4条件概率与乘法公式 先看两个例子 例41四个人打桥牌,记 A=东家拿到6张黑桃 B=西家拿到3张黑桃 对于P(A),P(B),这些都是很熟悉的。但是在叫牌的过程中,东家拿到6张 黑桃后,最关心的是同伴西家手中有几张黑桃。因此,计算一下在A发生的 前提下,B发生的概率,更有实际意义。这时西家拿到三张黑桃的概率是 Cc0/C) 将它记为P(BA),称为A发生的条件下,B的条件概率 例4.2某家庭有两个小孩,每一个小孩是男孩或女孩的概率相同,则 可知 P(该家有一男一女)=1/2 P(该家有一男一女至少有一个女孩)=2/3 在古典概型中,有下面的基本关系式(设P(A)≠0) P(BJA)=P(AB)/P(A) 设A发生的有利场合为m(A),A发生B也发生的有利场合为m(AB), 则可知 P(B A)=m(AB)/m(B)=P(AB)/P(A) 条件概率也是概率,它满足 (1)P(92A)=1 (2)P(BA)≥0; (3)B1互不相交,i=1,2,…,m,则P(∑=1B1)=P(A); 由条件概率公式变形可以得到下面的乘法公式: P(AB)=P(B)P(A B)=P(A)P(B A) 由归纳法可以得到下面的更一般的乘法公式 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2A1)P(A3|A1A2)…P(An|41A2…A1-1)
Ch1 1 §4 ✂✁✂✄✂☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠ ✡✂☛✂☞✂✌✂✍✂✎✑✏ ✒ 4.1 ✓✌✂✔✂✕✂✖✂✗✑✘✚✙ A = ✛✂✜✂✢✂✣ 6 ✤✂✥✂✦✘ B = ✧✂✜✂✢✂✣ 3 ✤✂✥✂✦✏ ★✪✩ P(A) ✘ P(B) ✘✬✫✪✭✪✮✪✯✪✰✪✱✪✲✪✳✴✏✶✵✂✯✂✷✹✸✺✗✂✳✂✻✂✼✹✽✾✘ ✛✂✜✂✢✂✣ 6 ✤ ✥✪✦✪✿✘❁❀✪❂❄❃✂✳✂✯❆❅✺❇✧❄✜✂❈✽❊❉✂❋✤❄✥✂✦✏❍●✺■✴✘❑❏❄▲✂▼✂◆❄✷ A ❖✪P✳ ◗✂❘✂◆✑✘ B ❖✂P✳✂❙✂❚✑✘✚❯✂❉❄❱✂❲❄❳✂❨✴✏❩✫❄❬✧❄✜✂✢❄✣❄❭✂✤❄✥✂✦✳❄❙✂❚❄✯ C 3 7C 10 32 /C13 39 . ❪✂❫✂✙✂❴ P(B|A) ✘✚❵✂❴ A ❖✂P✳✂❛✂❜✂◆✑✘ B ✳✂❛✂❜✂❙✂❚✑✏ ✒ 4.2 ❝✂✜✂❞❉✂☞❄✌❄❡❣❢❤✘❥✐❣▼❄✌❄❡❣❢❄✯❣❦❄❢❣❧❄♠❣❢❄✳❄❙❣❚❄♥♦❅♣✘❥q r✂s P t✈✉✂✜❉✂▼✂❦✂▼✂♠♦✇ = 1/2 P t✈✉✂✜❉✂▼✂❦✂▼✂♠|①✂②❉✂▼✂✌✂♠✂❢♦✇ = 2/3 ✷✂③✂④✂❙✂⑤✹✽⑥✘✚❉✂◆❄⑦✂✳❄⑧❄⑨✂❂❄⑩✂❶ t❸❷ P(A) 6= 0 ✇❸❹ P(B|A) = P(AB)/P(A). ❷ A ❖✪P✳✪❉✪❺✪❻✪❼✂❴ m(A) ✘ A ❖✪P B ❽✪❖✪P✳✪❉✪❺✪❻✪❼✂❴ m(AB) ✘ qr✂s P(B|A) = m(AB)/m(B) = P(AB)/P(A). ❛✂❜✂❙✂❚❽ ✯✂❙✂❚✑✘✚❫❄❾❄❿❤❹ (1)P(Ω|A) = 1; (2)P(B|A) > 0; (3)Bi ➀✂➁♥✂➂✑✘ i =1 ✘ 2 ✘ · · · ✘ n ✘✚q P( Pn i=1 Bi) = P(A); ➃✺❛✂❜✂❙✂❚✂➄✂❶✂➅✂➆r✂➇❄➈✣◆❄⑦✂✳❄➉✂➊❄➄❄❶❤❹ P(AB) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A). ➃✺➋✂➌✂➊r✂➇✂➈✣◆✂⑦✂✳❄❯✂▼❄➍❄✳✂➉❄➊✂➄❄❶❤❹ P(A1A2 · · · An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)· · ·P(An|A1A2 · · · An−1). 1
§5全概公式与逆概公式 1.全概公式 假设A1,A2 An是样本空间Ω的一个分割,即A1两两不相 容,P(41)>0,且∑=141=9,则对任意的B,有B=∑=1BA, PB)=∑PBA)=∑P(A1)P(B|A) i=1 例5.1(赌徒破产模型)赌徒参加赌博,一开始他有x元赌本,而庄家 有α一x元赌本,假设每局赌徒贏的概率都为P,双方开始赌博直到其中 方输光为止,求赌徒最后输光的概率 解记 A1={赌徒开始有i元最后输光}, B={第一局赌徒贏}, 则由全概公式 P(Ai)= P(AlB)P(B)+ P(AiB)P(B) pP(A2+1)+qP(A1-1) 其中,q=1-p,记n2=P(A),则有 Pi= PPi+1+ qpi 联合p=1,pa=0可以解得 (g)2 ≠号; p P 当a>x时,就算赌局是公平的,即p=1/2,px=1-x/a≈1,赌徒 最后也几乎必然要输光
Ch1 2 §5➎ ✄✂✟✂✠✂✆✂➏✂✄✂✟✂✠ 1. ➎ ✄✂✟✂✠ ➐ ❷ A1 ✘ A2 ✘ · · · ✘ An ✯➒➑➒⑨➒➓→➔ Ω ✳➒▼➒✌➒➣➒↔↕✘♣➙ Ai ☞➒☞ ➁ ♥ ➛✑✘ P(Ai) > 0 ✘✚➜ Pn i=1 Ai = Ω ✘✚q✂★✂➝✂❳✂✳ B ✘✚❉ B = Pn i=1 BAi ✘ P(B) = Xn i=1 P(BAi) = Xn i=1 P(Ai)P(B|Ai). ✒ 5.1 t➟➞✪➠✪➡✪➢✂➤⑤♦✇ ➞✂➠✂➥❄➦✂➞✂➧✘❑▼✂➨❄➩✂➫✂❉ x ➭✪➞⑨✑✘❁➯✪➲✜ ❉ a − x ➭✂➞⑨✴✘➳➐❷✐❄➵➞❄➠❄➸✳❄❙❄❚❄✮❄❴ p ✘➳➺✂➻✂➨✂➩➞✂➧❄➼❄✣❄➽✽❊▼ ➻✂➾✂➚✂❴✂➪✑✘✚➶➞❄➠❀ ✿➾✂➚❄✳❄❙✂❚✴✏ ➹ ✙ Ai = {➞✂➠➨✂➩✂❉ i ➭ ❀ ✿➾✂➚} ✘ B = {➘▼✂➵➞✂➠✂➸} ✘ q✹➃✺➴✂❙✂➄✂❶ P(Ai) = P(Ai |B)P(B) + P(Ai |Bc )P(Bc ) = pP(Ai+1) + qP(Ai−1) ➽ ✽⑥✘ q = 1 − p ✘✚✙ pi = P(Ai) ✘✚q✂❉ pi = ppi+1 + qpi−1, ➷❼ p0 = 1 ✘ pa = 0 r✂➇✂➬✂➈ px = q p x − q p a 1 − q p a , p 6= 1 2 ; 1 − x a , p = 1 2 ➮ a x ❬✴✘❩➱✂▲➞ ➵✂✯✂➄✂✃❄✳✴✘❐➙ p = 1/2 ✘ px = 1 − x/a ≈ 1 ✘ ➞✂➠ ❀ ✿✂❽❋✂❒✂❮✂❰✂Ï✂➾✂➚✴✏ 2
2.逆概公式 利用全概公式,我们可以得到下面的逆概公式 设A1,A2,……,An是样本空间9的一个分割,则对任一事件B,P(B) 有 P(ALB)=-=4)PCB4)-,;=1,2…,n ∑P(4)P(BA4) 艾滋病是一种令人恐惧的病症,而目前为止都是通过医学检查来确定是 否感染了艾滋病。但是,医学检査的准确率有多高呢?看看下面的例子 例5.2通过医学检查,艾滋病毒携带者试验结果呈阳性的概率是0.99, 而未携带艾滋病毒的人试验结果呈阳性的概率是0.01。如果人口总数的0.001 为艾滋病毒携带者,求一个人在试验结果呈阳性的情况下,实际上是艾滋病 携带者的概率。 解 A={艾滋病毒携带者} T={试验结果呈阳性} 有P(A)=001,P(T|A)=0.9,P(TA)=0.01。由逆概公式 P(TA)P(A) P(AT)P(T A)P(A)+P(T A)P(Ac)0.09 也就是说,在测试结果为阳性的人当中,只有不到十分之一的人是真正 的艾滋病毒携带者。而真正决定检査准确率的,是人群中携带艾滋病毒人数 所占的比例,和未携带艾滋病毒的人测试结果为阳性的概率 §6独立性 定义称两个事件A,B是相互独立的,如果 P(AB)= P(A)P(B) 称为独立,是因为如果A,B相互独立,就有P(B|A)=P(AB)P(A)= P(B),就是说,A的发生并不影响B发生的可能性的大小
Ch1 3 2. ➏✂✄✂✟✂✠ ❺✂Ð✂➴✂❙✂➄✂❶✑✘✚Ñ✂Òr✂➇❄➈✣◆❄⑦✂✳❄Ó❄❙✂➄❄❶✴✏ ❷ A1 ✘ A2 ✘ · · · ✘ An ✯♣➑♣⑨♣➓❤➔ Ω ✳♣▼♣✌♣➣♣↔➒✘Ôq✪★✂➝✪▼✪Õ✪❜ B ✘ P(B) > 0 ✘✚❉ P(Ai |B) = P(Ai)P(B|Ai) Xn j=1 P(Aj)P(B|Aj) , i = 1, 2, · · · , n. Ö✪×✪Ø✪✯✪▼✪Ù✪Ú✂✔✂Û✂Ü✂✳✂Ø✪Ý✴✘Þ➯àßá◗✂❴✂➪✂✮✂✯✂â✂✻✹ã✺ä✂å✂æ✂ç✂è✂é✂✯ ê✂ë✂ì✂íÖ✂×✂Ø✑✏î✵❄✯✑✘ïã❊ä✂å❄æ✂✳❄ð❄è✂❚❄❉❄ñ✂ò❄ó❆ô❁☛❄☛✂◆❄⑦❄✳✂✍❄✎✴✏ ✒ 5.2 â✪✻↕ãõä✪å✂æ✴✘öÖ✂×✂Ø❄÷✂ø❄ù✂ú✂û❄ü✂ý✂þ❄ÿ✁✄✂✂✳✂❙❄❚✂✯ 0.99 ✘ ➯✆☎♣ø♣ù♣Ö♣×♣Ø✪÷✪✳✪✔✪û✪ü✪ý✪þ✪ÿ✝✞✂✪✳✪❙✪❚✪✯ 0.01 ✏✠✟♣þ♣✔☛✡✌☞✆✍♣✳ 0.001 ❴✂Ö✂×✂Ø✂÷✂ø✂ù✂ú✑✘ö➶❄▼✂✌❄✔✂✷❄û✂ü❄ý✂þ❄ÿ✁✄✂✂✳✏✎✒✑❄◆✑✘✚❱❄❲✏✓✂✯❄Ö✂×❄Ø ø✂ù✂ú✂✳✂❙✂❚✑✏ ➹ ✙ A = {Ö✂×✂Ø✂÷✂ø✂ù✂ú} ✘ T = {û✂ü✂ý✂þ✂ÿ✁✔✂} ✘ ❉ P(A) = 0.001 ✘ P(T|A) = 0.99 ✘ P(T|Ac ) = 0.01 ✏á➃✺Ó✂❙✂➄✂❶ P(A|T) = P(T|A)P(A) P(T|A)P(A) + P(T|Ac )P(Ac ) = 0.09. ❽ ➱✂✯✒✕✑✘ö✷✒✖✂û✂ý✂þ✂❴✁✄✂✂✳❄✔➮ ✽✾✘✘✗✂❉➁✣✏✙➣✏✚✂▼❄✳✂✔❄✯✒✛✏✜ ✳✂Ö✂×✂Ø✂÷✂ø✂ù✂ú✑✏ö➯✏✛✒✜✏✢✂é❄å✂æ❄ð✂è❄❚✂✳✴✘✚✯❄✔✒✣❆✽✺ø❄ù✂Ö❄×✂Ø❄÷✂✔✏✍ ✤✁✥ ✳✁✦✺✍✑✘✘✧✒☎❄ø❄ù✂Ö❄×✂Ø❄÷❄✳✂✔✏✖✂û❄ý❄þ✂❴★✄✂✂✳❄❙✂❚✴✏ §6 ✩✒✪✒✫ ✬✒✭ ❵✂☞✂✌✂Õ✂❜ A ✘ B ✯✂♥➀✒✮✒✯✳✑✘✘✟✂þ P(AB) = P(A)P(B). ❵♣❴✮✆✯✘ ✯↕●õ❴✒✟✪þ A ✘ B ♥➀✆✮✆✯✘ ➱✪❉ P(B|A) = P(AB)/P(A) = P(B) ✘✚➱✂✯✒✕✑✘ A ✳❖✂P✒✰➁✒✱✒✲ B ❖✂P✳r✒✳✂✂✳✒✴✂❡✑✏ 3
容易看出,Ω,与任何事件都独立。如果A与B独立,A与B,A与 A与B都是独立的 定义称A,B,C是相互独立的,如果有 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A), P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 类似的,可以定义n个事件A1,A2,……,An的独立性 定义称A1,A2,…,An是相互独立的,如果对于任意的自然数k(2≤ k≤m)以及满足1≤i1≤i≤…≤hn≤n的k个自然数i1,i2,…,in都 有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) 例6.2某型号的高炮命中率为0.6。现在用若干门炮同时发射(每炮射 发),问要以0.99以上的把握击中一架敌机,至少配备几门高炮? 解设需要n门高炮,并记 A=第讠门高炮击中敌机,=1,2,…,m, B=敌机被击中 注意到 B=A1∪A2U…∪A B=4∩A2∩…∩A 故n应满足 P(B)=P(41A2…A)≤0.01 由于A1,A2,……,An是相互独立的,故A5,A2,……,A也是相互独立的 所以 P(B)=P(4342…A)=(1-0.6)=0.4≤0.01 可知n≥5.027,即至少需要6门高炮 这里要特别指出,两两独立并不能推出相互独立。就三个事件相互独立 来说,P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是不可缺少的,下面就是一个例子
Ch1 4 ➛✶✵✪☛✸✷⑥✘ Ω ✘ ∅ ✹ ➝✶✺✪Õ✪❜✂✮✮✒✯✏✻✟❄þ A ✹ B ✮✶✯✘ A ✹ Bc ✘ Ac ✹ B ✘ A c ✹ B c ✮✂✯✮✒✯✳✑✏ ✬✒✭ ❵ A ✘ B ✘ C ✯✂♥➀✒✮✒✯✳✑✘✘✟❄þ✂❉ P(AB) = P(A)P(B), P(BC) = P(B)P(C), P(CA) = P(C)P(A), P(ABC) = P(A)P(B)P(C). ✼✒✽✂✳✑✘ r✂➇é✂❨ n ✌✂Õ✂❜ A1 ✘ A2 ✘ · · · ✘ An ✳✮✒✯✂✴❹ ✬✒✭ ❵ A1 ✘ A2 ✘ · · · ✘ An ✯✂♥➀✒✮✒✯✳✑✘✘✟✂þ❄★❄✩✂➝❄❳❄✳✿✾ ❰✏✍ k(2 6 k 6 n) ➇✒❀❾✂❿ 1 6 i1 6 i2 6 · · · 6 in 6 n ✳ k ✌✿✾á❰✒✍ i1 ✘ i2 ✘ · · · ✘ in ✮ ❉ P(A1A2 · · · An) = P(A1)P(A2)· · ·P(An). ✒ 6.2 ❝ ⑤✒❁✂✳✂ò✒❂✒❃✹✽✺❚✂❴ 0.6 ✏❅❄✂✷✂Ð✒❆✒❇✁❈✔❂✹❅✺❬❖✏❉ t ✐✏❂❉ ▼ ❖ ✇✈✘❋❊✺Ï➇ 0.99 ➇✓✂✳✒●✒❍✒■✹✽✺▼✒❏✒❑✒▲✴✘ ①❄②✏▼✏◆❋★❈❊ò✒❂♦ô ➹ ❷✒❖Ï n ❈✺ò✒❂✑✘ ✰ ✙ Ai = ➘ i ❈✺ò✒❂✒■✹✽✔❑✒▲✑✘ i = 1, 2, · · · , n, B = ❑✒▲✒P✒■✹✽⑥✏ ◗❳ ✣ B = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An, B c = A c 1 ∩ A c 2 ∩ · · · ∩ A c n , ❘ n ❙ ❾✂❿ P(B c ) = P(A c 1A c 2 · · · A c n ) 6 0.01. ➃✺✩ A1 ✘ A2 ✘ · · · ✘ An ✯✂♥➀✒✮✒✯✳✑✘✘❘ Ac 1 ✘ Ac 2 ✘ · · · ✘ Ac n ❽ ✯✂♥➀✒✮✒✯ ✳✑✏ ✤➇ P(B c ) = P(A c 1A c 2 · · · A c n ) = (1 − 0.6)n = 0.4 n 6 0.01, r✂s n > 5.027 ✘✚➙①✂②✒❖Ï 6 ❈✺ò✒❂✑✏ ✫✒❚✂Ï✒❯✒❱✒❲✁✷⑥✘ö☞✂☞✮✒✯✰➁ ✳✒❳ ✷✺♥➀✒✮✏✯ ✏✚➱❭ ✌✂Õ❄❜✂♥➀✒✮✏✯ ç✒✕✑✘ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) ✯ ➁r✒❨② ✳✑✘✚◆❄⑦✂➱❄✯❄▼✂✌❄✍✂✎✴✏ 4
家 例6.1将一个"方形分为四块,现随算取其中一块,A,B,C分别为 示所取得一块落在左半部分,上半部分,左上和右下,见下每 B 易知 P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/4 但是 P(ABC)=1/4+ P(A)P(B)P(C)=1/8 这说明A,B,C是两两的,但不是相互的 都是 都是
Ch1 5 ✒ 6.1 ❪✂▼✂✌✒✜✂➻✂➆❄➣❣❴ ✓✄❩✘❬❄✏❭✏▲❫❪➽ ✽❊▼❩ ✘ A ✘ B ✘ C ➣✒❱✒❴ ❵✤❪➈▼ ❩✒❛✷✒❜✒❝✏❞❄➣✑✘❡✓✏❝✒❞❄➣✴✘❢❜✏✓✏✧✒❣❄◆✴✘❢❤❄◆✁✐✾✏ A B C ✐ 1.4 ✵s P(A) = P(B) = P(C) = 1/2, P(AB) = P(BC) = P(CA) = 1/4, ✵✂✯ P(ABC) = 1/4 6= P(A)P(B)P(C) = 1/8, ✫✒✕✁❥ A ✘ B ✘ C ✯✂☞✂☞✮✒✯✳✑✘✚✵➁✯❄♥➀✒✮✏✯✳✴✏ 5