《概率论》期末考试试题 一本书共有1,000°印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为00001,校对时每个排版错误被改 正的概率为0.9,求在校对后错误不多于15个的概率 2.某赌庄有资产100,000元.另有一赌徒拥有无穷大的赌资,试图使该赌庄破产.他每次压注1000元,每 次赢钱的概率为0.49而输钱的概率为0.51.问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大? 3.考虑[0,∞]上的 Poisson过程,参数为λ.T是与该 Poisson过程独立的随机变量,服从参数为u的指 数分布.以N表示[0,刀中 Poisson过程的增量,求N的概率分布 4.设5152…5n是独立同分布随机变量,且三阶中心矩等于零,四阶矩存在,求5=∑ 1∑u(5-5)的相关系数 5.设X是连续型随机变量,密度函数f1(x)=(1/2)exp(-|x1),-∞<x< a.证明特征函数中x(t)=1/(1+t2) b.利用上述结果和逆转公式来证明 丌(1+t2) 一 丌(1+t2) 6.设随机变量序列ξn依概率收敛于非零常数a,而且ξn≠0.证明l/5n依概率收敛于l/a 7.假设Ⅹ与Y是连续型随机变量.记Ⅴar[Y|X=x]为给定X=x的条件下Y的方差.如果E[Y|X=x]=μ与Ⅹ 无关,证明EY=u而且MY= arlY=xlx(x)dt 8.设{5n}为独立随机变量序列,且ξn服从(-n,n)上的均匀分布,证明对{5n}中心极限定理成立 9.设X,Y和Z的数学期望均为0,方差均为1.设X与Y的相关系数为p1,Y与Z的相关系数为p2,X与 Z的相关系数为P3证明A2A-√-n-n 10.用概率方法证明如下 Weierstrass定理:对区间[O,]上任何连续函数fx),必存在多项式序列{bh(x)},使在 区间[0,1]上一致地有bn(x)→f(x) 附:常用正态分布函数值:Φ(1.28)=0.9,Φ(2)=0977,中(2.33)=0.99,中(2.58)=0.995 Φ(1.64)=0.95,Φ(1.96=0.975
《概率论》期末考试试题 1. 一本书共有 1,000,000 个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为 0.0001, 校对时每个排版错误被改 正的概率为 0.9, 求在校对后错误不多于 15 个的概率. 2. 某赌庄有资产 100,000 元. 另有一赌徒拥有无穷大的赌资, 试图使该赌庄破产. 他每次压注 1000 元, 每 次赢钱的概率为 0.49 而输钱的概率为 0.51. 问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大? 3. 考虑[0,∞]上的 Poisson 过程, 参数为λ. T 是与该 Poisson 过程独立的随机变量,服从参数为μ的指 数分布. 以 NT 表示[0,T]中 Poisson 过程的增量, 求 NT 的概率分布. 4. 设ξ1ξ2……ξn 是独立同分布随机变量, 且三阶中心矩等于零, 四阶矩存在，求 = = n k k n 1 1 和 2 1 ( ) 1 − = n k k n 的相关系数. 5. 设 X 是连续型随机变量,密度函数 fX(x)= (1/2)exp(-|x|), -∞< x < ∞. a. 证明特征函数φX(t) = 1/(1+t2 ). b. 利用上述结果和逆转公式来证明 dt t dt e t e e x ixt ixt (1 ) 1 (1 ) 1 2 2 | | + = + = − − − − 6. 设随机变量序列ξn 依概率收敛于非零常数 a, 而且ξn≠0. 证明 1/ξn 依概率收敛于 1/a. 7. 假设 X 与 Y 是连续型随机变量.记 Var[Y|X=x]为给定 X=x 的条件下 Y 的方差. 如果 E[Y|X=x]=μ与 X 无关, 证明 EY=μ而且 VarY= − Var Y X = x f x dx X [ | ] ( ) . 8. 设{ξn}为独立随机变量序列, 且ξn 服从( -n, n)上的均匀分布, 证明对{ξn}中心极限定理成立. 9. 设 X,Y 和 Z 的数学期望均为 0, 方差均为 1. 设 X 与 Y 的相关系数为ρ1, Y 与 Z 的相关系数为ρ2, X 与 Z 的相关系数为ρ3. 证明 3 12 2 − 1− 1 2 1− 2 . 10. 用概率方法证明如下Weierstrass定理:对区间[0,1]上任何连续函数f(x), 必存在多项式序列{bn(x)}, 使在 区间[0,1]上一致地有 bn(x) → f(x). 附: 常用正态分布函数值: Φ(1.28)= 0.9, Φ(2)= 0.977, Φ(2.33)= 0.99, Φ(2.58)= 0.995 Φ(1.64)= 0.95, Φ(1.96)= 0.975