第7章空间曲面与曲线 ●71曲面及其方程 ●7.2二次曲面 牛●73空间曲线 工工工 ●总复习 上页
第7章 空间曲面与曲线 7.1 曲面及其方程 7.2 二次曲面 7.3 空间曲线 总复习
72二次曲面 生Q72.1*球面 722单叶双曲面 牛723双叶双曲面 724椭圆抛物面 牛9725双曲抛物面(马鞍面) 上页
7.2 二次曲面 7.2.1 椭球面 7.2.2 单叶双曲面 7.2.3 双叶双曲面 7.2.4 椭圆抛物面 7.2.5 双曲抛物面(马鞍面)
王二次曲面的定义 三元二次方程所表示的曲面称之 相应地平面被称为一次曲面 王讨论二次曲面性状的截痕法 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后 牛加以综合,从而了解曲面的全貌 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面 上页
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
72.1椭球面 a2 d× 2 =1 椭球面与212 三个坐标面1a+b 的交线: Z=0 2 2 2 b y= 1c
o z y x 7.2.1 椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 椭球面与 三个坐标面 的交线： , 0 1 2 2 2 2 = + = y c z a x . 0 1 2 2 2 2 = + = x c z b y , 0 1 2 2 2 2 = + = z b y a x
椭球面与平面z=z1的交线为椭圆 J C-Z C z=1 ZI<c 同理与平面x=X1和y=几的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化 上页
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 z = z1 的交线为椭圆 同理与平面 x = x1 和 y = y1 的交线也是椭圆. = = − + − 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) z z c z c b y c z c a x | z | c 1
椭球面的几种特殊情况: 2 (1)a=b ∞3+,+《=1旋转椭球面 x2 由椭圆2+2=1绕z轴旋转而成 C 2 2 r t y 方程可写为2 4云 2 C 旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面3=31(x1kc)的交线为圆 上页
椭球面的几种特殊情况： (1) a = b, 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z a y a x 旋转椭球面 1 2 2 2 2 + = c z a x 由椭圆 绕 z 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别： 1 2 2 2 2 2 + = + c z a x y 方程可写为 与平面 z = z1 (| | ) 的交线为圆. 1 z c
截面上圆的方程 x2+y2=2(c2-x1) C z=列1 x2 (2)a=b=c, y+2=1球面 2 方程可写为x2+y2+z2=a2 上页
(2) a = b = c, 1 2 2 2 2 2 2 + + = a z a y a x 球面 . 2 2 2 2 x + y + z = a . ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 = + = − z z c z c a x y 截面上圆的方程 方程可写为
722单叶双曲面 2 x+y-,=1单叶双曲面 2 b 王(1)用坐标面xm(=0)与曲面相截 截得中心在原点O(0,0,0)的椭圆 +=1 a b :0 上页
7.2.2 单叶双曲面 2 1 单叶双曲面 2 2 2 2 2 + − = c z b y a x （1）用坐标面 xoy(z = 0) 与曲面相截 截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆. = + = 0 1 2 2 2 2 z b y a x
与平面x=z1的交线为椭圆 x2 2+,2=1+ a b 当孔1变动时,这种椭 圆的中心都在z轴上 =ZI (2)用坐标面xOz(y=0)与曲面相截 截得中心在原点的双曲线 2 x2-2=1实轴与x轴相合 虚轴与z轴相合 y=0 上页
与平面 的交线为椭圆. 1 z = z 当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上. 1 z z = + = + 1 2 2 1 2 2 2 2 1 z z c z b y a x （2）用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截 截得中心在原点的双曲线. = − = 0 1 2 2 2 2 y c z a x 实轴与 轴相合， 虚轴与 轴相合. x z
与平面y=y1(y1≠土b)的交线为双曲线 2 2 2 21 C b双曲线的中心都在y轴上 =Y (1)y2b2,实轴与z轴平行,虚轴与x轴平行 (3)y1=b,截痕为一对相交于点(0,b,0)的直线 上页
= − = − 1 2 2 1 2 2 2 2 1 y y b y c z a x 双曲线的中心都在 y 轴上. 与平面 的交线为双曲线. 1 y = y ( ) y1 b (1 ) , 2 2 y1 b 实轴与 x 轴平行, 虚轴与 z 轴平行. (2 ) , 2 2 y1 b 实轴与 z 轴平行, 虚轴与 x 轴平行. (3 ) , y1 = b 截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线
