章节题目 第八节多元函数的极值及其求法 多元函数极值的概念、必要条件及充分条件 多元函数的最值 内|条件极值的求法 容提要 极值的必要条件及充分条件 极值与最值的求法 重点分析 用拉格朗日乘数法求解条件极值 拉格朗日乘数法所得方程组的求法 难点分析 习题布置 P202、6、8、10 备注
1 章 节 题 目 第八节 多元函数的极值及其求法 内 容 提 要 多元函数极值的概念、必要条件及充分条件 多元函数的最值 条件极值的求法 重 点 分 析 极值的必要条件及充分条件 极值与最值的求法 难 点 分 析 用拉格朗日乘数法求解条件极值 拉格朗日乘数法所得方程组的求法 习 题 布 置 P70 2、6、8、10 备 注
教学内容 问题的提出 实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2 元,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖ⅹ元,外地牌子的每瓶卖y元,则每天 可卖出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁,80+6x-7y瓶外地牌子的果汁问:店主每天 以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益? 每天的收益为f(x,y)=(x-1)(70-5x+4y)+(y-1.2)80+6x-7y 求最大收益即为求二元函数的最大值 二、多元函数的极值和最值 观察二元函数z=-的图形 1、二元函数极值的定义:设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某邻域内有定义,对 于该邻域内异于(x,y)的点(x,y):若满足不等式∫(x,y)f(x0,y0),则称函数在(x0,y0) 有极小值 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 例1、函数Z=3x2+4y2在(0,0)处有极小值 例2、函数Z=√x2+y2在(0,0)处有极大值 例3、函数Z=xy在(0,0)处无极值 2、多元函数取得极值的条件 定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y)具有偏导数,且在点(x0,y)处 有极值,则它在该点的偏导数必然为零:f2(x0,%)=0,f(x,y)=0 证不妨设二=f(x,y)在点(x,y)处有极大值,则对于(x0,y)的某邻域内任意 2
2 教 学 内 容 一、问题的提出 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价 1 元，外地牌子每瓶进价 1.2 元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的每瓶卖 y 元，则每天 可卖出 70-5x+4y 瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y 瓶外地牌子的果汁问：店主每天 以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 f (x, y) = (x −1)(70 −5x + 4y) + ( y −1.2)(80 + 6x − 7y) 求最大收益即为求二元函数的最大值. 二、多元函数的极值和最值 观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e xy z + = − 1、二元函数极值的定义：设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内有定义，对 于该邻域内异于 ( , ) 0 0 x y 的点 (x, y) ：若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称 函数在 ( , ) 0 0 x y 有极大值；若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数在 ( , ) 0 0 x y 有极小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 例 1、函数 Z=3x2+4y2 在（0，0）处有极小值 例 2、函数 Z=- 2 2 x + y 在（0，0）处有极大值 例 3、函数 Z=xy 在（0，0）处无极值 2、多元函数取得极值的条件 定理 1（必要条件）设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且在点 ( , ) 0 0 x y 处 有极值，则它在该点的偏导数必然为零： f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 . 证 不妨设 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处有极大值,则对于 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意
(x,y)≠(xy)都有f(x,y)0时具有极值,当A0时有极小值 (2)AC-B2<0时没有极值 (3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论 例4求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值 解将方程两边分别对x,y求偏导 2x+2z·′-2-4-′=0 2y+2x1+2-4=0 由函数取极值的必要条件知,驻点为P(1,-1)
3 (x, y) ( , ) 0 0 x y 都有 f (x, y) ( , ) 0 0 f x y , 故当 0 y = y ， 0 x x 时，有 f (x, y0 ) ( , ) 0 0 f x y , 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在 0 x = x 处有极大值, 必有 f x (x0 , y0 ) = 0 ; 类似地可证 f y (x0 , y0 ) = 0 . 推 广 如果 三 元函 数 u = f (x, y,z) 在 点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具 有 偏 导 数， 则 它 在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f z (x0 , y0 ,z0 ) = 0 . 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点 极值点 例如, 点 (0,0) 是函数 z = xy 的驻点，但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理 2（充分条件） 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续，有一阶及 二阶连续偏导数，又 f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0 ，令 f xx (x0 , y0 ) = A ， f xy (x0 , y0 ) = B ， f yy (x0 , y0 ) = C ， 则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC − B 时具有极值， 当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值； （2） 0 2 AC − B 时没有极值； （3） 0 2 AC − B = 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论． 例 4 求由方程 x y z 2x 2y 2 2 2 + + − + −4z −10 = 0 确定的函数 z = f (x, y) 的极值 解 将方程两边分别对 x, y 求偏导 + + − = + − − = 2 2 2 4 0 2 2 2 4 0 y y x x y z z z x z z z 由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P(1,−1)
将上方程组再分别对x,y求偏导数 1 l=0,C==”lp 故B2-AC=-1 0, 所以二=f(1,-1)=-2为极小值; 当2=6时,A1 所以z=f(1,-1)=6为极大值 求函数=f(x,y)极值的一般步骤: 第一步解方程组f2(x,y)=0,f,(x,y)=0求出实数解,得驻点 第二步对于每一个驻点(x,y),求出二阶偏导数的值A、B、C 第三步定出AC-B2的符号,再判定是否是极值 3、多元函数的最值 与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值 求最值的一般方法: 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互 比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值 例5求二元函数z=f(x,y)=xy(4-x-y)在直线x+y=6,x轴和y轴 所围成的闭区域D上的最大值与最小值 解如图 先求函数在D内的驻点, x+y=6 D
4 将上方程组再分别对 x, y 求偏导数, , 2 1 , | 0, | 2 1 | z B z C z z A zxx P xy P yy P − = = = = − = = 故 0 ( 2) (2 ) 1 2 2 − − = − z z B AC ,函数在 P 有极值. 将 P(1,−1) 代入原方程, 有 z1 = −2, z2 = 6, 当 z1 = −2 时， 0 4 1 A = , 所以 z = f (1,−1) = −2 为极小值； 当 z2 = 6 时， 0 4 1 A = − , 所以 z = f (1,−1) = 6 为极大值. 求函数 z = f (x, y) 极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f (x, y) = 0, x f y (x, y) = 0 求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( , ) 0 0 x y ，求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第三步 定出 2 AC − B 的符号，再判定是否是极值. 3、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互 比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 例 5 求二元函数 ( , ) (4 ) 2 z = f x y = x y − x − y 在直线 x + y = 6 ， x 轴和 y 轴 所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值. 解 如图, 先求函数在 D 内的驻点， x y o x + y = 6 D
50 解方程组 f(x,y)=2xy(4-x-y)-x2y=0 f(x,y)=x2(4-x-y)-x2y=0 得区域D内唯一驻点(2,1),且f(2,1)=4 再求f(x,y)在D边界上的最值 在边界x=0和y=0上f(x,y)=0, 在边界x+y=6上,即y=6-x 于是f(x,y)=x2(6-x)(-2) 由f=4x(x-6)+2x2=0, 得x=0,x2=4→y=6-x|1=4=2,f(42)=-64 比较后可知f(21)=4为最大值, f(4,2)=-64为最小值 例 的最大值和最小值 解由二=(x+y2+1)-2x(x+y=0,=,=(x2+y2+1)2 (x2+y2+1)-2y(x+y) 0. (x2+y2+1)
5 解方程组 = − − − = = − − − = ( , ) (4 ) 0 ( , ) 2 (4 ) 0 2 2 2 f x y x x y x y f x y x y x y x y y x 得区域 D 内唯一驻点 (2,1) ,且 f (2,1) = 4, 再求 f (x, y) 在 D 边界上的最值 在边界 x = 0 和 y = 0 上 f (x, y) = 0 , 在边界 x + y = 6 上，即 y = 6 − x 于是 ( , ) (6 )( 2) 2 f x y = x − x − , 由 4 ( 6) 2 0 2 f x = x x − + x = , 得 x1 = 0, x2 = 4 6 | 2, y = − x x=4= f (4,2) = −64, 比较后可知 f (2,1) = 4 为最大值, f (4,2) = −64 为最小值. 例 6 求 1 2 2 + + + = x y x y z 的最大值和最小值. 解 由 0, ( 1) ( 1) 2 ( ) 2 2 2 2 2 = + + + + − + = x y x y x x y zx 0, ( 1) ( 1) 2 ( ) 2 2 2 2 2 = + + + + − + = x y x y y x y z y D
得驻点(√2 )和( 因为m-x+y x+y2+10即边界上的值为零 所以最大值为一,最小值为一 无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,并无其他条件 三、条件极值拉格朗日乘数法 实例:小王有200元钱,他决定用来购买两种急需物品:计算机磁盘和录音磁带, 设他购买x张磁盘,y盒录音磁带达到最佳效果,效果函数为U(xy)=nx+ny.设 每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何分配这200元以达到最佳效果 问题的实质:求Uxy)=nx+my在条件8x+10y=200下的极值点 条件极值:对自变量有附加条件的极值 拉格朗日乘数法:要找函数==f(x,y)在条件q(x,y)=0下的可能极值点,先构 造函数F(x,y)=f(x,y)+A(x,y),其中A为某一常数,可由 f(x,y)+A02(x,y)=0 f(x,y)+q,(x,y)=0 p(x,y)=0 解出x,y,,其中x,y就是可能的极值点的坐标 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况:要找u=f(x,y,z,)在条件 qp(x,yz,1)=0,v(x,y,z,)=0下的极值, 先构造函数F(x,y,=,D)=f(x,y,=,1)+A9(x,y2=,1)+(x,y,=,D)
6 得驻点 ) 2 1 , 2 1 ( 和 ) 2 1 , 2 1 (− − , 因为 0 1 lim 2 2 = + + + → → x y x y y x 即边界上的值为零. , 2 1 ) 2 1 , 2 1 z( = , 2 1 ) 2 1 , 2 1 z(− − = − 所以最大值为 2 1 ，最小值为 2 1 − . 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 三、条件极值拉格朗日乘数法 实例： 小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带， 设他购买 x 张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 U(x,y)=lnx+lny ．设 每张磁盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果． 问题的实质：求 U(x,y)=lnx+lny 在条件 8x+10y=200 下的极值点． 条件极值：对自变量有附加条件的极值． 拉格朗日乘数法：要找函数 z = f (x, y) 在条件 (x, y) = 0 下的可能极值点，先构 造函数 F(x, y) = f (x, y) + (x, y) ，其中 为某一常数，可由 = + = + = ( , ) 0. ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) 0, x y f x y x y f x y x y y y x x 解出 x, y, ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标. 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找 u = f (x, y,z,t) 在条件 (x, y,z,t) = 0 ， (x, y,z,t) = 0 下的极值， 先构造函数 F(x, y,z,t) = f (x, y,z,t) + ( , , , ) ( , , , ) 1 2 x y z t + x y z t
其中,均为常数,可由偏导数为零及条件解出x,y,,t,即得极值点的坐标 例7将正数12分成三个正数x,y,z之和使得l=x3y2z为最大 解令F(x,y,)=xy2z+(x+y+z-12), F=3x2y2+1=0 则 Fy=2xy2+=0 解得唯一驻点(6,4,2) F=x3y2+A=0 x+y+z=12 故最大值为=63.42.2=6912 x2 例8在第一卦限内作椭球面++-=1的切平面,使切平面与三个坐 标面所围成的四面体体积最小,求切点坐标 解设P(x2y,=0)为椭球面上一点 令F(x1小)3xbc 则F!=x,F=2,E=2 过P(x0,y,=0)的切平面方程为 +(y-y)+3(2-=0)=0 化简为x如+y 该切平面在三个轴上的截距各为rsa2 所围四面体的体积T 66在条件++=1下求V的最小 值,令=hx0+hy+hn=0 G(x,y,)=hx+hy+h0+(2++-1)
7 其中 1 2 , 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x, y,z,t ，即得极值点的坐标. 例 7 将正数 12 分成三个正数 x, y,z 之和 使得 u x y z 3 2 = 为最大. 解 令 ( , , ) ( 12) 3 2 F x y z = x y z + x + y + z − , 则 + + = = + = = + = = + = 12 0 2 0 3 0 3 2 3 2 2 x y z F x y F x yz F x y z z y x 解得唯一驻点 (6,4,2) ， 故最大值为 6 4 2 6912. 3 2 umax = = 例 8 在第一卦限内作椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 的切平面，使切平面与三个坐 标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标. 解 设 ( , , ) 0 0 0 P x y z 为椭球面上一点, 令 ( , , ) 1 2 2 2 2 2 2 = + + − c z b y a x F x y z , 则 2 2 0 | a x Fx P = ， 2 2 0 | b y Fy P = ， 2 2 0 | c z Fz P = 过 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的切平面方程为 ( − 0 ) + 2 0 x x a x ( − 0 ) + 2 0 y y b y ( 0 ) 0 2 0 z − z = c z , 化简为 1 2 0 2 0 2 0 = + + c z z b y y a x x , 该切平面在三个轴上的截距各为 0 2 x a x = ， 0 2 y b y = ， 0 2 z c z = , 所围四面体的体积 0 0 0 2 2 2 6 6 1 x y z a b c V = xyz = ,在条件 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 + + = c z b y a x 下求V的最小 值, 令 ln ln ln , 0 0 0 u = x + y + z ( , , ) 0 0 0 G x y z = ln x0 + ln y0 + ln z0 + ( 1) 2 2 0 2 2 0 2 2 0 + + − c z b y a x
G′=0.G′=0.G′=0 b 0 2ay 0 b 即112==0 y 可得x 当切点坐标为(a,了 )时,四面体的体积最小V 四、小结 多元函数的极值 (取得极值的必要条件、充分条件) 多元函数的最值 拉格朗日乘数法 思考题 若∫(xy)及∫(x,y)在(x,y)点均取得极值,则∫(x,y)在点(x0,y)是否也取 得极值? 思考题解答 不是.例如f(x,y)=x2-y2, 当x=0时,f(0,y)=-y2在(0,0)取极大值; 当y=0时,f(x,0)=x2在(0,0)取极小值; 但f(x,y)=x2-y2在(0,0)不取极值
8 由 , 1 0 0, 0, 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 + + − = = = = c y b y a x Gx Gy Gz 即 + + − = + = + = + = 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 c z b y a x c z z b y y a x x 可得 3 0 a x = ， 3 0 b y = ， 3 0 c z = 当切点坐标为( 3 a ， 3 b ， 3 c )时, 四面体的体积最小 V abc 2 3 min = . 四、小结 多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法 思考题 若 ( , ) 0 f x y 及 ( , ) 0 f x y 在 ( , ) 0 0 x y 点均取得极值，则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 是否也取 得极值？ 思考题解答 不是. 例如 2 2 f (x, y) = x − y , 当 x = 0 时， 2 f (0, y) = −y 在 (0,0) 取极大值; 当 y = 0 时， 2 f (x,0) = x 在 (0,0) 取极小值; 但 2 2 f (x, y) = x − y 在 (0,0) 不取极值