数学建模入门—一—双层玻璃窗的功效 双层玻璃的功效 北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的,即窗户上装两层厚度 为d的玻璃夹着一层厚度为的空气,如左图所示,据说这样做是为 了保暖,即减少室内向室外的热量流失 我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导(即流失) 过程,并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如右图, 玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比,对双层玻璃窗能够减少多少 热量损失给出定量分析结果。 墙 T 热传导方向 、模型假设 热量的传播过程只有传导,没有对流。即假定窗户的密封性 能很好,两层玻璃之间的空气是不流动的; 2、室内温度T和室外温度T保持不变,热传导过程已处于稳定 状态,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常数; 3、玻璃材料均匀,热传导系数是常数
数学建模入门——双层玻璃窗的功效 1 双层玻璃的功效 北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度 为 d 的玻璃夹着一层厚度为 l 的空气，如左图所示，据说这样做是为 了保暖，即减少室内向室外的热量流失。 我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失） 过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图， 玻璃厚度为 2d ）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少 热量损失给出定量分析结果。 一、模型假设 1、 热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性 能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的； 2、 室内温度 T1 和室外温度 T2 保持不变，热传导过程已处于稳定 状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数； 3、 玻璃材料均匀，热传导系数是常数
数学建模入门—双层玻璃窗的功效 二、符号说明 71一—室内温度 T2—一室外温度 d-—单层玻璃厚度 ——两层玻璃之间的空气厚度 T——内层玻璃的外侧温度 T——外层玻璃的内侧温度 热传导系数 O——热量损失 模型建立与求解 由物理学知道,在上述假设下,热传导过程遵从下面的物理规 律 厚度为d的均匀介质,两侧温度差为AT,则单位时间由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为O,与AT成正比,与 d成反比,即 AT 其中k为热传导系数。 1、双层玻璃的热量流失 记双层窗内窗玻璃的外侧温度为,外层玻璃的内侧温度为T, 玻璃的热传导系数为k,空气的热传导系数为k2,由(1)式单位时 间单位面积的热量传导(热量流失)为: T -T Q=k (2) d d d 由Q=k及Q=k可得,-7=(1-71)-2 k 再代入Q=k2就将(2)中、消去,变形可得
数学建模入门——双层玻璃窗的功效 2 二、符号说明 T1——室内温度 T2——室外温度 d ——单层玻璃厚度 l——两层玻璃之间的空气厚度 Ta——内层玻璃的外侧温度 Tb——外层玻璃的内侧温度 k ——热传导系数 Q——热量损失 三、模型建立与求解 由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规 律： 厚度为 d 的均匀介质，两侧温度差为 T ，则单位时间由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为 Q ，与 T 成正比，与 d 成反比，即 d T Q k = （1） 其中 k 为热传导系数。 1、双层玻璃的热量流失 记双层窗内窗玻璃的外侧温度为 Ta ，外层玻璃的内侧温度为 Tb ， 玻璃的热传导系数为 1 k ，空气的热传导系数为 2 k ，由（1）式单位时 间单位面积的热量传导（热量流失）为： d T T k d T T k d T T Q k a a b b 2 2 1 1 1 − = − = − = （2） 由 d T T Q k − a = 1 1 及 d T T Q k b 2 1 − = 可得 1 ( 1 2 ) 2 k Qd Ta −Tb = T −T − 再代入 d T T Q k a − b = 2 就将（2）中 Ta、Tb 消去，变形可得：
数学建模入门—一—双层玻璃窗的功效 k(71-72) s=h (3) 2、单层玻璃的热量流失 对于厚度为2d的单层玻璃窗户,容易写出热量流失为: T -T Q=k (4) 3、单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较 比较(3)(4)有 Q (5) 显然,Q4)后Q/Q下降缓慢,可见h不 宜选得过大
数学建模入门——双层玻璃窗的功效 3 ( ) d l h k k s h d s k T T Q = = + − = , , 2 ( ) 2 1 1 2 1 （3） 2、单层玻璃的热量流失 对于厚度为 2d 的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： d T T Q k 2 1 2 1 − = （4） 3、 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较 比较（3）（4）有： 2 2 + = Q s Q （5） 显然， Q Q。 为了获得更具体的结果，我们需要 1 2 k ,k 的数据，从有关资料可 知，不流通、干燥空气的热传导系数 4 2 2.5 10− k = （焦耳/厘米.秒.度）， 常用玻璃的热传导系数 3 3 1 4 10 ~ 8 10 − − k = （焦耳/厘米.秒.度），于是 16 ~ 32 2 1 = k k 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们 作最保守的估计，即取 16 2 1 = k k ，由（3）（5）可得： d l h Q h Q = + = 8 1 1 （6） 4、模型讨论 比值 Q Q 反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与 h = l d 有关，下图给出了 Q Q ~ h 的曲线，当 h 由 0 增加时， Q Q 迅 速下降，而当 h 超过一定值（比如 h 4 ）后 Q Q 下降缓慢，可见 h 不 宜选得过大
数学建模入门—一—双层玻璃窗的功效 0.02 四、模型的应用 这个模型具有一定的应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂 会增加一些费用,但它减少的热量损失却是相当可观的。通常,建 筑规范要求h=ld≈4。按照这个模型,Q(≈3%,即双层玻璃窗比 用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右。不难发现, 之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数 k2’而这要求空气是干燥、不流通的。作为模型假设的这个条件在 实际环境下当然不可能完全满足,所以实际上双层玻璃窗的功效会 比上述结果差一些
数学建模入门——双层玻璃窗的功效 4 四、模型的应用 这个模型具有一定的应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂 会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建 筑规范要求 h = l d 4 。按照这个模型， Q Q 3% ，即双层玻璃窗比 用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量 97%左右。不难发现， 之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数 2 k ，而这要求空气是干燥、不流通的。作为模型假设的这个条件在 实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会 比上述结果差一些