经济数学基础 第一章函数 第一单元函数的概念 第一节郾数的概念 、学习目标 通过本节课的学习,理解函数的概念,了解函数的表示法,会计算函数值 二、内容讲解 同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学,在这一阶段所面对的数学对象的 特点是:所讨论的量在研究问题的过程中保持不变.只是从未知到已知.例如解方 程或方程组,求得的解都是固定不变的.又如讨论三角形,它的边长也是固定不变 的量.这些量叫做常量 常量一一只取固定值的量 这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的.如圆的面积与半径 的关系:S=x12 考虑半径r可以变化的过程.面积和半径叫做变量 变量—一可取不同值的量 变域一一变量的取值范围 我们考虑问题的过程中,不仅是一个变量,可能有几个变量.比如两个变量 要研究的是两个变量之间有什么关系,什么性质.函数就是变量之间确定的对应关 系.比如股市中的股指曲线,就是时间与股票指数之间的对应关系.又如银行中的 利率表 五 存期 六个月 年 年 年 匚年利率(5407:7.89
经济数学基础 第一章 函数 ——8—— 第一单元 函数的概念 第一节 函数的概念 一、学习目标 通过本节课的学习，理解函数的概念，了解函数的表示法，会计算函数值． 二、内容讲解 同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的 特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方 程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变 的量．这些量叫做常量． 常量——只取固定值的量 这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径 的关系：S=πr 2 考虑半径 r 可以变化的过程．面积和半径叫做变量． 变量——可取不同值的量 变域——变量的取值范围 我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量， 要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关 系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的 利率表 存期 六个月 一 年 二 年 三 年 五 年 年利率(%) 5.40 7. 7. 8. 9
经济数学基础 第一章函数 它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系 这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系.函数的定义是: 定义1.1——函数 设x,y是两个变量,x的变域为D,如果存在一个对应规则f,使得对D内的 每一个值x都有唯一的y值与x对应,则这个对应规则f称为定义在集合D上的 一个函数,并将由对应规则f所确定的x与y之间的对应关系,记为:y=f(x)称 x为白变量,为因变量或函数值,D为定义域.集合印=(x,x∈D称为函数 的值域 我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系 例题讲解 例1求函数hx-)的定义域 解=以x-D,求函数的定义域就是使表达式有意义的x。由对数函数的 性质得到x-1>0,即x>1;由分式的性质得到(x-1)≠0,即x-1≠1,即x≠2。 综合起来得出所求函数的定义域为D=(,2)(2,+) 例2设国际航空信件的邮资F与重量m的关系是的关系是 0<m≤10 4+03m-10),10<m≤200,求F(3),F(8)F(20)。 0<m≤10 解: 4+03(m-10),10<m≤200
经济数学基础 第一章 函数 ——9—— 47 92 28 00 它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系． 这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是： 定义 1.1——函数 设 x, y 是两个变量，x 的变域为 D，如果存在一个对应规则 f，使得对 D 内的 每一个值 x 都有唯一的 y 值与 x 对应，则这个对应规则 f 称为定义在集合 D 上的 一个函数，并将由对应规则 f 所确定的 x 与 y 之间的对应关系，记为： y = f (x) 称 x 为自变量，y 为因变量或函数值，D 为定义域．集合 {y y = f (x), xD} 称为函数 的值域． 我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系． 三、例题讲解 例 1 求函数 ln( 1) 1 − = x y 的定义域． 解： ln( 1) 1 − = x y ，求函数的定义域就是使表达式有意义的 x 。由对数函数的 性质得到 x −1 0 ，即 x 1 ；由分式的性质得到 ln( x −1) 0 ，即 x −11 ，即 x 2。 综合起来得出所求函数的定义域为 D = (1, 2) (2, + ) ． 例 2 设国际航空信件的邮资 F 与重量 m 的关系是的关系是 + − = 4 0.3( 10) , 10 200 4 , 0 10 ( ) m m m F m ,求 F(3), F(8), F(20) 。 解： + − = 4 0.3( 10) , 10 200 4 , 0 10 ( ) m m m F m
经济数学基础 第一章函数 m用3替代,由第一个关系式表示,得到F(3)=4,同样可以得到F(8)=4。m 用20替代,由第二个关系式表示,得到F(20)=7。 四、课堂练习 练习1求下列函数的定义域 1 (1)f(x)=1n(2-x)+ 5≤x<0 (2)f(x) 0≤x<2 练习2已知函数f(x)=x2+4x-5,求f(0),f(1),f(-x),f(x)+1 f(x+1),f(x)。 五、课后作业 .求下列函数的定义域 (1) In(x+1) 2.f(x)=x2+2,求f(0),f(1),f(-2),f(x+1),f(x)+1, 2<x≤1 3.设分段函数f(x)= 1<x<2 求f(x)的定义域,并求f(-1) f(1),f(2) 答案1.(1)(--别(5-3别0(3+),(2)(100+∞), 10-
经济数学基础 第一章 函数 ——10—— m 用 3 替代，由第一个关系式表示，得到 F(3) = 4 ，同样可以得到 F(8) = 4。m 用 20 替代，由第二个关系式表示，得到 F(20) = 7 。 四、课堂练习 练习 1 求下列函数的定义域： （1）f (x)＝ 1 ln(2 − x) ＋ 4 2 − x （2）f (x)＝ x x + − 2 1 2 −5 0 0 2 ≤ ＜ ≤ ＜ x x 练习 2 已知函数 f(x)＝x 2＋4x－5，求 f(0)，f(1)，f(－x)，f(x)＋1， f(x＋1)，f( 1 x )。 五、课后作业 1．求下列函数的定义域： （1） 8 15 1 2 + + = x x y ；（2） ln( 1) 1 + = x y ；（3） 1 4 1 2 + − − = x x y . 2．f (x)＝x 2＋2，求 f (0), f (1), f (－2), f (x＋1), f (x)＋1， f ( 1 x ) 3．设分段函数 f(x)＝ − + 5 , 2 , 2 x x 1 2 2 1 ＜ ＜ ＜ ≤ x − x ，求 f(x)的定义域，并求 f(－1)， f(1)，f( 2 3 )。 答案 1.（1） (−, − 5) (−5, − 3) (−3, + ) ，（2） (−1, 0) (0, + )
经济数学基础 第一章函数 (3)(.2)∪(2,+∞);2
经济数学基础 第一章 函数 ——11—— （3） (1, 2) (2, + ) ；2． ；3． 2 7 3 , 3 , 。 2 1 2，3 , 6 , 2 3 , 3 , 2 2 + + 2 + + x x x x
经济数学基础 第一章函数 郭二节郾数的基本性质 、学习目标 通过本节课的学习,了解函数的基本属性 二、内容讲解 下面把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下,也就是:函数的单 调性、奇偶性、有界性、周期性 定义1.2—函数的单调性 当一个变量增加时另一个变量也跟着增加,这样的函数就叫做单调增加的函 数.从图形上看这条曲线,曲线上的点x在增加的时候,它所对应的纵坐标y也在 增加,这样的函数是单调增加的.单调减少是相反的,随着x的增加相对应的y 在减少,这样的函数是单调减少的,正如图形中演示的这样.如果函数当x在增加 的时候,它所对应的y不是增加,也不是减少,这样的函数就不具有单调性 定义1.3—函数的奇偶性 一个函数的图形如果关于y轴对称,这样的函数就称为偶函数.从图形上来分 析,曲线上任一点关于y轴的对称点也在曲线上面,这条曲线所描绘的函数就是偶 函数.从解析式上看,如果有f-x)=x),fx)就叫做偶函数 个函数的图形如果关于原点对称,这样的函数就称为奇函数.曲线上任一点 关于原点的对称点也在曲线上面,这条曲线所描绘的函数就是奇函数.从解析式上 看,如果有f-x)=-f(x),fx)就叫做奇函数 定义1.4—函数的有界性 2
经济数学基础 第一章 函数 ——12—— 第二节 函数的基本性质 一、学习目标 通过本节课的学习，了解函数的基本属性． 二、内容讲解 下面把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单 调性、奇偶性、有界性、周期性． 定义 1.2——函数的单调性 当一个变量增加时另一个变量也跟着增加，这样的函数就叫做单调增加的函 数．从图形上看这条曲线，曲线上的点 x 在增加的时候，它所对应的纵坐标 y 也在 增加，这样的函数是单调增加的． 单调减少是相反的，随着 x 的增加相对应的 y 在减少，这样的函数是单调减少的，正如图形中演示的这样．如果函数当 x 在增加 的时候，它所对应的 y 不是增加，也不是减少，这样的函数就不具有单调性． 定义 1.3——函数的奇偶性 一个函数的图形如果关于 y 轴对称，这样的函数就称为偶函数．从图形上来分 析，曲线上任一点关于 y 轴的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是偶 函数．从解析式上看，如果有 f(－x)＝f(x)，f(x)就叫做偶函数． 一个函数的图形如果关于原点对称，这样的函数就称为奇函数．曲线上任一点 关于原点的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是奇函数．从解析式上 看，如果有 f(－x)＝－f(x)， f(x)就叫做奇函数． 定义 1.4——函数的有界性
经济数学基础 第一章函数 如果自变量在定义域中变化时,函数值始终在一个有限的区间内变化,如图形 中演示的,无论怎样变化,都有一M≤(x)≤M,这条曲线所反映的函数就是有界 函数 定义1.5—函数的周期性 如果存在一个正数7,对任意的自变量x,有爪x+7)=fx),这样的函数就叫 做周期函数.从图形上反映,这个函数在相隔为T的任意两点上函数值都是一样 的.也可以这样来看,从任意一点出发,以长度T为间隔划分区间,在每个区间上 的函数图形都是可以完全重合的 思考问题1:有界函数的界是否唯一? 不唯一.例如正数M是函数(x)的一个界,显然有|fx)|≤M0时的单调性 分析:可以利用单调性的定义,证明对任意的x>x2,有fx)/(x2) 解:当x>0时,对任意的x1>x2>0,有>x (当x1>x2>0时,在不等式x1>x2两端同乘以x1或x,显然有x>xx2, 由不等式的传递性就得到x>x2.) 由定义可知x)=x2当x>0时是单调增加的 例2判断下列函数的奇偶性:(1)y=x3-1 (2)y=xcos x 分析:利用关于奇偶函数的几个结论 13
经济数学基础 第一章 函数 ——13—— 如果自变量在定义域中变化时，函数值始终在一个有限的区间内变化，如图形 中演示的，无论怎样变化，都有－M ≤ f(x) ≤ M，这条曲线所反映的函数就是有界 函数． 定义 1.5——函数的周期性 如果存在一个正数 T，对任意的自变量 x，有 f(x + T )＝f(x)，这样的函数就叫 做周期函数．从图形上反映，这个函数在相隔为 T 的任意两点上函数值都是一样 的．也可以这样来看，从任意一点出发，以长度 T 为间隔划分区间，在每个区间上 的函数图形都是可以完全重合的． 思考问题 1： 有界函数的界是否唯一？ 不唯一．例如正数 M 是函数 f(x)的一个界，显然有∣f(x)∣≤M 0 时，对任意的 x1 > x2 >0，有 2 2 2 1 x x （当 x1 > x2 >0 时，在不等式 x1 > x2 两端同乘以 x1 或 x2，显然有 1 2 2 1 x x x ， 2 1 2 2 x x x ，由不等式的传递性就得到 2 2 2 1 x x ．） 由定义可知 f(x)＝x 2 当 x 0 时是单调增加的． 例 2 判断下列函数的奇偶性：（1）y＝x 3－1 （2）y＝xcos x 分析：利用关于奇偶函数的几个结论．
经济数学基础 第一章函数 解:(1)取x=1,-1,f1)=0,f(-1)=-2,显然f(1)-f(-1),由此可知 y=x3-1不是奇函数 又显然f(1)#(-1),由此可知y=x3-1不是偶函数 (2)因为y=x是奇函数,y=cosx是偶函数,而奇函数和偶函数的乘积是奇函 数.所以y= xsIn x是奇函数 四、课堂练习 练习1判断函数f(x)=x2+6x+9的单调性 练习2判断下列函数的奇偶性: (1)y=hx+x2+1),2)y=xmx,(3)y=x2+2 五、课后作业 判断下列函数在指定区间上的单调性: (1)y=x2-6x+5,x∈(-∞,3);(2)y=x2-2x+1,x∈(0,+∞) .判断下列函数的奇偶性 (1)y=x3+3x3-2x (2) y=xcosx (3) (1)在(-∞,3) 单调减少,(2)在O,)单调减少,在(1,+∞)单调增加 2.(1)奇函数(2)奇函数(3)偶函数
经济数学基础 第一章 函数 ——14—— 解：（1）取 x＝1，－1，f(1)＝0，f (－1)＝－2，显然 f (1)≠－f (－1),由此可知 y＝x 3－1 不是奇函数． 又显然 f (1) ≠f (－1),由此可知 y＝x 3－1 不是偶函数． （2）因为 y＝x 是奇函数，y＝cosx 是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函 数．所以 y＝xsin x 是奇函数. 四、课堂练习 练习 1 判断函数 f (x)＝x 2＋6x＋9 的单调性． 练习 2 判断下列函数的奇偶性： （1）y＝ln(x＋ x 2 + 1 )，2）y＝xsin x，（3）y＝x 5＋2. 五、课后作业 1．判断下列函数在指定区间上的单调性： （1） 6 5, ( , 3) 2 y = x − x + x − ；（2） 2 1, (0, ) 2 y = x − x + x + . 2．判断下列函数的奇偶性： （1） y x 3x 2x 5 3 = + − ； （2） y = x cos x ； （3） 2 x x a a y − + = . 1．（1）在 (−, 3) 单调减少．（2）在 (0, 1) 单调减少，在 (1, + ) 单调增加. 2．（1）奇函数 （2）奇函数 （3）偶函数
