经济数学基础 第三章导数的应用 第一单元函教的单调性 第一二节巫数的单调性 学习目标 通过本节课的学习,了解函数单调性的概念,同时还要掌握利用一阶导数对函 数在某一区间上的单调性的判别方法 内容讲解 1.本章概述 从这一讲开始讲第3章导数应用.在上一章的总结中指出,导数是特别重要的, 不仅在本课程中有很多应用,而且在将来的工作中也有很多应用 这一章中,主要讲导数在两方面的应用: 1.导数在研究函数时的应用;2.导数在经济中的一些应用 例1股市及股市曲线 在生活中,随着经济的发展,同学们或多或少都会接触股市.在股市上,人们 特别关注股市曲线,关心在哪一段时间股市在上升,哪一段时间股市会下降;或者 在哪一个时间达到峰值,哪一个时间达到低谷,低谷的值是多少? 例2生产场景及生产曲线 产量 在工业管理中,关心投入 与产量之间的关系,产量 随投入变化的情况,何时 投入 达到最高 88
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——88—— 第一单元 函数的单调性 第一、二节 函数的单调性 一、学习目标 通过本节课的学习，了解函数单调性的概念，同时还要掌握利用一阶导数对函 数在某一区间上的单调性的判别方法． 二、内容讲解 1.本章概述 从这一讲开始讲第 3 章导数应用．在上一章的总结中指出，导数是特别重要的， 不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用． 这一章中，主要讲导数在两方面的应用： 1．导数在研究函数时的应用；2．导数在经济中的一些应用 例 1 股市及股市曲线 在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们 特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者 在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少？ 例 2 生产场景及生产曲线 在工业管理中，关心投入 与产量之间的关系，产量 随投入变化的情况，何时 达到最高．
经济数学基础 第三章导数的应用 在下两讲中就是要讨论这个问题 2单调性判别 下面首先讨论 (一)定义3.1——函数的单调性 什么叫函数的单调性 1.1节中定义函数的单调性为:一个函数在一个区间之间随着自变量的增加 函数值也在增加,叫做单调増加的;如果随着自变量的增加,函数值却在减少,叫 做单调减少的.从函数本身或图形,都能判断函数的单调性,但有时还需要用导数 工具判别单调性 先考察y=x2,它的图形是抛 物线 在x>0处,函数单调上升; 在x0这一边的每一点处都 有切线时,切线的特征是:切线与x 轴正向的夹角一定小于90° 当在x<0这一边的每一点处都 有切线时, 切线的特征是:切线与x轴正向 的夹角一定大于90°
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——89—— 在下两讲中就是要讨论这个问题． 2.单调性判别 下面首先讨论 （一）定义 3.1——函数的单调性． 什么叫函数的单调性？ 1.1 节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加， 函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫 做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数 工具判别单调性． 当在 x0 这一边的每一点处都 有切线时，切线的特征是：切线与 x 轴正向的夹角一定小于 90． 先考察 y =x 2，它的图形是抛 物线． 在 x>0 处，函数单调上升； 在 x<0 处，函数单调下降
经济数学基础 第三章导数的应用 y=x 当x>0时,y’=2x>0 当x0,则fx)在a,b]上单调增加 (2)如果x∈(a,b)时,(x)(2)0,则∫(x)在[a,b]上单调增加(不减 (2)如果x∈(a,b)时,丿(x)(≤)0,则fx)在[a,b上单调减少(不增) “单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢? 90—
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——90—— 0 2 0 0 2 0 2 = = = x y x x y x y x 当 时， 当 时， （二）函数单调性定理 3.1 设函数 y = f (x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导. (1)如果 x (a，b)时， f (x)>0，则 f(x)在[a，b]上单调增加； (2)如果 x (a，b)时， f (x)( )0，则 f (x)在[a，b]上单调增加(不减)； (2) 如果 x (a，b)时， f (x)<( )0，则 f(x)在[a，b]上单调减少(不增)． “单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢？
经济数学基础 第三章导数的应用 单调增加是自变量变大,函数值也变大;而单调不减是自变量变大,函数值不 变小,即函数值也变大或函数值保持相等.所以,单调增加与单调不减是有一些差 别的 修改后的定理3.1如下 定理3.1′设函数y=x)在区间[a,b上连续,在区间(a,b)内可导 (1)如果x∈(a,b时,∫(x)≥0,则/x)在[a,b上单调不减 (2)如果x∈(a,b)时,∫(x)≤0,则fx)在[a,b上单调不增 由此我们可以说第二位同学的回答是正确的,下面给出证明. 结论:若f(x)=0,x∈[ab,则f(x)=c 证:∵f(x)=0→∫(x)既单调不增又单调不减→f(x)=c 问题思考:单调函数的导数也是单调的吗?请举例说明 答案不一定,例如函数f(x)=x3在区间(-∞,+)内是单调增加函数,但是其导数 f(x)=3x2在区间(∞,+∞)内不是单调函数又如g(x)=ex及其导数8'(x)=ex在区间 (-∞,+∞)内都是单调函数 、例题讲解 例1判别y=x2+1的单调性 [分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断,在学了定 y 理3.1后,就可以用导数来判断
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——91—— 单调增加是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不 变小，即函数值也变大或函数值保持相等．所以，单调增加与单调不减是有一些差 别的． 修改后的定理 3.1 如下： 定理 3.1 设函数 y=f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导 (1)如果 x (a，b)时， f (x) 0，则 f(x)在[a，b]上单调不减； (2)如果 x (a，b)时， f (x) 0，则 f(x)在[a，b]上单调不增． 由此我们可以说第二位同学的回答是正确的，下面给出证明． 结论：若 f (x) 0 ， x [a, b] ，则 f (x) = c． 证： f (x) 0 f (x) 既单调不增又单调不减 f (x) = c 问题思考：单调函数的导数也是单调的吗？请举例说明． 答案不一定．例如函数 f(x)=x3 在区间(- ,+ )内是单调增加函数，但是其导数 f (x)=3x2 在区间(- ,+ )内不是单调函数.又如 g(x)=ex 及其导数 g (x)=ex 在区间 (- ,+ )内都是单调函数． 三、例题讲解 例 1 判别 y=x 3+1 的单调性． [分析] 函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定 理 3.1 后，就可以用导数来判断．
经济数学基础 第三章导数的应用 解:∵定义域为(-∞,+∞),y(x)=3x2>0,x∈(-∞,+∞),且x≠0 y在(-∞,+∞)上单调增加 从图形上可以看出,这个函数的确在整个定义域上是单调增加的. 例2求y=2x3-9x2+12x6的单调区间 [分析]首先求出定义域,再利用定理3.1(利用导数作为工具)判断该函数 在哪个范围内单调增加,哪个范围内单调减少,即判断在哪个范围内导数大于0, 在哪个范围内导数小于0.因此,要求出使导数等于0的点(分界点),再作判 断. 解: 定义域为(-∞,+∞),y=6x2-18x+12 x2-3x+2=0;x-1)x-2)=0;x1=1,x=2 单调增加区间为(-∞,1,[2,+∞);单调减少区间为[1,2] 在右图形中x1=1,x2=2是分界点,在区间(,1]内,函数是单调增加的;而 在区间[1,2]内,函数单调减少;在区间[2,+∞)内,函数是单调增加的 92
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——92—— 解： 定义域为(- ,+ )， y (x)=3x 2>0，x (- ,+ )，且 x 0 y 在(- ,+ )上单调增加． 从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的． 例 2 求 y=2x 3 -9x 2+12x-6 的单调区间. [分析]首先求出定义域，再利用定理 3.1（利用导数作为工具）判断该函数 在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于 0， 在哪个范围内导数小于 0．因此，要求出使导数等于 0 的点（分界点），再作判 断． 解： 定义域为(- ,+ )， y = 6x 2 - 18 x + 12； x 2 - 3 x + 2 = 0；x– 1)( x – 2) = 0；x1 = 1, x2 = 2 单调增加区间为(- ,1]，[2，+ )；单调减少区间为[1，2]． 在右图形中 x1 = 1, x2 = 2 是分界点，在区间(- ,1]内，函数是单调增加的；而 在区间[1，2]内，函数单调减少；在区间[2，+ )内，函数是单调增加的．
经济数学基础 第三章导数的应用 例3求1+x的单调区间 (1+x) 解:∵定义域为(-∞,-1),(-1,+∞), x|(∞,1)-1(1,+∞) 单调增加区间为(-∞,-1),(-1,+∞) 从图形中看出,该函数确实在整个定义域内是单调增加的 归纳:求函数单调区间的步骤: ①确定(x的定义域:②求∫()=0和厂(x)不存在的点,并组成若干子区间 ③确定(x)在每个子区间内的符号,求出f(x)的单调区间 例4当x>0时,试证ln(1+x)x-=x [分析]先建立一个函数F(x),将问题转化为函数单调性讨论的问题;再利用导 数判断F(x)的单调增加性,得到要证明的结论 (1-x)= 证:F(x)=ln(1+x)(x-x2) 1+x 1+x 93
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——93—— 例 3 求 x x y + = 1 的单调区间. 解： 定义域为(- ,-1)，(-1，+ ), 2 2 (1 ) 1 (1 ) (1 ) x x x x y + = + + − = 单调增加区间为(- ,-1)，(-1，+ ) 从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的． 归纳：求函数单调区间的步骤： ①确定 f (x) 的定义域；②求 f (x) = 0 和 f (x)不存在的点，并组成若干子区间； ③确定 f (x)在每个子区间内的符号，求出 f (x) 的单调区间． 例 4 当 x > 0 时，试证 ln(1+x)> 2 2 1 x − x . [分析]先建立一个函数 F(x)，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导 数判断 F(x)的单调增加性，得到要证明的结论． 证：F(x)=ln(1+x)–( 2 2 1 x − x ) 0 1 (1 ) 1 1 ( ) 2 + − − = + = x x x x F x
经济数学基础 第三章导数的应用 Fx)单调增加.又F(0)=0,故当x>0时,F(x)0;即ln(1+x)>x 四、课堂练习:求函数x)=xe的单调区间 分析:求函数∫(x)的单调区间的步骤为:1.确定函数∫(x)的定义域 2求出函数f(x)在其定义域内J(x)=0的点和导数不存在的点,将这些点由小到大排列, 把定义域分成若干子区间 3.确定∫(x)在每个子区间内的符号通常的做法是:在该子区间内任取一点x,判定f(x 的符号,由于f(x)在该子区间内单调,故(x)的符号就是)(x)在该子区间内的符号 4根据每个子区间内(x)的符号,确定∫(x)的单调增减性,得到∫(x)的单调区间.利用幂 函数和指数函数求导公式求之 [(1)幂函数求导公式:若y=x,则y=ax:(2)指数函数求导公式:若 则y=,解:国因为几)=c的定义域为+∞),且f()(xe)=x-(e)=1c. 五、课后作业 1.已知函数y=f(x)的导数如下,问函数在什么区间内单调增加? (1)(x=023(2)((x+1)+2)(3)1()=(21(4)()(x+1 2.求下列函数的单调区间 (1)f(x)=x2-5x+6;(2)f(x)=-;(3)fx)=x4-2x2+1;(4)fx)=x2-nx 1.(1)(∞,0],[2,+):(2)-2,+∞),(3)(-∞,011,+∞) (4) (-1,+∞)2 (1)(-是单调减少区间,[,∞)是单调增加区间:(2)(-0),(0∞)是单调减少区
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——94—— F(x)单调增加．又 F(0)=0，故当 x>0 时，F(x)>0；即 ln(1+x)> 2 2 1 x − x ． 四、课堂练习：求函数 f(x)=x-e x 的单调区间． 分析：求函数 f(x)的单调区间的步骤为：1.确定函数 f (x)的定义域． 2.求出函数 f (x)在其定义域内 f (x) = 0 的点和导数不存在的点，将这些点由小到大排列， 把定义域分成若干子区间． 3.确定 f (x)在每个子区间内的符号．通常的做法是：在该子区间内任取一点 x0，判定 f (x0) 的符号，由于 f (x)在该子区间内单调，故 f (x0)的符号就是 f (x)在该子区间内的符号． 4.根据每个子区间内 f (x)的符号，确定 f (x)的单调增减性，得到 f (x)的单调区间．利用幂 函数和指数函数求导公式求之． [（1）幂函数求导公式：若 y = x ，则 = − y x 1 ；（2）指数函数求导公式：若 y=e x， 则 y =e x．解：因为 f(x)=x-e x的定义域为(- ,+ )，且 f (x)=(x-e x ) = x –(ex ) =1-e x。] 五、课后作业 1. 已知函数 y = f (x)的导数如下，问函数在什么区间内单调增加？ （1） f (x)=x(x-2)；（2） f (x)=(x+1)2 (x+2)；（3） f (x)=x 3 (2x-1)；（4） f (x)= 3 ( 1) 2 x + 2.求下列函数的单调区间： （1）f(x)=x 2 -5x+6；（2）f(x)= x 1 ；（3）f(x)=x 4 -2x 2+1；（4）f(x)=x 2 -lnx 1.（1） (−, 0]， [2, + ) ；（2） [−2, + ) ；（3） (−, 0]， , ) 2 1 [ + ；（4） (−1, + ) .2. （1） ] 2 5 (−, 是单调减少区间， , ) 2 5 [ 是单调增加区间；（2） (−,0) ，(0,) 是单调减少区
经济数学基础 第三章导数的应用 间:(3)(--1,[0是单调减少区间,[10,+)是单调增加区间:(4)(0.21 是单调减少区间,(2 ∞)是单调增加区间 95
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——95—— 间；（3） (−,−1]，[0,1] 是单调减少区间， [−1,0]，[1, + ) 是单调增加区间；（4） ] 2 2 (0, 是单调减少区间， , ) 2 2 [ 是单调增加区间