第十一章多元函数积分学 第一节二重积分的概念与计算 第二节二重积分应用举例 第三节三重积分的概念与计算 第四节对坐标的曲线积分 *第五节格林( Green)公式及其应用 *第六节对坐标的曲面积分及其应用 冈凶
第一节 二重积分的概念与计算 第二节 二重积分应用举例 *第三节 三重积分的概念与计算 *第四节 对坐标的曲线积分 *第五节 格林（Green）公式及其应用 *第六节 对坐标的曲面积分及其应用 第十一章 多元函数积分学
第一节二重积分的概念与计算 二重积分的概念与性质 二、在直角坐标系中计算二重积分 三、在极坐标系中计算二重积分 冈凶
一、二重积分的概念与性质 二、在直角坐标系中计算二重积分 三、在极坐标系中计算二重积分 第一节 二重积分的概念与计算
第一节二重积分的概念与计算 二重积分的概念与性质 曲边梯形面积计算回顾 第一步:将[a,b]无限细分,在微小 区间[x,x+ax]上“以直代曲”,求 得面积微元为dA=f(x)dx y=f(r) 这一步即局部线性化 第二步:将微元d4在[a,b]上无 限累积,即得面积为 A= f(x)dx 冈凶
第一节 二重积分的概念与计算 曲边梯形面积计算回顾 第一步:将[a,b]无限细分,在微小 区间 [x, x + dx]上“以直代曲”,求 得面积微元为 dA = f (x)dx 这一步即局部线性化. 第二步:将微元dA 在[a,b]上无 限累积，即得面积为 = a b A f (x)dx. O y xx+dx x a b y = f (x) dA 一、二重积分的概念与性质
下面我们把这种思想推广到平面区域D上的 二元函数f(x,y) 1.引例:曲顶柱体的体积 曲顶柱体:若立体的底为xOy平面上的有界闭区 域D,其侧面为以D的边界线为准线,而母线平行 z轴的柱面,其顶是二元函数z=f(x2y)所表示的曲面 这样的几何体称为曲顶柱体 冈凶
下面我们把这种思想推广到平面区域 D 上的 二元函数 f (x, y). 1 .引例:曲顶柱体的体积 曲顶柱体：若立体的底为xOy平面上的有界闭区 域 D ,其侧面为以 D 的边界线为准线，而母线平行 z轴的柱面，其顶是二元函数z = f (x, y)所表示的曲面. 这样的几何体称为曲顶柱体
曲顶柱体的体积 设f(x,y)≥0,求曲顶柱体(如下图)的体积 第一步:将区域D无限细分,在微小区域dσ上取 点(x2y),用以f(x,y)为高,do为底的平顶柱体体积 f(x,y)do近似代替d上的小曲顶柱体体积,即得体积 微元 dv=f(x, y)do =f(x,y) 第二步:将体积微元d=f(xy- 在区域D上无限累加(这一步记为 “”),则得所求曲顶柱体体积为 O V=ll f(x, y)do dD de 冈凶
第一步：将区域 D 无限细分，在微小区域 d 上取 一 点(x, y),用 以 f (x, y) 为高，d 为底的平顶柱体体积 f (x, y) d 近似代替d 上的小曲顶柱体体积，即得体积 微元 dV = f (x, y)d . 第二步:将体积微元dV=f(x,y)d 在区域D上无限累加(这一步记为 “ D ”),则得所求曲顶柱体体积为 = D V f (x, y)d . 曲顶柱体的体积 设 f (x, y)≥0,求曲顶柱体(如下图)的体积. x z O y z = f (x,y) D d
2.二重积分的概念 设z=f(x,y)为定义在有界闭区域D上的连续函 数,则上述两步后所得的表达式/(xy)d,即为函数 f(x,y)在区域D上的二重积分.其中f(x,y)称为被积函 数,D为积分区域,f(x,y)da称为被积式,do为面积 元素,x与y称为积分变量 二重积分的几何意义:当f(x,y)≥0时二重积分代表 曲顶柱体的体积;特别地,当/(xy)=+1时,j表示区域 D的面积 冈凶
2．二重积分的概念 设 z = f (x, y) 为定义在有界闭区域D 上的连续函 数，则上述两步后所得的表达式 D f (x, y)d ,即为函数 f (x, y)在区域D 上的二重积分.其中f (x, y) 称为被积函 数,D为积分区域, f (x, y)d 称为被积式, d 为面积 元素，x与 y 称为积分变量. 二重积分的几何意义：当f (x, y)≥ 0 时二重积分代表 曲顶柱体的体积；特别地,当f (x, y) =1 时, D d 表示区域 D的面积
3.二重积分的性质 性质1常数因子可提到积分号外面,即 kf(x,ydo =kll f(x, yedo. 性质2函数和与差的积分等于各函数积分的和与 差,即 JJU(, D)+g(x, y)Ho=lf(x, y)dot J8(x, y)do 性质3若积分区域D分割为D1与D2两部分, 则有 ∫(x,y0(xy+(x,y 冈凶
3．二重积分的性质 性 质 1 常数因子可提到积分号外面，即 ( , )d ( , )d = D D kf x y k f x y . 性质 2 函数和与差的积分等于各函数积分的和与 差,即 [ ( , ) ( , ) ]d D f x y g x y = D f (x, y)d D g(x, y)d . 性质 3 若积分区域 D 分割为 D1与 D2 两部分, 则有 ( , )d D f x y = ( , )d 1 D f x y + ( , )d 2 D f x y
性质4(中值定理)设f(x,y)在有界闭域D 上连续,σ是区域D的面积,则在D上至少有一点 (E,m)使得下式成立f(x,y)do=f(E,m)o 二、在直角坐标系中计算二重积分 在直角坐标系中我们采用平行于x轴和y轴的直 线把区域D分成许多小矩形,于是面积元素da=dxdy, 二重积分可以写成(x,y)d 设D可表示为不等式(如下页图(a)) y(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b 冈凶
性 质 4 (中值定理) 设 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续, 是区域 D 的面积，则在 D 上至少有一点 ( ,)使得下式成立 f (x, y)d f ( ,) D = . 在直角坐标系中我们采用平行于 x轴 和 y轴的直 线把区域D分成许多小矩形,于是面积元素d = dxdy, 二重积分可以写成 D f (x, y)dxdy. 设D可表示为不等式(如下页图 (a)) ( ) 1 y x ≤ y≤ ( ) 2 y x , a≤ x≤ b. 二、在直角坐标系中计算二重积分
下面我们用定积分的“切片法”来求这个曲顶柱 体体积 y=y(x) -=f(r,y) D y=y(x) a x a (b) 在[a,b上任意固定一点x,过x作垂直于x 轴的平面与柱体相交,截出的面积设为S(x0),由定 y2(x0) 积分可知 S(x0) f(xo, y)dy n1(x0 冈凶
下面我们用定积分的“切片法”来求这个曲顶柱 体体积. y O a x b x ( ) 2 y =y x ( ) y = y1 x D O y a x x ( ) 2 y = y x ( ) 1 y = y x b z z = f (x, y) (a) (b) 在[a,b]上任意固定一点 0 x ,过 0 x 作垂直于 x 轴的平面与柱体相交,截出的面积设为 ( ) 0 S x ,由 定 积分可知 ( ) 0 S x = ( ) ( ) 0 2 0 1 0 ( , )d y x y x f x y y
一般地,过[a,b上任意一点x,且垂直于x轴的平面 与柱体相交得到的截面面积为S(x)-Jf(x,y) 见上页图(b),由定积分的“平行截面面积为已知, 求立体体积”的方法可知,所求曲顶柱体体积为 a ry2(x) V=L S(x)dx f(x, y)dy ldx bJy(x) 所以J/(x,y)d=(xy)ykx V1 上式也可简记为 ∫(xydy=d(x)d 冈
一般地,过[a,b]上任意一点 x,且垂直于 x 轴的平面 与柱体相交得到的截面面积为 S(x)= 2 1 ( ) ( ) ( , )d y x y x f x y y . 见上页图(b),由定积分的“平行截面面积为已知, 求立体体积”的方法可知,所求曲顶柱体体积为 = = a b V S(x)dx f x y y x a b y x y x [ ( , )d ]d ( ) ( ) 2 1 ， 所 以 = D f (x, y)dxdy f x y y x a b y x y x [ ( , )d ]d ( ) ( ) 2 1 . 上式也可简记为 = D f (x, y)dxdy a b y x y x x f x y y ( ) ( ) 2 1 d ( , )d ①
