()=2x成立, 我们在下列函数中进行选择:2,1+x2,x2-4,hx,2x+1 经验证知1+x和x2-4是2x的原函数 通过这个过程应该弄清,求已知函数的原函数,就是看哪个函数的导函数是已 知函数,这个函数就是所求的原函数 另外,2x的原函数不唯一.它告诉我们原函数不止一个 再从另一方面提出问题:snx为哪个函数的原函数? (snx)=cosx,说明Sx是cOSx的原函数 同样(snx+3)=cosx,说明inx+3是cosx的原函数 事实上,Snx+c都是cOSx的原函数,说明原函数有无穷多个.那怎样求出一 个函数的所有原函数呢?这是下面要讨论的 若F(x),Gx)都是(x)的原函数,则G(x)=F(x)+c 证:设H(x)=F(x)-G(x) H(x)=F'(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0 可知f(x)=-C,即G(x)=F(x)+c 这个结论非常重要,我们已经知道,若F(x)是f(x)的原函数,则f(x)+C都 是∫(x)的原函数.而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数.所以只 要求出一个原函数,就能得到所有原函数 问题思考1:如果一个函数f(x)有原函数,它可能有多少个原函数 答案有无穷多个原函数
经济数学基础 第五章 不定积分 ——143—— 由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是 2x ，即它使得 ( ) = 2x 成立， 我们在下列函数中进行选择：2, 1 , 4, ln , 2 1 2 2 + − + x x x x 经验证知 2 1+ x 和 4 2 x − 是 2x 的原函数． 通过这个过程应该弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已 知函数，这个函数就是所求的原函数． 另外，2x 的原函数不唯一．它告诉我们原函数不止一个． 再从另一方面提出问题：sin x 为哪个函数的原函数？ (sin x) = cos x，说明 sin x 是 cos x 的原函数． 同样 (sin x + 3) = cos x ，说明 sin x +3 是 cos x 的原函数． 事实上， sin x + c 都是 cos x 的原函数，说明原函数有无穷多个．那怎样求出一 个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的． 若 F(x), G(x) 都是 f (x) 的原函数，则 G(x) = F(x) + c 证：设 H(x) = F(x) − G(x) H(x) = F(x) − G(x) = f (x) − f (x) = 0 可知 H(x) = −c，即 G(x) = F(x) + c 这个结论非常重要，我们已经知道，若 F(x) 是 f (x) 的原函数，则 F(x) + c 都 是 f (x) 的原函数．而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数．所以只 要求出一个原函数，就能得到所有原函数． 问题思考 1：如果一个函数 f (x) 有原函数，它可能有多少个原函数？ 答案有无穷多个原函数．
经济数学基础 第五章不定积分 问题思考2:F(x)是f(x)的原函数,F(x)+C是否包含了f(x)的所有原函数? 答案是,因为f(x)的任一原函数G(x)都可表示为F(x)+c的形式 三、例题讲解 例1求x的全体原函数 分析:先求一个原函数,再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数.求原 函数就是看哪个函数的导数是x 解:因为(nx)=-,所以mx是的一个原函数故的全体原函数为hx+ 例2判断一是哪个函数的原函数 分析:看-的导函数是哪个函数 (-) 11 解:因为x 所以x是x的原函数 四、课堂练习 求Snx的全体原函数 先求一个原函数,再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数.求原函数就是看哪个函 数的导数是Snx.因为(-cox)=smx,所以-csx是Snx的一个原函数 五、课后作业 求下列函数的一个原函数 (1)x2-1;(2)x;(3)32;(4)2e2
经济数学基础 第五章 不定积分 ——144—— 问题思考 2： F(x) 是 f (x) 的原函数， F(x) + c 是否包含了 f (x) 的所有原函数？ 答案是，因为 f (x) 的任一原函数 G(x) 都可表示为 F(x) + c 的形式． 三、例题讲解 例 1 求 x 1 的全体原函数． 分析：先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数．求原 函数就是看哪个函数的导数是 x 1 ． 解：因为 x x 1 (ln ) = ，所以 ln x 是 x 1 的一个原函数．故 x 1 的全体原函数为 ln x +c。 例 2 判断 x 1 是哪个函数的原函数． 分析：看 x 1 的导函数是哪个函数． 解：因为 2 1 ) 1 ( x x = − ，所以 x 1 是 2 1 x − 的原函数． 四、课堂练习 求 sin x 的全体原函数． 先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数．求原函数就是看哪个函 数的导数是 sin x ．因为 (−cos x) = sin x，所以 −cos x 是 sin x 的一个原函数． 五、课后作业 1．求下列函数的一个原函数： （1） 1 2 x − ；（2） x 1 ；（3） x 3 ；（4） 2 x 2e
经济数学基础 第五章不定积分 2.求下列函数的全体原函数 +1 (1)x2-√x (2)0:;(3)x0-1:(4)x 3 (2)x In/x) (3)h3;(4)e -x++c 2.(1) 33 (2):(3)27x+c ;(4)x--+2hx+C 145
经济数学基础 第五章 不定积分 ——145—— 2．求下列函数的全体原函数： （1） x − x 2 ；（2） 0 ；（3） 1 26 x − ；（4） 2 ) 1 ( x x + 1．（1） x x − 3 3 ；（2） x 1 ln x ；（3） ln 3 3 x ；（4） 2 x e 2．（1） x c x − + 2 3 3 3 2 3 ；（2） c ；（3） x c x − + 27 27 ；（4） x C x x − + 2ln + 1