《高等数学》课程电子教案：第七章（7.2）向量及其加减法、向量与数的乘法

章节题目 第二节向量及其加减法、向量与数的乘法 向量的概念 向量的加减法 内|向量与数的乘法 容提要 向量的概念 向量与标量的区别 重点分析 向量的概念 难点分析 题Ps:1、3 布 备注

1 章 节 题 目 第二节 向量及其加减法、向量与数的乘法 内 容 提 要 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 重 点 分 析 向量的概念 向量与标量的区别 难 点 分 析 向量的概念 习 题 布 置 P380 ：1、3 备 注

教学内容 向量的概念 向量:既有大小又有方向的量 向量表示:a或MM2 以M1为起点,M,为终点的有向线段 向量的模:向量的大小|a或M1M 单位向量:模长为1的向量.a°或M,M02 零向量:模长为0的向量.0 自由向量:不考虑起点位置的向量 相等向量:大小相等且方向相同的向量 b 负向量:大小相等但方向相反的向量-a 向径:空间直角坐标系中任一点与原点构成的向量.OM 、向量的加减法 加法:a+b=c (平行四边形法则) (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地:若a∥b分为同向和反向 C IcEal+bl

2 教 学 内 容 一、向量的概念 向量：既有大小又有方向的量. 向量表示： a  或 M1M2 以 M1 为起点， M2 为终点的有向线段. 向量的模：向量的大小 | a |  或 M1M2 单位向量：模长为 1 的向量. 0 a 或 2 0 M1M 零向量：模长为 0 的向量. 0  自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量. a  − 向径：空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量. OM 二、向量的加减法 [1] 加法： a b c    + = （平行四边形法则） （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 特殊地：若 a ‖ b 分为同向和反向 | c | | a | | b |    = + c  M1 M2   a  b  a  − a  a  b  c  a  b 

c=|a|-|b 向量的加法符合下列运算规律 (1)交换律:a+b=b+a (2)结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) (3)a+(-a)=0 2减法a-b=a+(-b) a+b b 向量与数的乘法 设A是一个数,向量a与λ的乘积规定为 (1)>0,与a同向,|=Aa (2)=0,A=0 (3)A<0,A与a反向,|石A|al 数与向量的乘积符合下列运算规律:

3 | c | | a | | b |    = − 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a.     + = + （2）结合律： a b c a b c       + + = ( + ) + a (b c).    = + + （3） ( ) 0.    a + −a = [2] 减法 a b a ( b)     − = + − c a b a b      = + (− )= − 三、向量与数的乘法 设  是一个数，向量 a  与  的乘积 a   规定为 (1)   0, a   与 a  同向， | a | | a |    =  (2)  = 0, 0   a = (3)   0, a   与 a  反向， | a | | | | a |    =   数与向量的乘积符合下列运算规律： c  a  b  a b   + a b   a −  b  a b   b  − b  c −  a  a  2 a  2 1 −

(1)结合律:A(4a)=(Aa)=(A)a (2)分配律:(+4)d=Aa+Ha n(a+b=na+1b 两个向量的平行关系 定理设向量d≠0,那末向量b平行于d的充 分必要条件是:存在唯一的实数,使b= 证充分性显然 必要性设b∥a取川= 当b与d同向时A取正值, 当b与a反向时λ取负值,即有b=Ad 此时b与石同向且=同=团 A的唯一性设b=石,又设b=1a, 两式相减,得(2-1)d=0,即2-川l=0, l≠0,故2-(=0,即A= 设d表示与非零向量a同方向的单位向量, 按照向量与数的乘积的规定 a=d|d°→a=a 上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量 例1化简a-b+5-b 例2试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形必是平行四边形

4 （1）结合律： ( a) ( a)     =   a  = () （2）分配律： a a a    ( + ) =  +  a b a b     ( + ) =  +  两个向量的平行关系 . 0 b a a b a       =   分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 定理 设向量 ，那末向量 平行于 的充 证 充分性显然； 必要性 b  设 ‖ a  , a b   取  = 当b 与 a同向时  取正值，   当b 与 a 反向时  取负值，   b a.   即有 =  此时 b 与 a同向.     a a   且  =  a a b    = b .  = 的唯一性.设 b a，   =  又设 b a，   =  两式相减，得 ( ) 0，    −  a = 即 − a = 0，    a  0，   故  −  = 0，即 = . 设a 表示与非零向量a同方向的单位向量， 0  按照向量与数的乘积的规定， 0 a | a | a    =  . | | 0 a a a    = 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 例 1 化简         − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b      解         − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b      a b         = − + − − + 5 5 1 2 5 (1 3) 1 . 2 5 2a b   = − − 例 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形

b B 证∵AM=MC BM= MD AD=AM+ md= Mc+ BM= be AD与BC平行且相等,结论得证 四、小结 向量的概念(注意与标量的区别) 向量的加减法(平行四边形法则) 向量与数的乘法(注意数乘后的方向) 思考题 已知平行四边形ABCD的对角线 AC=a bd= b 试用a,b表示平行四边形四边上对应的向量 思考题解答 1-212 BC =AD=AM+ MD=-(a+b) DC =AB=AM+ MB=-(a-b

5 证  AM = MC BM = MD  AD = AM + MD = MC + BM = BC AD 与 BC 平行且相等, 结论得证. 四、小结 向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向） 思考题 已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC a,  = BD b  = 试用 a b   , 表示平行四边形四边上对应的向量. 思考题解答 BC = AD = AM + MD ( ). 2 1 a b   = + DC = AB = AM + MB ( ). 2 1 a b   = − A B D C M a  b  A B D C M a  b 