清华大学：《应用随机过程》课程教学资源（讲义）第八讲习题参考答案

第八章 81证明:EX(t)=P(X(t)=1)-P(X()=-1)=0,FX(t)2=P(X(t)=1)+P(X(t) X Cou(X(s),X(s+t))=E(X(SX(s+t))-EX(SEX(s+t) E(X(s)X(s+t)=(P(X(s)=1,X(s+t)=1)+P(X(s)=-1,X(s+t)=-1) (P(X(s)=1,X(s+t)=-1)+P(X(s) (s+t)=1).注意到事件(X(s) 1,X(s+t)=1)=(X(s)=1)∩(k≌△N(s,s+t)=2k).故P(X(s)=1,X(s+t)= 1)=P(X(s)=1)0P(△N(s,8+t)=2k)=(1/2)k0(t)2e-H/(2k).同理 P(X(8)=-1,X(+t)=-1)=(1/2)0()2kcH/(2k)P(X(s)=1,X(s+t) 1)=(X(s)=-1,X(s+t)=1)=(1/2)k0(t)2k+e-H/(2k+1).注意到(pt)2k (-t)2k;(t) (-t)2k+1,所以Co(X(s),X(s+t)=∑ko(t)26c-H/(2k) t)2+e-/(2k+1)=c-xe≌0(-t)/!=e-2t全R().只与时间差t有关 综上可证{X(),t∈R}是宽平稳过程.相关系数p()=R()/R(O)=c-2,一般 的,当r∈Z时,p(T)=c-2H.功率谱密度f(x)=(1/2r)e-1rp(r)d (1/ 2x)e-iATe-2uIrl dr=2p/((X2+422) 8.3证明:EX()=E()-E(t-1)=0,EX(t)=E(t)-5(t-1)2 又C(X(s),X(s+t))=E(X(8)X(s+t)-EX(s)EX(s+t)=E(X(s)X(s+t) EI((s)-5(8-1)((8+t)-5(s+t-1).分情况讨论,当|>1时,由{(A),A∈B} 是正交增量过程,有Ca(X(s),X(s+t)=0;当0≤t≤1时,Co(X(s),X(s+t)= EI((s)-(8+t-1)+(s+t-1)-(s-1)(s+t)-5(s)+5(s)-5(s+t-1) E((s)-(s+t-1))((s+t)-5(s)+E((s)-(8+t-1)((s)-(8+t-1)+ E|(+t-1)-5(s-1)(s+t)-5(刀+EI((8+t-1)-5(-1)(s)-5(s+t-1) 1-t.同理,当-1≤t≤0时,Co(X(s),x(8+t)=1+t.故当团≤1时 Ccu(X(s)X(s+1)=(1-|)(k1那么Co(X(s),X(s+t)只与时间差t有关 综上可证{X(t),t∈}是宽平稳过程.相关系数p()=R()/(O)=(1-+)( 功率谱密度f(A)=(1/2x)广eMp()d=(1-co()/(x2) 85解:1°当X-=0时,有Xn=∑0(-a)5n-k,且对于r≥0有E(XnXn+r) E[∑A0(-a)5n-k·∑0(-ay5n+r-l=E[∑k=0∑(-a)(-a)5n-kn+-小]=a2 ∑k(-a)4(-a)+r)=a2(-a)7/(1-a2).此时的R(r)=a2(-a)”/(1-a2),R(O)= a2/(1-a2),故p()=(-a).一般地,当r∈z时,p(x)=(-a).则有 ∑+≌、lo()=∑rsa-r+1+∑r|d<+∞,故fx()存在,且fx(入)= 1/2x+(1/2x)∑se-(-a)-r+∑re-A(-a))=(1/2x)(1-a2)/(1+2a∞sA+ a2).2°在方程的两边同乘以Xn,然后取数学期望,则有p(0)+a1p(1)+a2p(2)= σ2/o3x.同理,在方程的两边同乘以Xn-r(≥1),然后取期望,则p(r)+a1p(r

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部分习题解答 1+a1z (1-u1Z)(1 ).分情况 讨论如下:若a(Z)有两个不同的根,即u1≠u2,此时p(r)=(1/(u1-u2)(1+ u12))(1-u2)nr+1-(1-u2)u2+ ≥0).当r<0时,p()=p(-r) 故p(x)=(1(1-u2)(1+u12)(1-u2y+1-(1-u)u.由a(2)的 根在单位圆外,即|1|<1,k2<1,知∑r∈zlp()收敛,则F()=fx(从)存 在,fx(X)=(1/2x)(+se-Mp(r)=[(1-u2)u1/(2x(1-2)(1+u12) +e-nul1-(1-3)u2/(2x(u1-a2)(1+u1u2)+se-irnl=(1-u)(1 u2)/(2r(u1-u2)1+u1u2)u1/(1-2u1∞sx+u12)-u2/(1-2u2∞sA+u2).若a(z)有 两个相同的根,即u1=u2=u,此时p()=(1-u2)+1+(1+u2)l/(1+u2).fx(入 1/2x)(+e-p)=(1-n2)(1+2n2cos-32)/(2x(1+12)(1-2cos)+2)2) 8.6解:1°由第7章可知方程的平稳解是x(t)=e-a(-u)dB(u).故EX()=0 且Wr≥0,从而有E(x(t+m)x()=E2t+xe-a+x-)dB()tc-a-dB() tttt+re-a(t+T-we-a(t-D)E(B(u)dB(u))=e-ar Le-a(t-D)dv=e-ar(2a).tx 对Mr∈R有R(r)=e-l/(2a),由此得p()=e-叫.同练习题8.1,可知f(A) a/(x(A2+a2) 87解:1°{Xm,n∈Z}是AR(1)模型,其一般解是:In=can+=0a^5n-k c:0.6+×=0.65n-k(c为常数)存在一个特解是平稳解即Xn==0.65n-k 格林传递函数{k,k≥0}中,gk=0.6.2°{Xn,n∈Z}是AR(2)模型,得 a(2)=1+0.1z-0.562=(1-0.7z)(1+0.8z)其一般解是:Xn=c1·0.7n+c2 (-0.8)+(2/3) 0.8)+1)n-k,存在一个特解是平稳解即Xn (2/3)·k=0(0.7+1-(-0.8)+1)n一k,格林传递函数中, (2/3)·(0.78 (-0.8)+1).3°{Xn,n∈Z}是AR(2)模型,得a(Z)=1-1.42+0492=(1-0.7z)2 其一般解是:Xn=c1m·0.7+c2(0.7)+=0(k+1)0.75n-k,存在一个特解是 平稳解.即Xn=(k+1).7n-k,格林传递函数中,9k=(k+1)0 89解:Xk+t的最佳均方预测XkH=E(Xk+1"YXk,Xk-1,…X1).由Xn-1.6Xn-1+ 0.6Xn-2=5n,条件期望E(Xk+"Xk,Xk-1,…X1)-1.6E(Xk+1-1Yk,Xk-1,…X1)+ 0.64E(Xk+1 时X 1.6Xk+0.64 0…(1);当l=2时Xk+2-1.6Xk+1+0.64Xk=0…(2);当l≥3时Xk 16Xk+1-1+0.6Xk+1-2=0…(3);由a(Z)=1-1.62+0.64Z2解得u1=u2 0.8.则差分方程(3)的一般解形式为C1l(0.8)+C2(0.8),由(1)(2)得C1=X 0.8Xk-1,C2=k.故最佳预测Xk4=(+1)Xk-0.8Xk-1)0.8).下面计算预 测均方误差由习题87第三问可知Xn=0(k+1)0.85n-k,代如预测式化简可 得Xk+1=∑mm+1)(0.8)k+-m,均方误差EXk+1-Xk+P2=E|n-o(m+ 1)(0.8)k+-m|=2ln2o(m+1)20.64m 812解:由{5n,n≥0,{Xm,n≥0相互独立和En=0,EE2=02,均方误差u=

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部分习题解答 EIXn-Xn= eXn-aZn-bZn-12= e(1-a)Xn-bXn-I-afn -bEn-1 (1-a)2E(Xn)2+b2E(Xn-1)2+(a2+b2)a2-2(1-a)bE(XnXn-1)=(1-a)2+ b2)R(0)-2(1-a)bR(1)+(a2+b2)2≡f(a,b).由af/a=0,0f/b=0解得 a=(R2(0)-B2(1)+R(0a2)/(R(0)+R(1)+a2R(O)-R(1)+a2);b=a2R(1)/(R(0)+ R(1)+0F(O)-R(1)+a2]) 8.17解:令Xn+1=a1Xn+bXn-1,则由线性均方最佳预测的约束方程组得a1R(O)+ b1F(1)=R(1);a1R(1)+b1R(0)=R(②2).又AR(1)模型的相关函数R(r)=aa2/(1 a2),代入上面的方程解得a1=a,b1=0,那么最佳线性均方预测为Xn+1=aXn 8.23解:由Y(t)=aX(t-b)+5(t)知EY(t)=amx.X(t),Y()的互相关函数Rxy()= E(X(t)-mx)Y(t+7)-amx)=E(X()-mx)(a(X(t+r-b)-mx)+5(t+T) aRx(T-b)+ Rxe(r)

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