经济数学基础 第二章导数与微分 第四单元复合函数求导与髙阶导数 第一节复合函数与隐函数求导法则 学习目标 在本节课中,我们学习复合函数求导法则和隐函数求导方法,学习之后我们要 能够运用复合函数求导法则计算初等函数的导数与微分,能够计算隐函数的导数或 微分 、内容讲解 (一)复合函数求导 1.复合函数求导问题: (1)y=(2x+3)2 ,求y=?;(2)y=(2x+3),则y=? 解:第一个问题y=(2x+3),求导数没有直接公式可用 方法1:将函数展开y=(2x+3)=4x+12x+9,利用加法法则有y=8x+12 方法2:将函数写成两个因式乘积的形式y=(2x+3)=(2x+3)2x+3),利用四则 运算法则求导数.y=2(2x+3)+2(2x+3)=4(2x+3 第二个问题y=(2x+3),展开?共101项,求导很麻烦 写成因式乘积的形式,求导也将很麻烦 在这节课我们将介绍复合函数求导法则 讨论y=(2x+3),引进中间变量u=2x+3 00n·2=200(2x+3) dx du dx 66
经济数学基础 第二章 导数与微分 ——66—— 第四单元 复合函数求导与高阶导数 第一节 复合函数与隐函数求导法则 一、学习目标 在本节课中，我们学习复合函数求导法则和隐函数求导方法，学习之后我们要 能够运用复合函数求导法则计算初等函数的导数与微分，能够计算隐函数的导数或 微分. 二、内容讲解 （一）复合函数求导 1.复合函数求导问题： （1） 2 y = (2x + 3) ，求 y = ? ；（2） 100 y = (2x + 3) ，则 y = ? 解：第一个问题 2 y = (2x + 3) ，求导数没有直接公式可用. 方法 1：将函数展开 (2 3) 4 12 9 2 2 y = x + = x + x + ，利用加法法则有 y = 8x +12 方法 2：将函数写成两个因式乘积的形式 (2 3) (2 3)(2 3) 2 y = x + = x + x + ，利用四则 运算法则求导数. y = 2(2x + 3) + 2(2x + 3) = 4(2x + 3) 第二个问题 100 y = (2x + 3) ，展开？共 101 项，求导很麻烦. 写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦. 在这节课我们将介绍复合函数求导法则. 讨论 100 y = (2x + 3) ，引进中间变量 u = 2x +3 99 99 100 2 200(2 3) d d d d d d = = = u = x + x u u y x y y
经济数学基础 第二章导数与微分 2.复合函数求导法则 定理设y=(,u=(x),且u=(x)在点x处可导,y=()在点l=o(x)处可导, 则复合函数y=(0()在点x处可导,且y=)(x)或y= 3.复合函数求导步骤 (1)分清函数的复合层次,找出所有的中间变量; (2)依照法则,由外向内一层层的直至对自变量求导 4.多层复合的函数求导数 对于多层复合的函数,即若y=f()=9()V=p(x), 则y=f(n)p(m10(x)或y=yn 注意:多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导 (二)隐函数求导 1.隐函数求导问题 求由方程x+y=1所确定的隐函数y=y(x)的导数y? 解:先将y从方程中解出来,得到y=Ⅵ1-x2和y=-√1-x y 分别求导 将 分别代入 得 3x-2y+1=0 (1) y=(x2-3x+1) 由(1)解得 (2) 在(2)中F(xy)=0隐含y=y(x) 2.隐函数求导方法步骤
经济数学基础 第二章 导数与微分 ——67—— 2.复合函数求导法则 定理 设 y=f(u),u=(x),且 u=(x)在点 x 处可导，y=f(u)在点 u=(x)处可导， 则复合函数 y=f((x))在点 x 处可导，且 y f (u) (x) x = 或 x u ux y = y 3.复合函数求导步骤 （1）分清函数的复合层次，找出所有的中间变量； （2）依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导. 4.多层复合的函数求导数 对于多层复合的函数，即若 y = f (u),u = (v), v = (x) ， 则 y = f (u)(v)(x) 或 x u v x y = y u v 注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导. （二）隐函数求导 1.隐函数求导问题: 求由方程 1 2 2 x + y = 所确定的隐函数 y = y(x) 的导数 y ？ 解：先将 y 从方程中解出来，得到 2 y = 1− x 和 2 y = − 1− x 分别求导 2 1 x x y − − = 和 2 1 x x y − = ，将 2 y = 1− x 和 2 y = − 1− x 分别代入， 得 y x y = − ， 3 2 1 0 2 x − x − y + = （1） 由（1）解得 ( 3 1) 2 1 2 y = x − x + ，e + − e = 0 xy x y （2） 在（2）中 F(x, y) = 0 隐含 y = y(x) 2.隐函数求导方法步骤
经济数学基础 第二章导数与微分 (1)方程两边求导,J=J(x);(2)整理方程,求出y 问题思考:设y=e“",则y=21-x)y 错误正确求解过程为:y=e,=人2y=1-x y'=(c2)(x2)-xy=c).2y(-1)=-21-x)).注 三、例题讲解 例1求下列函数的导数或微分 (1) 求 解:方法一:由y=e=el=ee,y'=e+e2=2e2 方法二:利用复合函数求导法则,设y=e,m=2x,y=(e)=2e 求 解:利用复合函数求导法则,设y=e,=x, (3)y=h 求y 解:利用复合函数求导法则,设y=ha=cosx, (n u).u=-(cos x)=-(sn x)=-tanx 例2设y=√-x2,求y0) 解:先求一般点上函数的导数,再将x=0代入求得结果 68—
经济数学基础 第二章 导数与微分 ——68—— （1）方程两边求导， y = y(x) ；（2）整理方程，求出 y . 问题思考：设 2 (1 ) e x y − = ，则 2 (1 ) 2(1 )e x y x − = − 错误.正确求解过程为： y u v v x u = e , = , =1− 2 ， u v x u y (e ) (v ) (1 x) 2 = − e 2 ( 1) 2 (1 ) = − − v x = 2 (1 ) 2(1 )e x x − − − 。注意： (1− x) = −1 . 三、例题讲解 例 1 求下列函数的导数或微分 （1） x y 2 = e ，求 y . 解：方法一:由 x x x x y e e e e 2 (1 1) = = = + ， x x x y 2 2 2 = e + e = 2e 方法二: 利用复合函数求导法则，设 y u x u = e , = 2 ， x u x u y u 2 = (e ) = 2e （2） x y = e ，求 y . 解：利用复合函数求导法则，设 y u x u = e , = ， u x u x u x x y u e 2 1 2 1 = (e ) = e = . （3） y = ln cos x ，求 dy . 解：利用复合函数求导法则，设 y = ln u,u = cos x， x x x x u y u u ux ( sin ) tan cos 1 (cos ) 1 = (ln ) = = − = − ，dy = − tan xdx 例 2 设 2 y = 1− x ，求 y (0). 解：先求一般点上函数的导数，再将 x = 0 代入求得结果
经济数学基础 第二章导数与微分 设y=Ⅶ1,x=1-x2,利用复合函数求导法则, y=(m(-x≈1(2)=-=x 1-x2y(0=0 例3设函数y=Sm2(2+x2),求y 解:(首先对函数进行分解,找出所有中间变量) y=u, u=snv, v=2+x =2cosp3x2=2s(2+x3)cos(2+x3),3x2=6x2sn(2+x3)cos(2+x3) 例4求函数y=-x2,求y 解:y=3,u=1 y′=(1-x2)3·(1-x2)=--(1-x2) 例5设函数y=3,求 y=3,u=COSt 解 y=3)·(cosv)(-)()=(x)= =(3h3)(-snv)--2)=(3xhn3-sn-)--2)=-2sn·3 例6求由方程x+y=1所确定的隐函数y=y(x)的导数 解:方程两边对自变量x求导数,此时是中间变量 69—
经济数学基础 第二章 导数与微分 ——69—— 设 2 y = u,u = 1− x ，利用复合函数求导法则， 2 2 1 ( 2 ) 2 1 ( ) (1 ) x x x u y u x u x − − = − = − = ， y (0) = 0. 例 3 设函数 sin (2 ) 2 3 y = + x ，求 y . 解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量） 2 3 y = u ,u = sin v,v = 2 + x ， 2 y = 2u cosv 3x 3 3 2 = 2sin( 2 + x ) cos(2 + x )3x 6 sin( 2 ) cos(2 ) 2 3 3 = x + x + x 例 4 求函数 3 2 y = 1− x ，求 y . 解： 3 2 1 y = u ,u = 1− x (1 ) (1 ) 3 1 2 1 3 1 2 = − − − y x x 3 2 2 (1 ) 3 2 − = − − x x 例 5 设函数 x y 1 cos = 3 ，求 y . 解 x y u v v u 1 = 3 , = cos , = u v x u x y v ) 1 = (3 ) (cos ) ( ，[ 1 2 ) ( ) 1 ( − − = x = −x x ] ) 1 (3 ln 3)( sin )( 2 x v u = − − ) 1 )( 1 (3 ln 3)( sin 2 1 cos x x x = − − x x x 1 cos 2 3 1 sin ln 3 = 例 6 求由方程 1 2 2 x + y = 所确定的隐函数 y = y(x) 的导数 y . 解：方程两边对自变量 x 求导数，此时 y 是中间变量
经济数学基础 第二章导数与微分 2x+2y’=0,解出 y(与前面的结果相同) 例7求由方程c+xy+e=0所确定的隐函数y=y(x)的导数y’? 解:方程两边对自变量x求导数,此时y是中间变量.ey+y+xy+e=0 解得 e+x(注意:在隐函数的导数结果中常常含有y) 例8求双曲线x=1在点(1,1)处的切线斜率 分析:此题是求隐函数在某点处的导数 解:因为y+x=0,所以”=x,且在点(1,1)处的切线斜率y1a=-1 四、课堂练习 练习1设y 求 练习2设y=e+e,求y 练习3设+x=2xy,求? 练习4求曲线x+2xy-y=2X在x=2处的切线方程? 五、课后作业 1.计算下列函数的导数 (1) (2)y=ex+xvx;(3)y=(3x2-1){0 (4)y=e (5) b (6)y 70—
经济数学基础 第二章 导数与微分 ——70—— 2x + 2yy = 0，解出 y x y = − （与前面的结果相同）. 例 7 求由方程 e + + e = 0 y x xy 所确定的隐函数 y = y(x) 的导数 y ？ 解：方程两边对自变量 x 求导数，此时 y 是中间变量. e + + + e = 0 y x y y xy 解得 x y y x x + + = − e e （注意：在隐函数的导数结果中常常含有 y ）. 例 8 求双曲线 xy = 1 在点（1，1）处的切线斜率. 分析：此题是求隐函数在某点处的导数. 解：因为 y + xy = 0，所以 x y y = − ，且在点（1，1）处的切线斜率 1 (1,1) y = − 四、课堂练习 练习 1 设 2 2 y = x − a ，求 y . 练习 2 设 2 e e 1 x x y − = + ，求 y . 练习 3 设 x xy y e 2 2 + = ，求 dy ？ 练习 4 求曲线 x 2xy y 2x 2 2 + − = 在 x = 2 处的切线方程？ 五、课后作业 1.计算下列函数的导数： （1） 3 5 1 − = x y ；（2） y x x x = + 1 e ；（3） 4 100 y = (3x −1) ； （4） 2 1 2 e − + − = x x y ；（5） y bx ax = e sin ；（6） ln( ) 2 y = ax + b ；
经济数学基础 第二章导数与微分 x+vI+x (7)y=hhnx;(8)y=3;(9) (10)y=(cos x) 2.计算下列函数的微分 (1)y=(3x2+1)3:(2)y=ex-e;(3) J=2 In x (4) 3.下列各方程中y是x的隐函数,试求y或dy: 求y 求 (3)Sn(x+y)+e=4,求y;(4)xhy+yhx=1,求. e+-x 1.(1) (2)x 2:(3)1200x(3x4-1)9 (4)(-2x+2)e-+r-l (5) e(asin bx bcos bx).(6)ax2+b 3 x In 3 cos x In (10)(cos x) (In cosx-x tan x) 2.(1)4x(3x2+D3d,(1 2xe- )dx (2x+3)2x+3xh2 (2xcos x-sin x)e+sin x dx (3) 2x√hnx cos x
经济数学基础 第二章 导数与微分 ——71—— （7） y = ln ln x ；（8） x y 1 sin = 3 ；（9） x x x y 2 1 ln + + = ；（10） x y = (cos x) 2.计算下列函数的微分： （1） 3 2 2 y = (3x +1) ；（2） 2 e e 1 x x y − = − ；（3） y x x x 2 ln 3 1 2 = − + − ；（4） x y x cos 1 e 2 − = 3. 下列各方程中 y 是 x 的隐函数，试求 y 或 dy ： （1） 3 1 2 2 x + y − xy + x = ，求 dy ；（2） − e + e =1 x y xy ，求 y ； （3） sin( + ) + = 4 xy x y e ，求 y ；（4） x ln y + y ln x = 1 ，求 dy . 1.（1） 2 3 (3 5) 2 3 − − x − ；（2） 2 1 1 2 2 3 e 1 x x x − + ；（3） 3 4 99 1200x (3x −1) ； （4） (−2x + 2) 2 1 2 e −x + x− ；（5） e (asin bx bcosbx) ax + ；（6） ax b ax + 2 2 ； （7） x ln x 1 ；（8） 2 1 sin 1 3 ln 3cos x x x − ；（9） x x 1 1 1 2 − + ； （10） (cos x) (ln cos x x tan x) x − 2.（1） 4x(3x 1) dx 3 1 2 − + ；（2） x x x x x e 2 e )d 1 ( 2 - 1 2 − + （3） x x x x x x ]d 2 ln 1 [(2 3)2 ln 2 3 1 2 + − + − ；（4） x x x x x x x d cos (2 cos sin )e sin 2 2 − − + 3.（1） x y x y x d 2 2 3 − − − ；（2） x y y x + − e e ；
经济数学基础 第二章导数与微分 ye+cos(x+y) yiN y+y (3)cos(x+y)+xe”;(4)x2+xyb女 72
经济数学基础 第二章 导数与微分 ——72—— （3） xy xy x y x y x y cos( ) e e cos( ) + + + + − ；（4） x x xy x xy y y d ln ln 2 2 + + −
经济数学基础 第二章导数与微分 郭二节高阶导数 、学习目标 了解高阶导数的概念,掌握函数二阶导数的计算方法,会计算一些简单函数高 阶导数 二、内容讲解 f(x)的高阶导数:f(x)=x4,d=f(x)=4x3 dr2=(x)=12x2d3f(x) d f(x) dx =f"(x)=24x dx 般地,y=f(x)函数的阶导数记为d P=y=f(x) 问题:求y=2x3+3x2-1000的10阶导数y0 y0,因为y2=6x2+6x,y=12x+6,y"=12,y=0,y=…=y0=0, 由此可以得出结论,n次多项式的n+1阶导数必为0 三、例题讲解 例1求函数y=2x2+x-5的二、三阶导数 解: y’=4x+1 0 例2求y=h1+x)的二阶导数至n导数, 解: 1+
经济数学基础 第二章 导数与微分 ——73—— 第二节 高阶导数 一、学习目标 了解高阶导数的概念，掌握函数二阶导数的计算方法，会计算一些简单函数高 阶导数 二、内容讲解 f (x) 的高阶导数： 4 f (x) = x ， 3 ( ) 4 d d ( ) f x x x f x = = 2 2 2 ( ) 12 d d ( ) d ) d d ( ) d( f x x x f x x x f x = = = ； f x x x f x ( ) 24 d d ( ) 3 3 = = . 一般地， y = f (x) 函数的 n 阶导数记为 ( ) d d ( ) ( ) y f x x y n n n n = = 问题：求 2 3 1000 3 2 y = x + x − 的 10 阶导数 (10) y . (10) y =0。因为 y 6x 6x 2 = + ，y = 12x + 6，，y = 12 ， 0 (4) y = ， 0 (5) (10) y == y = ， 由此可以得出结论， n 次多项式的 n +1 阶导数必为 0 三、例题讲解 例 1 求函数 2 5 2 y = x + x − 的二、三阶导数. 解： y = 4x +1， y = 4 ， y = 0。 例 2 求 y = ln(1+ x) 的二阶导数 至 n 导数. 解： x y + = 1 1
经济数学基础 第二章导数与微分 y"=(y)=(.) 1+x y=(-1)2(2 (-1)(n-1) (1+x) 四、课堂练习 1设函数y=xe-,求y";2设函数y=h(1+x2),求”:3求 求 五、课后作业 1求下列函数的二阶导数: (1)y=x3-2x2+3:(2)y=h+x);:(3)y=xhx (4)y=(1-3x);(5)y=e+e;(6)y=smx+cosx 2求下列各函数在指定点的高阶导数值: (1)y=x2-2x2+1,求y1 ;(2)y=e-x 求y1 (3)y=xc0sx,求 (4)y=(x+10)°,求 3求函数y=a的n阶导数 1.(1)6x-4:(2)(1+x):(3)4 In (5)e+er (6) sn x-cos
经济数学基础 第二章 导数与微分 ——74—— 2 (1 ) 1 ) 1 1 ( ) ( x x y y + = − + = = 3 2 (1 ) 1 ( 1) (2!) x y + = − n n n x y n (1 ) 1 ( 1) ( 1)! ( ) 1 + = − − − 四、课堂练习 1 设函数 x y x − = e 2 ，求 y ；2 设函数 ln(1 ) 2 y = + x ，求 y ；3 求 x x y − = 1 ，求 =1 x y . 五、课后作业 1.求下列函数的二阶导数： （1） 2 3 3 2 y = x − x + ；（2） ln(1 ) 2 y = + x ；（3） y = x ln x ； （4） 2 y = (1− 3x) ；（5） x x y = e + e − ；（6） y = sin x + cos x . 2.求下列各函数在指定点的高阶导数值： （1） 2 1 5 3 y = x − x + ，求 =−1 x y ；（2） 2 e x y − = ，求 =1 x y （3） y = x cos x ，求 =0 x y ；（4） 3 y = (x +10) ，求 =2 x y 3.求函数 x y a − = 的 n 阶导数. 1.（1） 6x − 4 ；（2） 2 2 2 (1 ) 2 2 x x + − ；（3） x ln x 4 1 2 3 ；（4）18； （5） x x e + e − ；（6） −sin x −cos x
经济数学基础 第二章导数与微分 2.(1)-8:(2)e;(3)-3:(4)6:3.(-l"ah"a 75
经济数学基础 第二章 导数与微分 ——75—— 2.（1） −8 ；（2） e 2 ； (3) − 3 ；（4）6；3. a a n x n ( 1) ln − −
