数建模与教堂奥验 非线性规 后勤工程学院数学教研室
1 数学建模与数学实验 后勤工程学院数学教研室 非线性规划
实验目的 1、直观了解非线性规划的基本内容。 2、掌握用数学软件求解优化问题。 实验内容 1、非线性规划的基本理论。 2、用数学软件求解非线性规划。 3、铟管订购及运输优化模型 4、实验作业
2 实验目的 实验内容 2、掌握用数学软件求解优化问题。 1、直观了解非线性规划的基本内容。 1、非线性规划的基本理论。 4、实验作业。 2、用数学软件求解非线性规划。 3、钢管订购及运输优化模型
非线性规划 非线性规划的基本概念 六非线性规划的基本解法 返回
3 *非线性规划的基本解法 非线性规划的基本概念 非线性规划 返回
非现性规划的基本概念 定义如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题 一般形式: min f(r) g;(X)≥0i=1,2,,m; s t 1h(x)=0j=121 (1) 其中X=(x2x2…xn)∈F",f,81,h;是定义在E上的实值函 数,简记:f:E→E,g:E→E,h:E→E 其它情况:求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况,都可通过取其相反数化为上述一般形式
4 定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题． 非现性规划的基本概念 一般形式: （1） 其中 ， 是定义在 E n 上的实值函 数，简记: min f (X ) ( ) ( ) = = = 0 1,2,..., . 0 1,2,...,m; . . h X j l g X i st j i ( ) T n X = x1 , x2 ,, xn E gi hj f , , n 1 j n 1 i n 1 f : E → E , g : E → E , h : E → E 其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
定义1把满足问题(1)中条件的解X(∈E")称为可行解(或可行 点),所有可行点的集合称为可行集(或可行域).记为D.即 D={x|8(x)≥0b(x)=0.X∈En)问题()可简记为m/(x 定义2对于问题(1),设X∈D若存在δ>0,使得对一切 X∈D且x-x<δ,都有f(x*)s(x)则称X是f(X在D上的 局部极小值点(局部最优解).特别地当x≠x时,若(x)</(x) 则称X是f(X)在D上的严格局部极小值点(严格局部最优解) 定义3对于间题(,设x'∈D,对任意的x∈D,都有(x)f(x) 则称X*是f(X)在D上的全局极小值点(全局最优解).特别地当 x≠x时,若八(x)<(x),则称X是f(x)在D上的严格全局极小值点 (严格全局最优解)
5 定义1 把满足问题（1）中条件的解 称为可行解（或可行 点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即 D = X | gi (X ) 0, hj (X ) = 0, X E n 问题(1)可简记为 ． ( ) n X E f (X ) XD min 定义2 对于问题(1)，设 ，若存在 ,使得对一切 ，且 ，都有 ，则称X *是f(X)在D上的 局部极小值点（局部最优解）．特别地当 时，若 ， 则称X *是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）． X D * 0 X D − * X X * X X f(X ) f (X ) * f(X ) f (X ) * 定义3 对于问题(1),设 ,对任意的 ,都有 则称X *是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当 时，若 ，则称X *是f(X)在D上的严格全局极小值点 （严格全局最优解）． X D * X D f(X ) f (X ) * * X X f(X ) f (X ) * 返回
非线性规划的基本解法 SUTM外点法 1、罚函数法 SUTM内点法(障碍罚函数法 2、近似规划法 返回
6 非线性规划的基本解法 SUTM外点法 SUTM内点法（障碍罚函数法） 1、罚函数法 2、近似规划法 返回
罚函数法 罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题, 进而用无约東最优化方法去求解.这类方法 称为序列无约束最小化方法.简称为SUMT 法 其一为SUMT外点法,其二为SUMT内点 法
7 罚函数法 罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题， 进而用无约束最优化方法去求解．这类方法 称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT 法． 其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点 法．
SUTM外点法 对一般的非线性规划:minf(X) g(x)≥0i s t X)=0 可设:(x,M)=f(x)+M∑[m(0g()+M∑(x)(2) 将问题①)转化为无约束间题:mnT(X,M) (3) X∈E 其中T(X,M)称为罚函数,M称为罚因子,带M的项称为罚项,这 里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:X∈D时,满 足g:(X)≥02(X)=0,故罚项=0,不受惩罰.X≠D时, 8(X)0,要受惩罚
8 ( , ) ( ) min (0, ( )) ( ) (2) 1 2 1 2 = = = + + l j j m i 可设：T X M f X M gi X M h X 1 min T(X,M ) (3) n XE 将问题（）转化为无约束问题： 其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，这 里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚：当 时，满 足各 ，故罚项=0，不受惩罚．当 时， 必有 的约束条件，故罚项>0，要受惩罚． X D gi (X) 0,hi (X) = 0 X D gi (X ) 0或hi (X ) 0 SUTM外点法 ( ) ( ) ( ) (1) 0 1,2,..., . 0 1,2,..., m; . . min = = = h X j l g X i st f X j i 对一般的非线性规划：
STM外点法(罚函数法)的迭代步骤 、任意给定初始点X0,取M》1,给定允许误差ε>0,令k=1 2、求无约束极值问题mn(x4)的最优解,设为x=XM),即 min T(X, M)=T(Xk, MK) X∈En 3、若存在≤≤m,使-8(x)>,则取M>M(M41=aM=10) 令k-k+1返回(2),否则,停止迭代.得最优解x*≈xk 计算时也可将收敛性判别准则-8(x)>6改为M>m(0g(x)0 罚函数法的缺点是:每个近似最优解Ⅹ往往不是容许解, 而只能近似满足约束,在实际问题中这种结果可能不能使用; 在解一系列无约束问题中,计算量太大,特别是随着M的增大, 可能导致错误
9 罚函数法的缺点是：每个近似最优解X k往往不是容许解， 而只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用； 在解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大， 可能导致错误． 1、任意给定初始点X 0，取M1>1，给定允许误差 ，令k=1； 2、求无约束极值问题 的最优解，设为X k=X(Mk)，即 ； 3、若存在 ，使 ，则取Mk>M( ) 令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 . 计算时也可将收敛性判别准则 改为 . 0 T(X M ) n X E min , min ( , ) ( , ) k k X E T X M T X M n = i(1 i m) − ( ) k gi X Mk+1 = M, =10 min(0, ( )) 0 1 2 = m i M gi X k X X * − ( ) k gi X SUTM外点法(罚函数法)的迭代步骤
SUTM内点法(障碍函数法) 考虑问题: min 8:(X)≥0i=1,2.,m() 设集合D={X|g(X)>0,i=1,2,…,m}≠如,D是可行域中 所有严格内点的集 构造障碍函数 I(X,T)(x,r)=f(X)+∑ng(x)或1(X,r)=f(X)+∑ 8 其中称∑ng(X)或戊。1为障碍项,r为障碍因子 g 这样问题(1)就转化为求一系列极值问题: min(Xk)得X(nk) X∈D
10 ( ) ( ) (1) . . 0 1,2,..., min i st g X = m f X i 考虑问题： ( ) 所有严格内点的集合。 设集合D 0 = X | gi X 0,i =1,2,,m ，D 0 是可行域中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 其中称 或 为障碍项， 为障碍因子 ： 或 构造障碍函数 r g X r g X r g X I X r I X r f X r g X I X r f X r m i i m i i m i i m i i = = = = = + = + 1 1 1 1 1 ln 1 , , ln ( , ) ( ) ( ) 得 （ ） 这样问题（）就转化为求一系列极 值问题： k k k X D I X r X r min , 1 0 SUTM内点法（障碍函数法）