节第六节隐函数的导数、由参数方程所确定的函 题目 数的导数、相关变化率 隐函数求导法则:直接对方程两边求导 对数求导法:对方程两边取对数按隐函数的求导法则求导 内/参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则 容/相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 提 要 隐函数求导法则 参数方程求导 重点分析 利用对数求导法求导 由参数方程确定的函数的高阶导数求法 难点分析 题P3:1(单、2、4(1)(3)、5(1)(3)、7、10、12 布 备注
1 章 节 题 目 第六节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函 数的导数、相关变化率 内 容 提 要 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 重 点 分 析 隐函数求导法则 参数方程求导 难 点 分 析 利用对数求导法求导 由参数方程确定的函数的高阶导数求法 习 题 布 置 P138：1（单）、2、4（1）（3）、5（1）（3）、7、10、12 备 注
教学内容 隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0→y=f(x)隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 例1求由方程xy-e2+e"=0所确定的隐函数y的导数,|x 解:方程两边对x求导, d dy 解得=-y,由原方程知x=0y=0 x+e dy 例2设曲线C的方程为x+y=3x求过C上点2明线方程 并证明曲线C在该点的法线通过原点 解:方程两边对x求导,3x2+3y2y=3y+3x y--x 23 所求切线方程为y2-)即x+y-3=0 法线方程为y22 即y=x,显然通过原点 例3设x4-xy+y2=1,求y”在点(0,1)处的值 解:方程两边对x求导得 4x'-y-xy+4y'y=0
2 教 学 内 容 一、隐函数的导数 定义: 由方程所确定的函数 y = y(x)称为隐函数. y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 例 1 0 , . − + = x=0 x y dx dy dx dy 求由方程 x y e e 所确定的隐函数y的导数 解： 方程两边对x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + − = y y x x x x e e y dx dy =1 例 2： . ) , 2 3 , 2 3 3 , ( 3 3 并证明曲线 在该点的法线通过原点 设曲线 的方程为 求过 上点 的切线方程 C C x + y = x y C 解： 方程两边对x求导, 3x +3y y = 3y +3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − − = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y −3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点. 例 3 1, (0,1) . 设 x 4 − xy+ y 4 = 求y 在点 处的值 解： 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy + y y =
代入x=0,y=1得yl- 将方程()两边再对x求导得 12x2-2y-xy”+12y2(y)2+4y3y=0 代入x=0,y=1 得 1 、对数求导法 观察函数y=(x+4)e y 方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数 对数求导法 适用范围:多个函数相乘和幂指函数(x)的情形 例4:设y=(x+ 解:等式两边取对数得 hy=h(x+1)+l(x-1)-2l(x+4)-x 上式两边对x求导得 2 yx+13(x-1)x+4 (x+4)2ex+13(x-1)x+4 例5设y=x(x>0),求y 解:等式两边取对数得hy= sin xIn x 上式两边对x求导得-y=cosx·lhx+sn$ y=y(cos xIn x+sin x-=x(cos x In 一般地∫(x)=l(x)(x((x)>0) ∵lnf(x)=v(x)lna(x)
3 代入 x = 0, y =1得 ; 4 1 1 0 = = = y x y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x − y − xy + y y + y y = 代入 x = 0, y =1, 得 4 1 1 0 = = = y x y . 16 1 1 0 = − = = y x y 二、对数求导法 观察函数 , . ( 4) ( 1) 1 sin 2 3 x x y x x e x x y = + + − = 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v( x)的情形 例 4： , . ( 4) ( 1) 1 2 3 y x e x x y x + + − 设 = 求 解：等式两边取对数得 y = x + + ln( x −1) − 2ln( x + 4) − x 3 1 ln ln( 1) 上式两边对x求导得 1 4 2 3( 1) 1 1 1 − + − − + + = y x x x y 1] 4 2 3( 1) 1 1 1 [ ( 4) ( 1) 1 2 3 − + − − + + + + − = x e x x x x x y x 例 5 ( 0), . sin y x x y x 设 = 求 解：等式两边取对数得 ln y = sin x ln x 上式两边对x求导得 x y x x x y 1 cos ln sin 1 = + ) 1 (cos ln sin x y = y x x + x ) sin (cos ln sin x x x x x x = + 一般地 ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x = u x u x v x ln f (x) = v(x)ln u(x)
又∵hnf(x) f(x) f(x)dx f(x)=f(x)In f(x) f'(x)=u(x) Iv'(x).In u(x)+ v x)u(x) u(x) 三、由参数方程所确定的函数的导数 若参数方程{x=0确定y与间的函数关系称此为 由参数方程所确定的函数 例如 消去参数t 问题:消参困难或无法消参如何求导? 在方程{=0中,设函数=0具有单调连续的反函数 =q-(x) y=v() y=yl(xI 再设函数x=0(,y=v()都可导,且()≠0, 由复合函数及反函数的求导法则得 即 dy dt dx dt dx dt dr o'(o) dt 若函数x=) 二阶可导, y=v() dy_d如_d,y()、dv()p()-v(t)0()1 dx- dx dx dt (o)dx p(o) 即ayy7(t)g'(t)-v(t)g”(t) P() 例6求摆线 z处的切线方程 y=a(1-cost)
4 ( ) ( ) 1 ln ( ) f x dx d f x f x dx d 又 = ( ) ( ) ln f (x) dx d f x = f x ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ln ( ) ( ) u x v x u x f x u x v x u x v x = + 三、由参数方程所确定的函数的导数 . , ( ) ( ) 由参数方程所确定的函数 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 称此为 y t x t = = 例如 = = , 2 , 2 y t x t 2 x t = 消去参数 t 2 2 ) 2 ( x y = t = 4 2 x = y x 2 1 = 问题: 消参困难或无法消参如何求导? , ( ) ( ) 在方程 中 = = y t x t ( ) ( ), 1 x t t x − 设函数 = 具有单调连续的反函数 = [ ( )] 1 y x − = 再设函数x =(t), y =(t)都可导, 且(t) 0, 由复合函数及反函数的求导法则得 dx dt dt dy dx dy = dt dt dx dy 1 = ( ) ( ) t t = ， dt dx dt dy dx dy 即 = , ( ) ( ) 若函数 二阶可导 = = y t x t ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y = dx dt t t dt d ) ( ) ( ) ( = ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 t t t t t t − = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − 即 = 例 6 求摆线 在 处的切线 (1 cos ) 2 ( sin ) = = − = − t y a t x a t t 方程
解:=业 a sin t dx a-acost 1-cost dx-2 当1=时,x=a(x-1)y=a 所求切线方程为y-a=x-a(x-)即y=x+a(2-z 例7: 不计空气的阻力,以初速度v,发射角a发射炮弹 x=vol cos a, 其运动方程为 y=voIsin a 求(1)炮弹在时刻的运动方向 (2)炮弹在时刻t0的速度大小 解 (1)在0时刻的运动方向即轨迹在t时刻的切线方向, 可由切线的斜率来反映 dy(volsin a-38) Vo SIn a-gt. dy gIo dx (vt cosa) d x Vo cosa (2)炮弹在时刻沿x,y轴方向的分速度为 d x d r o=('of cos a CoSC v,=, eto=(o sina-3gt)e=vo sin a-glo 在时刻炮弹的速度为=√+=√-2gsma+g 例8求由方程+=acs31表示的函数的二阶导数 y=asin I
5 解: dt dx dt dy dx dy = a a t a t cos sin − = t t 1 cos sin − = 2 1 cos 2 sin 2 − = dx t= dy =1 1), . 2 , ( 2 t = x = a − y = a 当 时 所求切线方程为 1) 2 − = − ( − y a x a ) 2 (2 即 y = x + a − 例 7： (2) . (1) ; , 2 1 sin cos , , , , 0 0 2 0 0 0 炮弹在时刻 的速度大小 求 炮弹在时刻 的运动方向 其运动方程为 不计空气的阻力 以初速度 发射角 发射炮弹 t t y v t gt x v t v = − = 解： . (1) , 0 0 可由切线的斜率来反映 在t 时刻的运动方向即轨迹在t 时刻的切线方向 ( cos ) ) 2 1 ( sin 0 2 0 − = v t v t gt dx dy cos sin 0 0 v v − gt = . cos sin 0 0 0 0 v v gt dx dy t t − = = (2) 炮弹在t 0时刻沿x, y轴方向的分速度为 0 0 ( cos ) x t t 0 t t v t dt dx v = = = = = v0 cos 0 0 ) 2 1 ( sin 2 y t t 0 gt t t v t dt dy v = = = = − 0 0 = v sin − gt 在t 0时刻炮弹的速度为 2 2 x y v = v + v 2 0 2 0 0 2 0 = v − 2v gt sin + g t 例 8 . sin cos 3 3 求由方程 表示的函数的二阶导数 = = y a t x a t x y o v x v y v 0 v
解: dt dxdx acos t(-sin t) tan t a cos acos tsint basin 四、相关变化率 设x=x(1)及y=y(1)都是可导函数,而变量x与y之间存在 某种关系从而它们的变化率与中之间也存在一定关 系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例9 汽球从离开观察员500米处离地面铅直上升,其速率为40米/秒 当气球高度为500米时,观察员视线的仰角增加率是多少? 解:设气球上升t秒后,其高度为h,观察员视线的仰角为a,则 tan a= 上式两边对求导得sec2a.= dt 500 dt dh =140米/秒,当h=500时,sec0a=2 d 0.14(弧度/分) 例 河水以8米3/秒的体流量流入水库中,水库形状是长为4000米 顶角为120°的水槽,问水深20米时,水面每小时上升几米? 4000 解:设时刻冰水深为h(),水库内水量为(t),则 ()=40003n2 6
6 解： dt dx dt dy dx dy = 3 cos ( sin ) 3 sin cos 2 2 a t t a t t − = = − tan t ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y = ( cos ) ( tan ) 3 − = a t t a t t t 3 cos sin sec 2 2 − − = a t t 3 sin sec4 = 四、相关变化率 , . , ( ) ( ) , 系 这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率 某种关系 从而它们的变化率 与 之间也存在一定关 设 及 都是可导函数 而变量 与 之间存在 dt dy dt dx x = x t y = y t x y 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例 9 500 , ? 500 , 140 / . 当气球高度为 米时 观察员视线的仰角增加率是多少 一汽球从离开观察员 米处离地面铅直上升 其速率为 米 秒 解： 设气球上升t秒后, 其高度为h, 观察员视线的仰角为, 则 500 tan h = 上式两边对t求导得 dt dh dt d = 500 1 sec2 =140米/秒, dt dh 500 , sec 2 2 当h = 米时 = = 0.14(弧度/分) dt d 例 10 120 , 20 , ? 8 / , 4000 , 0 3 顶角为 的水槽 问水深 米时 水面每小时上升几米 河水以 米 秒的体流量流入水库中 水库形状是长为 米 解： 设时刻t水深为h(t),水库内水量为V(t), 则 2 V(t) = 4000 3h 0 60 4000 m
上式两边对求导得=8003.如 d=2800k3/小时,当h=20米时, ≈0.104米/小时 五、小结 隐函数求导法则:直接对方程两边求导 对数求导法:对方程两边取对数按隐函数的求导法则求导 参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则 相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间 的关系,用链式求导法求解 思考题 x=(1) 设 对吗? y=v() 由y=y() p)(o()≠0)可知y=y"() q"(t) 思考题解答 d.d(y().1 dt (1),g()
7 上式两边对t求导得 dt dh h dt dV = 8000 3 28800 / , = 米3 小时 dt dV 当h = 20米时, 0.104米/小时 dt dh 五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间 的关系, 用链式求导法求解. 思考题 设 = = ( ) ( ) y t x t ，由 ( ) ( ) t t yx = ((t) 0) 可知 ( ) ( ) t t yx = ，对吗？ 思考题解答 不对． ( ) x x y dx d y = dx dt dt dyx = ( ) 1 ( ) ( ) t t t t =