经济数学基础 第4章多元函数的微分 第三单元二元函数的极值 第一节二元巫教的极 学习目标 偏导数的重要应用就是求极值问题.通过本节的学习,弄清楚二元函数极值、 最值的概念,会用极值存在的必要条件求出简单二元函数的极值和最值 内容讲解 二元函数的极值 多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似 若对(x0,y0)附近的(xy)均有f(x0,y0)<f(xy),则称(n0)是f(xy)的极 小点,∫(x,)是极小值.极大值点、极小值点统称为极值点 2.极值存在的必要条件 若一元函数y=f(x)在x处可导,且x是极值点,则f(x)=0 若二元函数=f(xy)在(x0)处可导,且(xn,)是极值点,则 f(x0,y)=0.fy(xo,y0)=0 3.二元函数最大值、最小值 若=f(xy)在闭区域D内连续,则=f(x,y)在D内必有最大值和最小值 若=f(xy)在D内可导,且在D内有唯一驻点(x),则==f(x,y)在该驻 点(x0,y0)处的值就是最大值或最小值 4.求最大值最小值应用问题的步骤: 27
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——127—— 第三单元 二元函数的极值 第一节 二元函数的极值 一、学习目标 偏导数的重要应用就是求极值问题．通过本节的学习，弄清楚二元函数极值、 最值的概念，会用极值存在的必要条件求出简单二元函数的极值和最值． 二、内容讲解 1.二元函数的极值 多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似． 若对 ( , ) 0 0 x y 附近的 (x, y) 均有 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称 ( , ) 0 0 x y 是 f (x, y) 的极 小点， ( , ) 0 0 f x y 是极小值．极大值点、极小值点统称为极值点. 2.极值存在的必要条件 若一元函数 y = f (x) 在 0 x 处可导，且 0 x 是极值点，则 f (x0 ) = 0 若二元函数 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处可导，且 ( , ) 0 0 x y 是极值点，则 f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 3.二元函数最大值、最小值 若 z = f (x, y) 在闭区域 D 内连续，则 z = f (x, y) 在 D 内必有最大值和最小值． 若 z = f (x, y) 在 D 内可导，且在 D 内有唯一驻点 ( , ) 0 0 x y ，则 z = f (x, y) 在该驻 点 ( , ) 0 0 x y 处的值就是最大值或最小值． 4.求最大值最小值应用问题的步骤：
经济数学基础 第4章多元函数的微分 (1)根据题意,建立函数关系; (2)求驻点 如果驻点合理且惟一,则该驻点就是所求的应用问题的最大点(或最小点) 问题思考:二元函数的极值点与驻点之间有什么关系? 答案与一元函数类似,二元函数的驻点不一定是极值点,偏导数不存在的极值点也不是 驻点.但偏导数存在的极值点一定是驻点 三、例题讲解 例1求函数二=(x2+y2-2)在圆域D={xyx2+y22x)上的最大值和最 小值 解:显然〓≥0,且在闭域D上连续,当x2+y2=2x时,z=0,这是该函数 在D上的最小值 2(x2+ 0 下面求最大值: 解得x=1,y=0 它是函数=(x+y-2x)在D内部的唯一驻点,故是最大点,最大值为 (1,0)=1 例2用铁皮做一个体积为的无盖长方体箱子,问其尺寸为多少时,才能用 料最省? 解:设长、宽分别为xy,则高为一,表面积为 S 2 128
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——128—— （1）根据题意，建立函数关系； （2）求驻点； 如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点（或最小点）． 问题思考：二元函数的极值点与驻点之间有什么关系？ 答案 与一元函数类似，二元函数的驻点不一定是极值点，偏导数不存在的极值点也不是 驻点．但偏导数存在的极值点一定是驻点． 三、例题讲解 例1 求函数 2 2 2 z = (x + y − 2x) 在圆域 D (x, y); x y 2x 2 2 = + 上的最大值和最 小值． 解：显然 z 0 ，且在闭域 D 上连续，当 x y 2x 2 2 + = 时， z = 0 ，这是该函数 在 D 上的最小值． 下面求最大值： 2( 2 )(2 2) 0 2 2 = + − − = x y x x x z ， 2( 2 ) 2 0 2 2 = + − = x y x y y z 解得 x = 1, y = 0 它是函数 2 2 2 z = (x + y − 2x) 在 D 内部的唯一驻点，故是最大点，最大值为 z(1,0) = 1． 例 2 用铁皮做一个体积为 V 的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用 料最省？ 解：设长、宽分别为 x, y ，则高为 xy V ，表面积为 xy V y xy V S = xy + 2x + 2 x V y V = xy + 2 + 2
经济数学基础 第4章多元函数的微分 2 S=y-22=0S I32 解得x=y=V2F,此时高为x2 答:当长、宽、高分别为v2、√2、2时,无盖箱子用料最省 四、课堂练习 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告.根据统计资料,销 售收入R(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关 系有如下经验公式R=15+14x1+32x2-8x1x2-2x1-10x2,在广告费用不限的情 况下,求最优广告策略,使所获利润最大 利润=收入一费用。收入函数题目中已给出,费用只有电台广告费和报纸广告费,即为二 者之和.这是一个求二元函数极值在经济分析中的应用题.解题思路:(1)审清题意,弄清 题目己知什么?要求什么?(2)根据题意,建立函数关系.建立函数关系,要先设变量,然 后根据题意,找出变量之间的等量关系,用表达式表示出来即可.一般地说,设变量要根据题 意,求什么设什么.比如,当售价多少时,利润最大?就要设条件中的价格为自变量,而设结 果中的利润为因变量:再比如,销售量为多少时,成本最少?就要设条件中的销售量为自变量 而设结果中的成本为因变量.(3)求偏导数,并令其为0,得到联立方程组.(4)解联立方 程组,得到符合题意的惟一驻点.(5)由问题的实际意义可得知,问题存在着最值.又本题 只有一个驻点,即可判断此点即是所求的极值点,也是最值点.(6)求出最值,写出答案 五、课后作业 1要造一个容积为00cm3的长方体铁箱,应如何选择尺寸方可使所用材料最 9
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——129—— 0 2 2 = − = x V S y x ， 0 2 2 = − = y V S x y 解得 3 x = y = 2V ，此时高为 2 2 3 V xy V = 答：当长、宽、高分别为 3 2V 、 3 2V 、 2 2 3 V 时，无盖箱子用料最省． 四、课堂练习 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告．根据统计资料，销 售收入 R （万元）与电台广告费用 1 x (万元)及报纸广告费用 2 x （万元）之间的关 系有如下经验公式 2 2 2 R = 15 +14x1 + 32x2 − 8x1 x2 − 2x1 −10x ，在广告费用不限的情 况下，求最优广告策略，使所获利润最大． 利润＝收入－费用。收入函数题目中已给出，费用只有电台广告费和报纸广告费，即为二 者之和．这是一个求二元函数极值在经济分析中的应用题．解题思路：（1）审清题意，弄清 题目已知什么？要求什么？（2）根据题意，建立函数关系．建立函数关系，要先设变量，然 后根据题意，找出变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可．一般地说，设变量要根据题 意，求什么设什么．比如，当售价多少时，利润最大？就要设条件中的价格为自变量，而设结 果中的利润为因变量；再比如，销售量为多少时，成本最少？就要设条件中的销售量为自变量， 而设结果中的成本为因变量．（3）求偏导数，并令其为 0，得到联立方程组．（4）解联立方 程组，得到符合题意的惟一驻点．（5）由问题的实际意义可得知，问题存在着最值．又本题 只有一个驻点，即可判断此点即是所求的极值点，也是最值点．（6）求出最值，写出答案． 五、课后作业 1.要造一个容积为 3 1000cm 的长方体铁箱，应如何选择尺寸方可使所用材料最
经济数学基础 第4章多元函数的微分 省? 2.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为P和P2;销量分 别为4和q2;需求函数分别为q1=24-02,q2=10-005P2,总成本函数为 C=35+40(4+q2),试问:厂家如何确定两个市场的产品售价,使其获得的总利 润最大?最大总利润是多少? 1.当长、宽、高均为10cm时,所用材料最省。2.当P1=80,P2=120时,可获最大 利润为605 130—
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——130—— 省？ 2. 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 1 p 和 2 p ；销量分 别为 1 q 和 2 q ；需求函数分别为 1 2 1 q = 24 − 0. p ， 2 05 2 q =10 − 0. p ，总成本函数为 35 40( ) C = + q1 + q2 ，试问：厂家如何确定两个市场的产品售价，使其获得的总利 润最大？最大总利润是多少？ 1．当长、宽、高均为 10 cm 时，所用材料最省．2．当 p1 = 80, p2 =120 时，可获最大 利润为 605．
经济数学基础 第4章多元函数的微分 第二节批拾朗日乘数法 学习目标 拉格朗日乘数法是求解条件极值的有效方法之一.通过本节的学习,会用拉 格朗日乘数法求解条件极值问题,尤其是经济分析中较简单的条件极值问题. 二、内容讲解 1.条件极值 在第4课的例2中,给定体积V求用料最省的无盖长方盒,即求S=xy+2xh+2yh 在条件xyh=V下的最小值 2.拉格朗日乘数法 求函数f(x,y,)在条件叭xy)=0下的条件极值,可用如下的拉格朗日乘数 法:令拉格朗日函数F=f(x,y)+0(x,y,z) 求 F=f(x,y,)+λ叭(x,y,=)的(无条件)极值 aF =0,=F F 0 =0(,y,=)=0 解此方程组 问题思考:什么是条件极值问题?常用的解决方法是什么? 答案一个多元函数的条件极值问题实际上是求该函数的最大值(或最小值)问题,但所 求的并不一定是该函数在整个定义域上的最大值(或最小值),而是求该函数在定义域中的指 定区域上的最大值(或最小值),这个指定区域由条件方程给出.解决条件极值问题常用的方 法是拉格朗日乘数法 三、例题讲解 用拉格朗日乘数法解上节中的例2
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——131—— 第二节 拉格朗日乘数法 一、学习目标 拉格朗日乘数法是求解条件极值的有效方法之一．通过本节的学习，会用拉 格朗日乘数法求解条件极值问题，尤其是经济分析中较简单的条件极值问题． 二、内容讲解 1.条件极值 在第 4 课的例 2 中，给定体积 V，求用料最省的无盖长方盒，即求 S=xy+2xh+2yh 在条件 xyh=V 下的最小值． 2.拉格朗日乘数法 求函数 f (x, y,z) 在条件 (x, y,z) = 0 下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数 法：令拉格朗日函数 F = f (x, y,z) + (x, y,z) 求 F = f (x, y,z) + (x, y,z) 的（无条件）极值： 0, 0, = 0, = = z F y F x F = ( , , ) = 0 x y z F 解此方程组． 问题思考：什么是条件极值问题？常用的解决方法是什么？ 答案 一个多元函数的条件极值问题实际上是求该函数的最大值（或最小值）问题，但所 求的并不一定是该函数在整个定义域上的最大值（或最小值），而是求该函数在定义域中的指 定区域上的最大值（或最小值），这个指定区域由条件方程给出．解决条件极值问题常用的方 法是拉格朗日乘数法． 三、例题讲解 用拉格朗日乘数法解上节中的例 2：
经济数学基础 第4章多元函数的微分 求原题即为求S=xy+2xh+2在条件xyh=下的最小值 令 L=xy+2xh+2yh+i(xyh-v) aL Ch+ Ayh=0 =x+2h+xh=0 o1 x=1,由此可得:功=xh 解得x=y=2b,再由xh=V,解得x=y=2h=v2 四、课堂练习 某工厂生产甲、乙两种产品产量分别为xy(吨),又甲、乙两种产品产量总和 为34(吨),且其总成本为xy的函数C=C(x,y)=6x2+10y2-xy+30.求两种 产品产量各为多少时,总成本最小? 这是一个条件极值问题,即求在产量一定的条件下成本函数的最小值.这类题的解题思路 (1)审清题意,弄清题目已知什么?要求什么 (2)根据题意,设出变量,建立起函数关系,并找出条件函数 建立函数关系,要先设变量,然后根据题意,找出变量之间的等量关系,用表达式表示出 来即可.一般地说,设变量要根据题意,求什么设什么.比如,当售价为多少时,利润最大 就要设条件中的价格为自变量,而设结果中的利润为因变量:再比如,销售量为多少时,成本 最少?就要设条件中的销售量为自变量,而设结果中的成本为因变量 132
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——132—— 求原题即为求 S = xy + 2xh + 2yh 在条件 xyh = V 下的最小值． 令 L = xy + 2x h + 2yh + (xyh −V ) 2 2 0, 2 0, 2 0, = + + = = + + = = + + = x y xy h L x h xh y L y h yh x L xyh = V ，由此可得： = − + = + = + xy x y x h x h yh y 2h 2 2 2 解得 x = y = 2h ，再由 xyh = V ，解得 3 x = y = 2h = 2V 四、课堂练习 某工厂生产甲、乙两种产品产量分别为 x, y (吨)，又甲、乙两种产品产量总和 为 34（吨），且其总成本为 x, y 的函数 ( , ) 6 10 30 2 2 C = C x y = x + y − xy + .求两种 产品产量各为多少时，总成本最小？ 这是一个条件极值问题，即求在产量一定的条件下成本函数的最小值．这类题的解题思路 是： （1）审清题意，弄清题目已知什么？要求什么？ （2）根据题意，设出变量，建立起函数关系，并找出条件函数． 建立函数关系，要先设变量，然后根据题意，找出变量之间的等量关系，用表达式表示出 来即可．一般地说，设变量要根据题意，求什么设什么．比如，当售价为多少时，利润最大？ 就要设条件中的价格为自变量，而设结果中的利润为因变量；再比如，销售量为多少时，成本 最少？就要设条件中的销售量为自变量，而设结果中的成本为因变量．
经济数学基础 第4章多元函数的微分 条件函数也要根据题意找出自变量之间的等量关系,用表达式表示出来即可 (3)写出拉格朗日函数:F=f(x,y2)+叭xy,)其中,为待定的参数.求 aF )-= aF F=f(x,y,z)+1(x,y,3)的(无条件)极值:分 0.=0.,=p(x,y,z)=0 解此方程组.(xy,2)就是原来的条件极值的可能极值点 (4)求出最值,写出答案 五、课后作业 1.某工厂生产甲、乙两种产品,其出售价格分别为10元/件、9元/件.若生产甲、乙两 种产品分别为x件、y件时,总费用为400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2).问甲、乙产品的产量分别 为多少件时,可使总利润最大? 2.已知某工厂生产A、B两种产品,产量分别为x(单位:千件),利润函数为 L(xy)=2x-x+8y-3y-2(单位:百万元),已知生产这两种产品时,每千件均需消 耗某种原料1000公斤,现有该原料3000公斤,问两种产品各生产多少千件时,总利润最大? 最大总利润为多少? 3.某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告根据统计资料,销售收入 R(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式 R=15+14x1+32x2-8x1x2-2x1-10 若可使用的广告费用为1.5万元,求相应的最 优广告策略,使所获利润最大 4.试用拉格朗日乘数法求解:欲围一个面积为60平方米的矩形场地,正面所用材料每米 造价10元,其余三面每米5元.求场地长、宽各为多少米时,所用材料费最少? 1.甲、乙产品的产量分别为120件、80件时,可使总利润最大 2.两种产品均生产1.5千件时,总利润最大,最大总利润为4百万元 133
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——133—— 条件函数也要根据题意找出自变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可． （3）写出拉格朗日函数： F = f (x, y,z) + (x, y,z) 其中， 为待定的参数．求 F = f (x, y,z) + (x, y,z) 的（无条件）极值： 0, 0, = 0, = = z F y F x F = ( , , ) = 0 x y z F 解此方程组． (x, y,z) 就是原来的条件极值的可能极值点． （4）求出最值，写出答案． 五、课后作业 1．某工厂生产甲、乙两种产品，其出售价格分别为 10 元/件、9 元/件．若生产甲、乙两 种产品分别为 x 件、y 件时，总费用为 400+2x+3y+0.01(3x 2+xy+3y 2 )．问甲、乙产品的产量分别 为多少件时，可使总利润最大？ 2．已知某工厂生产 A、B 两种产品，产量分别为 x,y(单位：千件）,利润函数为 ( , ) 2 8 3 2 2 2 L x y = x − x + y − y − （单位：百万元），已知生产这两种产品时，每千件均需消 耗某种原料 1000 公斤，现有该原料 3000 公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？ 最大总利润为多少？ 3．某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告.根据统计资料，销售收入 R(万元）与电台广告费用 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式 2 2 2 R = 15 +14x1 + 32x2 − 8x1 x2 − 2x1 −10x ，若可使用的广告费用为 1.5 万元，求相应的最 优广告策略，使所获利润最大． 4．试用拉格朗日乘数法求解：欲围一个面积为 60 平方米的矩形场地,正面所用材料每米 造价 10 元，其余三面每米 5 元.求场地长、宽各为多少米时，所用材料费最少？ 1．甲、乙产品的产量分别为 120 件、80 件时，可使总利润最大． 2．两种产品均生产 1.5 千件时，总利润最大，最大总利润为 4 百万元．
经济数学基础 第4章多元函数的微分 3.在广告费用为1.5万元的条件下,应把1.5万全部用于报纸广告,可获最大利润 4.当场地长、宽分别为2√10米、3√10米时,所用材料费最少 134
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——134—— 3．在广告费用为 1.5 万元的条件下，应把 1.5 万全部用于报纸广告，可获最大利润． 4．当场地长、宽分别为 2 10 米、 3 10 米时，所用材料费最少．