经济数学基础 第三章导数的应用 第二单元函数极值 第一节函数极值及存在杀芹 、学习目标 通过本节课学习,理解极值概念和极值存在的必要条件,掌握极值的判别方法 和极值的求法 内容讲解 (1)极值概念 定义3.2——极值概念 设函数∫(x)在点x的某邻域内有定义.如果对该邻域内的任意一点x(x≠x0), 恒有(x)5(2)xo),则称(o).为函数(x)的极大(小)值,称x为函数(x)的极大(小) 值点 函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为极值点 大家看下面这个图形 X Aa K 在一个坐标平面中画出一条曲线,即给出一个函数,并找出一些特殊点x,x2 ,x4,xs和两个端点 95
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——95—— 第二单元 函数极值 第一节 函数极值及存在条件 一、学习目标 通过本节课学习，理解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值的判别方法 和极值的求法． 二、内容讲解 （1）极值概念 定义 3.2——极值概念 设函数 f (x)在点 x0 的某邻域内有定义．如果对该邻域内的任意一点 x (x x0)， 恒有 f(x) () f(x0)，则称 f (x0)为函数 f (x) 的极大(小)值，称 x0 为函数 f (x) 的极大(小) 值点． 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 大家看下面这个图形： 在一个坐标平面中画出一条曲线，即给出一个函数，并找出一些特殊点 x1，x2， x3，x4，x5 和两个端点．
经济数学基础 第三章导数的应用 哪些点是极大值点呢?可以看到x1是极大值点,x4也是极大值点 端点b是不是极大值点呢?极大值点是指它的函数值要比周围的值都大 而端点b的右边是没有函数值,所以它不是极大值点 再找一找哪些是极小值点?x2是一个极小值点,x5也是一个极小值点 x3是极大值点还是极小值点呢?不是,它不是极值点,因为找不到一个小范围 使它的函数值成为最大或最小 (2)极值求法 下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法 分析函数在极值点处具有什么特征 x1是极大值点,曲线在这一点处是较光滑的,切线是存在的,而且切线是一 条水平线;x5是极小值点,曲线在这一点处也是较光滑的,切线也是存在的,也 是一条水平线.由此可得到,若曲线在一点处是较光滑的,而这一点是极值点, 那么它的切线一定是水平的,即它的导数为 定理3.2——极值点必要条件 如果点x是函数/(x)的极值点,且f(x)存在,则∫(o)=0使f(x0)=0的点, 称为函数(x)的驻点 定理3.2表示,如果一个点是极值点,而且在可导的条件下,这个点一定是驻 这样,极值点可以在驻点或不可导点处找到 说明:1.若/(o)不存在,则x0不是(x)的驻点 2.定理3.2是极值存在的必要条件 96
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——96—— 哪些点是极大值点呢？ 可以看到 x1 是极大值点，x4 也是极大值点． 端点 b 是不是极大值点呢？ 极大值点是指它的函数值要比周围的值都大， 而端点 b 的右边是没有函数值，所以它不是极大值点． 再找一找哪些是极小值点？ x2 是一个极小值点，x5 也是一个极小值点． x3 是极大值点还是极小值点呢？不是，它不是极值点，因为找不到一个小范围， 使它的函数值成为最大或最小． （2）极值求法 下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法． 分析函数在极值点处具有什么特征． x1 是极大值点，曲线在这一点处是较光滑的，切线是存在的，而且切线是一 条水平线；x5 是极小值点，曲线在这一点处也是较光滑的，切线也是存在的，也 是一条水平线．由此可得到，若曲线在一点处是较光滑的，而这一点是极值点， 那么它的切线一定是水平的，即它的导数为 0． 定理 3.2——极值点必要条件 如果点 x 0 是函数 f (x)的极值点，且 f (x0)存在，则 f (x0)=0 使 f (x0)=0 的点， 称为函数 f(x)的驻点． 定理 3.2 表示，如果一个点是极值点，而且在可导的条件下，这个点一定是驻 点． 这样，极值点可以在驻点或不可导点处找到． 说明：.若 f (x0)不存在，则 x0不是 f(x)的驻点． .定理 3.2 是极值存在的必要条件．
经济数学基础 第三章导数的应用 根据刚才的分析,函数的极值点或者是不可导点,或者是驻点.但是,驻点并 不一定是极值点.例如:函数y=x3在x0=0 处,(x0)=0,由图可知,x0=0不是极值点 因此,请大家想一想 极值存在的充分条件是什么? 回答这个问题之前,我们先借助于几何直观来分析 从这个图形中很容易的看出,函数fx)在点x0 处达到极大,x0是极大值点.当然,函数在这一点 f(x0)=0处切线是存在的,函数在这一点是可导的,而且满 足极值的必要条件(xo)=0 f(x)>0 f(x)0 特征:点x的左边曲线是上升的,即导数值大 于0;右边曲线是下降的,即斜率小于0 由此可知,在可导的条件下,极值点的左右两边的导数符号是不一样的 从图形上显然看出x0也是极大值点,但在这一点处导数不存在,这个极大值点 是不可导点 特征:在点x0的左右两边的曲线都是可导的情况下,若点x0是极大值点,则它 左边的导数大于0,右边的导数小于0
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——97—— 根据刚才的分析，函数的极值点或者是不可导点，或者是驻点．但是，驻点并 不一定是极值点．例如：函数 y=x 3 在 x0=0 处， f (x0)=0，由图可知，x0=0 不是极值点． 因此，请大家想一想： 极值存在的充分条件是什么？ 回答这个问题之前，我们先借助于几何直观来分析． 从这个图形中很容易的看出，函数 f(x)在点 x0 处达到极大，x0 是极大值点．当然，函数在这一点 处切线是存在的，函数在这一点是可导的，而且满 足极值的必要条件 f (x0)=0． 特征：点 x0 的左边曲线是上升的，即导数值大 于 0；右边曲线是下降的，即斜率小于 0． 由此可知，在可导的条件下，极值点的左右两边的导数符号是不一样的． 从图形上显然看出 x0 也是极大值点，但在这一点处导数不存在，这个极大值点 是不可导点． 特征：在点 x0 的左右两边的曲线都是可导的情况下，若点 x0 是极大值点，则它 左边的导数大于 0，右边的导数小于 0．
经济数学基础 第三章导数的应用 由这两个图可知,若xo是函数fx)的驻点或不可导点,且在点x的左、右两边 的导数由正变负,则x是极值点,而且是极大值点.这一结论具有一般性,它是充 分条件的一部分 再看极小值点.从图中很容易发现xo是极 小值点.由于x是fx)的可导点,所以满足极值的 f(x)下0 ∫(x)>0必要条件/(xo)=0 Jf(x0)=0 若xo是极小值点,则它的右边曲线的斜率大于0 即导数值大于0:而在左边,它的斜率小于0,即导 数值小于0.所以,一个驻点是极小值点时,它的 左、右两边的导数符号也是不一样的 x0是这个函数极小值点,但是不可导点.它所具有的特征是:在可导的条件下 右边的导数大于0,x0左边的导数小于0 归纳:只要xo满足极小值点的必要条件,那么在x0左右两边函数可导的条件下 左右两边的导数符号是不一样的,而且从左到右,导数的符号从负的变为正的. f(x)>0 f(x) f(x0)=0 f(x)0 在这种情况下,x不是极值点.在x左右两边函数可导的条件下,两边的切线 方向是一致的.也就是说,尽管xo满足了极值点的必要条件f(x)=0,但在x0的 左右两边,导数不变号,因此可以肯定x不是极值点.x也不是函数的极值点,且 在x左右两边,导数的符号是一样的 98-
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——98—— 由这两个图可知，若 x0 是函数 f(x)的驻点或不可导点，且在点 x0 的左、右两边 的导数由正变负，则 x0 是极值点，而且是极大值点．这一结论具有一般性，它是充 分条件的一部分． 再看极小值点．从图中很容易发现 x0 是极 小值点．由于 x0 是 f(x)的可导点，所以满足极值的 必要条件 f (x0)=0． 若 x0 是极小值点，则它的右边曲线的斜率大于 0， 即导数值大于 0；而在左边，它的斜率小于 0，即导 数值小于 0．所以，一个驻点是极小值点时，它的 左、右两边的导数符号也是不一样的． x0 是这个函数极小值点，但是不可导点．它所具有的特征是：在可导的条件下， x0 右边的导数大于 0，x0 左边的导数小于 0． 归纳：只要 x0 满足极小值点的必要条件，那么在 x0 左右两边函数可导的条件下， 左右两边的导数符号是不一样的，而且从左到右，导数的符号从负的变为正的． 在这种情况下，x0 不是极值点．在 x0 左右两边函数可导的条件下，两边的切线 方向是一致的．也就是说，尽管 x0 满足了极值点的必要条件 f (x0) = 0，但在 x0 的 左右两边，导数不变号，因此可以肯定 x0 不是极值点．x0 也不是函数的极值点，且 在 x0 左右两边，导数的符号是一样的．
经济数学基础 第三章导数的应用 由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件 f(x)0 定理3.3——极值点的充分条件 设函数x)在点x的邻域内连续并且可导(x0)可以不存在).如果在点x的 左邻域内f(x(),那么x是(x)的极大(小) 值点,且(xo)是fx)的极大(小)值 如果在点x0的邻域内,()不变号,那么x不是(x)的极值点 问题思考:若x是/x)的极值点,则一定有(xo)=0吗?举例说明.不一定.例 如,f(x)=x,x∈(一+(O),那么,x0是f()的极值点。但在x0处,f()不存在 、例题讲解 例1设函数y=e-x+1,求驻点 [分析]驻点就是使导数等于0的点 ,由y=e-1=0,得 注意:这里求出的x=0不能说是函数的一个极值点,只能说是函数的一个驻 点.可导函数丿(x0)=0是点x为极值点的必要条件,但不是充分条件 例2设=x-ln(1+x,求极值点 99
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——99—— 由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件． 定理 3.3——极值点的充分条件 设函数 f(x)在点 x0 的邻域内连续并且可导(f(x0)可以不存在)．如果在点 x0 的 左邻域内 f (x)>()0，那么 x0 是 f(x)的极大(小) 值点，且 f(x0)是 f(x)的极大(小)值． 如果在点 x0 的邻域内， f (x)不变号，那么 x0 不是 f(x)的极值点． 问题思考：若 x0是 f(x)的极值点，则一定有 f (x0)=0 吗？举例说明．不一定．例 如， f (x) = x , x (−,+) ，那么，x=0 是 f (x)的极值点．但在 x=0 处， f (x)不存在． 三、例题讲解 例 1 设函数 y=ex-x+1，求驻点． [分析]驻点就是使导数等于 0 的点． 解： y =e x -1，由 y =e x–1=0，得 x=0 注意：这里求出的 x=0 不能说是函数的一个极值点，只能说是函数的一个驻 点．可导函数 f (x0)=0 是点 x0 为极值点的必要条件，但不是充分条件． 例 2 设 y=x–ln(1+x)，求极值点．
经济数学基础 第三章导数的应用 [分析]首先求定义域,然后利用必要条件求驻点和不可导点,再利用充分条 件进行判别,确定极值点 解:定义域(-1+∞)y=1 0 1+x 解得x=0(驻点) (0,+ + 极小值点 在x=0的左右两边,y的符号由负变正,故x=0是极小值点 例3设y=-x2-x+7求极值点.[分析]首先求定义域,然后利用必要条件 求驻点和不可导点,再利用充分条件进行判别,确定极值点 解:定义域(-+∞):y'=x3-1 ,x=0处导数不存在,x=1是驻点 X (-∞,0) (0,1) 极小值点极大值点 在x=0的左右两边,y的符号由负变正,故x=0是极小值点; 在x=1的左右两边,y的符号由正变负,故x=1是极大值点 例4设34,求极值 [分析]首先求定义域,然后利用必要条件求驻点和不可导点,再利用充分条件 进行判别,确定极值点,最后写出极值 解:定义域(-∞+∞),在x=0的左右两边y同号,故x=0不是极值点 100
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——100—— [分析]首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条 件进行判别，确定极值点． 解：定义域 (−1, + ) ， 0 1 1 1 = + = − x y ，解得 x =0(驻点) 在 x=0 的左右两边， y 的符号由负变正，故 x=0 是极小值点． 例 3 设 7 3 2 2 3 y = x − x + 求极值点． [分析] 首先求定义域，然后利用必要条件 求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点． 解：定义域 (−, + ) ； 1 3 1 = − − y x ，x=0 处导数不存在，x=1 是驻点. 在 x = 0 的左右两边， y 的符号由负变正，故 x = 0 是极小值点； 在 x= 1 的左右两边， y 的符号由正变负，故 x = 1 是极大值点． 例 4 设 3 4 3 4 x x y = − ，求极值． [分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件 进行判别，确定极值点，最后写出极值． 解：定义域 (−, + ) ，在 x=0 的左右两边 y 同号，故 x=0 不是极值点；
经济数学基础 第三章导数的应用 在x=1的左右两边,y的符号由正变负,故x=1是极大值点 (-∞,0)0(0,1) 1 + 极大值 求函数极值的步骤: (1)确定函数∫(x)的定义域,并求其导数丿(x) (2)解方程∫(x)=0,求出f(x)在定义域内的所有的驻点 (3)找出f(x)所有在定义域内连续但导数不存在的点 (4)讨论(x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况,确定函数x) 的极值点 (5)写出函数f(x)的极值点和极值 四、课后作业 1.求下列函数的极值 1)fx)=x3-x;(2)fx)x+-;(3)fx)=x2-n(1+x):(4)fx)=x2e.x 1.(1)极小值 f(1)=4:(2)极小值f(2)=12 f()=1 (3)极小值 2:(4)f(0)m=0,f(2)m=4e-2
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——101—— 在 x=1 的左右两边， y 的符号由正变负，故 x=1 是极大值点． 求函数极值的步骤： （1）确定函数 f (x)的定义域，并求其导数 f (x)； （2）解方程 f (x) = 0，求出 f (x) 在定义域内的所有的驻点； （3）找出 f (x) 所有在定义域内连续但导数不存在的点； （4）讨论 f (x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况，确定函数 f(x) 的极值点； （5）写出函数 f (x)的极值点和极值． 四、课后作业 1．求下列函数的极值： （1）f(x)= x − x 3 4 4 3 ；（2）f(x)= x x 2 16 + ；（3）f(x)=x 2–ln(1+x)；（4）f(x)=x 2e -x 1.（1）极小值 4 1 f (1) = − ；（2）极小值 f (2) = 12 ； （3）极小值 2 1 3 ln 2 3 ) 1 2 3 1 ( + = − − − f ；（4） 2 (0)min 0, (2)max 4 − f = f = e
经济数学基础 第三章导数的应用 第二节数 学习目 标 通过本节课学习,了解最大值、最小值的概念,知道极值与最值之间的关系, 掌握最大值、最小值问题的处理方法,熟练掌握解决一些应用问题的方法,尤其是 求解经济应用问题最值的方法. 二、内容讲解 1.最大值、最小值及其求法 (1)极值与最值的区别: 极值是在其左右小范围内比较;最值是在指定的范围内比较 所以,说到最大(小)值,要使问题提得明确,就必须明确指定考虑的范围.如 果在指定的范围内函数值达到最大,它就是最大值 这个函数在区间a,b内的极大值点是 x1,x4;极小值点是x2,x5.现在要问这个 函数在闭区间a,b上最大值点是哪一个, 那么应该是整个指定区间上曲线最高处的 点就是最大值点.从图中可以看出,端点b xx,xbx处的函数值最大,所以点b就是该函数在区 间a,b上的最大值点 同样,从图中可以看出x2是区间[a,b 上最小值点 若将b点往左移至5,从图中可以看出, ax1x223x4x+x最大值点是x4,而最小值点仍然是x2 2
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——102—— 第二节 函数最值 一、学习目标 通过本节课学习，了解最大值、最小值的概念，知道极值与最值之间的关系， 掌握最大值、最小值问题的处理方法，熟练掌握解决一些应用问题的方法，尤其是 求解经济应用问题最值的方法． 二、内容讲解 1.最大值、最小值及其求法 （1）极值与最值的区别： 极值是在其左右小范围内比较；最值是在指定的范围内比较 所以，说到最大（小）值，要使问题提得明确，就必须明确指定考虑的范围．如 果在指定的范围内函数值达到最大，它就是最大值． 这个函数在区间[a，b]内的极大值点是 x1，x4；极小值点是 x2，x5．现在要问这个 函数在闭区间[a，b]上最大值点是哪一个， 那么应该是整个指定区间上曲线最高处的 点就是最大值点．从图中可以看出，端点 b 处的函数值最大，所以点 b 就是该函数在区 间[a，b]上的最大值点． 同样，从图中可以看出 x2是区间[a，b] 上最小值点． 若将 b 点往左移至 5 x ，从图中可以看出， 最大值点是 x4，而最小值点仍然是 x2
经济数学基础 第三章导数的应用 若将区间改为x2,x1,则最大值点仍 然是x4,最小值点仍然是x2. 明确了最值点与极值点的区别后,最 x值点的求法也就较容易得到了 4 x1 x2 x3 x4 xs 函数fx)在{a,b]上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中 (1)端点:a,b:(2)驻点:使(x)=0的点:(3)不可导点:f(x)不存在的点 2函数的最值概念(定义33) 最值的求法:①极值是在局部范围内比较;②最值是在指定的范围内比较. 求函数最值的步骤 ①求导数(x) ②解丿(x)=0,求出f(x)的驻点; ③找出f(x)连续但(x)不存在的点: ④比较∫(x)在驻点、导数不存在点和端点处的值,确定最大值和最小值 问题思考:函数最值一定是函数极值吗?何时极值一定是最值? 极大(小)值只是在极值点附近的局部最大(小)值,而最大(小)值是整个区间上的 最大(小)值,它可能在区间的端点处达到.因此,最大(小)值不一定是极大(小)值 若(x)在区间ab上连续,在(a,b)内可导,且f(x)在a,b上有唯一极大(小)值 点,则f(x)在6上的极大(小)值就是最大(小)值. 例题讲解 例1求y=x3-3x2-9x+5在[-4,4]上的最大值和最小值 103
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——103—— 若将区间改为 [ , ] 2 4 x x ，则最大值点仍 然是 x4，最小值点仍然是 x2． 明确了最值点与极值点的区别后，最 值点的求法也就较容易得到了． 函数 f(x)在[a，b]上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中． （1）端点：a，b；（2）驻点：使 f (x)=0 的点；（3）不可导点： f (x)不存在的点. 2.函数的最值概念（定义 3.3） 最值的求法：①极值是在局部范围内比较；②最值是在指定的范围内比较. 求函数最值的步骤： ①求导数 f (x)； ②解 f (x) = 0，求出 f (x)的驻点； ③找出 f (x)连续但 f (x)不存在的点； ④比较 f (x)在驻点、导数不存在点和端点处的值，确定最大值和最小值． 问题思考：函数最值一定是函数极值吗？何时极值一定是最值？ 极大（小）值只是在极值点附近的局部最大（小）值，而最大（小）值是整个区间上的 最大（小）值，它可能在区间的端点处达到．因此，最大（小）值不一定是极大（小）值． 若 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f (x) 在 [a, b] 上有唯一极大（小）值 点，则 f (x) 在 [a, b] 上的极大（小）值就是最大（小）值． 三、例题讲解 例 1 求 y=x 3 -3x 2–9x+5 在[-4，4]上的最大值和最小值．
经济数学基础 第三章导数的应用 [分析]可能成为最值点的是端的、驻点和不可导点.因此,先求驻点和不可 导点,再比较这些点和端点处的函数值的大小,确定最大值和最小值 解:y=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)x-3)=0x1=-1,x2=3 y 10 15 所以,最大值为y(-1)=10,最小值为y(-4)=-71. 说明:不用判别-1,3是否为极值点,只要计算-4,-1,3,4处的函数值,确 定最大值和最小值. 例2求y=x(x1)在-2,21上的最值点 4x-3 每y=(x-23-”=(x=0=0.4点且x1处导数不存在, 所以,最小值点为x=4,最大值点为x2 2 31 例3将边长为30cm的一块正方形铁皮的四角截去一个大小相同的小正方形, 然后将四边折起做成一个无盖的方盒.问截掉的小正方形边长为多少时,所得方盒 的容积最大? 解:设小正方形边长为xcm,则盒底边长为30-2x, 30-2x- 容积为=(30-2x)2x,x∈(0,15) 因为=4(302x)x+(30-2x2=(30-2x)(30-6x)
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——104—— [分析]可能成为最值点的是端的、驻点和不可导点．因此，先求驻点和不可 导点，再比较这些点和端点处的函数值的大小，确定最大值和最小值． 解： y = 3x 2 – 6x - 9 = 3(x 2 – 2x – 3)= 3(x + 1)(x – 3) = 0 x1 = -1，x2 = 3 x -4 -1 3 4 y -71 10 -22 -15 所以，最大值为 y(-1)=10，最小值为 y(-4)=-71． 说明：不用判别-1，3 是否为极值点，只要计算-4，-1，3，4 处的函数值，确 定最大值和最小值． 例 2 求 y=x(x-1) 3 1 在 [−2, 2] 上的最值点． 解： 3 2 3 1 ( 1) 3 1 ( 1) − = − + x x y x = 3 2 ( 1) 4 3 − − x x = 0， 4 3 x = (驻点)，且 x=1 处导数不存在， 所以，最小值点为 x= 4 3 ，最大值点为 x=-2． x -2 4 3 1 2 y -2 3 1 (−3) 4 3 3 1 ) 4 1 (− 0 2 例 3 将边长为 30cm 的一块正方形铁皮的四角截去一个大小相同的小正方形， 然后将四边折起做成一个无盖的方盒．问截掉的小正方形边长为多少时，所得方盒 的容积最大？ 解：设小正方形边长为 x cm，则盒底边长为 30-2 x ， 容积为 V= (30-2x) 2 x，x (0，15) 因为 V=-4(30-2x)x+(30-2x) 2=(30-2x)(30-6x) 30 30-2x x