53线性变换及其性质 一、线性变换的概念 二、线性变换的性质 三、线性变换的运算 上页
5.3 线性变换及其性质 • 一、线性变换的概念 • 二、线性变换的性质 • 三、线性变换的运算
、线性变换的概念 1.映射 线性空间中向量之间的联系,是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的 王定义1设有两个非空集合,B如果对于中任一 中元素a按照一定规则总有B中一个确定的元素尸 和它对应,那么,这个对应规则称为从集合A到集合 牛B的映射记作 T:A→B 当A=B时,是4到自身的映射常称为A上的变换
线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的． １．映射 一、线性变换的概念 : . , , , , , 1 , , T A B B A B A B A → 的映射 记作 和它对应 那么 这个对应规则称为从集合 到集合 元素 按照一定规则 总有 中一个确定的元素 定义 设有两个非空集合 如果对于 中任一 当A = B时,T是A到自身的映射,常称为A上的变换
王设a∈T(a)=B,就说映射把元素变为B 平B称为a在映射下的象a称为在映射下的原象 映射(变换)的概念是函数概念的推广 上页
映射（变换）的概念是函数概念的推广． , . , ( ) , , 称为 在映射 下的象 称为 在映射 下的原象 设 就说映射 把元素 变为 T T A T T =
2.线性空间V上的线性变换 定义2设是数域P上的n维线性空间, T:V→V是V的一个变换如果变换T满足 (1)任给ax1,a2∈V,有 T(ax1+a2)=T(a1)+r(a2) (2)任给a∈V,k∈P,都有r(ka)=kT(a) 中那么就称T为线性空间的线性变换 T(a)称为向量a在线性变换T下的象 上页
( ) ( ) ( ); (1) , , 1 2 1 2 1 2 T T T V + = + 任给 有 (2) 任给 V,k P,都有T(k) = kT(). 那么,就称T为线性空间V的线性变换. 是 上的一个变换 如果变换 满足 定义 设 是数域 上的 维线性空间 T V V V T V P n : , 2 , → 2．线性空间 V 上的线性变换 T()称为向量在线性变换T下的象
说明 线性变换就是保持线性运算线性组合)的对应 的变换T(ka+l))=kTa+IT(B) 要证一个变换T是线性变换,必须证T保持 加法和数量乘法,即 T(a+B)=t(a)+t(B), t(ka)=kT(a) 若证一个变换T不是线性变换,只须证T不保 王持加法或数量乘法,并且只须举出一个反例即可 上页
T(k + l ) = kT + lT( ). 说明 . ( ) 的变换 线性变换就是保持线性运算 线性组合 的对应 要证一个变换 是线性变换，必须证 保持 加法和数量乘法，即 T( + ) = T() + T( ), T(k) = kT(). T T 若证一个变换 不是线性变换，只须证 不保 持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可． T T
生例1在性空间 y(1)微分运算D是一个线性变换 P=a3x+a2x+a1x+a∈l x Dp=3a3x4+2arx+a1, b3x +h2x +b,x+bo ∈x Dg=3b3x+2b2x+b1, 从而D(p+q) 工工工 =D(a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a0+b0 =3(a3+b)x2+2(a2+b2)x+(a1+b1) =(3a3x2+2a2x+a1)+(3b3x2+2b2x+b) Dp + DqE 上页
, 例 1 在线性空间P4 x 中 (1) 微分运算D是一个线性变换. , 1 0 4 2 2 3 3 p = a x + a x + a x + a P x 3 2 , 2 1 2 Dp = a3 x + a x + a , 1 0 4 2 2 3 3 q = b x + b x + b x + b P x 3 2 , 2 1 2 Dq = b3 x + b x + b [( ) ( ) ( ) ( )] 1 1 0 0 2 2 2 3 = D a3 + b3 x + a + b x + a + b x + a + b 从而 D( p + q) 3( ) 2( ) ( ) 2 2 1 1 2 = a3 + b3 x + a + b x + a + b (3 2 ) (3 2 ) 2 1 2 2 1 3 2 = a3 x + a x + a + b x + b x + b = Dp + Dq;
D(kp)=D(ka3x'+ka2x+kajx+k ao =k(3a3x2+2a2x+a1) =kDp (2)如果T(p)=a0,那么T也是一个线性变换 T(p+q)=a0+b0=T(p)+T(q); T(p)=kao=kT(p) 上页
( ) ( ) 1 0 2 2 3 D kp = D k a3 x + k a x + k a x + k a (3 2 ) 2 1 2 = k a3 x + a x + a = kDp. (2) ( ) , . 如果T p = a0 那么T也是一个线性变换 ( ) ( ) ( ); T p + q = a0 + b0 = T p + T q ( ) ( ). T kp = k a0 = kT p
(3)如果T1(p)=1那么T1是个变换,但不是线 性变换. T1(p+q)=1, 但 T1(p)+T1(q)=1+1=2, 所以 T1(p+q)≠T1(p)+T1(q) 上页
. (3) ( ) 1, , 1 1 性变换 如果T p = 那么T 是个变换 但不是线 ( ) 1, T1 p + q = ( ) ( ) 1 1 2, 但 T1 p +T1 q = + = ( ) ( ) ( ). 所以 T1 p + q T1 p + T1 q
例2由关系式 x cosp -sinp(x y( Sin C0sφ人y 确定xOy平面上的一个变换T,说明T的几何意义 x=rcos e 解记(=rm,于是 xcosp-ysin p y)(xsin p+ y cos o rcos 8 cosp-rsin 0 sinp(rcos(0+) rcos sin p +rsin 0 cos p(rsin(0+o) 圆回 上页
, . sin cos cos sin 确定 平面上的一个变换 说明 的几何意义 由关系式 xOy T T y x y x T − = 例 2 解 = = sin , cos , y r x r 记 于是 y x T + − = sin cos cos sin x y x y + − = cos sin sin cos cos cos sin sin r r r r , sin( ) cos( ) + + = r r
上式表明:变换T把任一向量按逆时针方向旋 转q角;称之为旋转变换 P1 P 6 0 上页
. : 转 角；称之为旋转变换 上式表明 变换 把任一向量按逆时针方向旋 T x y o p p1