习题课 本章主要内容: 向量及运算 1向量的定义及向量的坐标表示 2.向量的基本运算 和数乘; 3向量的重要运算:数量积,向量积,混合积
习题课 本章主要内容： 一、向量及运算 1.向量的定义及向量的坐标表示； 2. 向量的基本运算：+、— 和数乘； 3.向量的重要运算：数量积，向量积，混合积
数量积设a=(an,a1,a)b=(b2b,b)O=(t6), a·b .cos0=ab+ ta b 向量的投影a=(a3,a,a.)b=(b,bb)0=[a,b, Prib a b a,b,+a,b,+ab
数量积 设 a a = = ( , x y a ,az ),b b (bx ,by ,bz ),θ = (am, ) ， G G G G cos . x x y y z z a a ⋅ = b ⋅ b ⋅ θ = a b + a b + a b G G G G 向量的投影 a a = = ( , x y a ,az ),b b (bx ,by ,bz ),θ = (am, )， G G G G Prj . x x y y z z a a b a b a b a b b a a ⋅ + + G = = G G G G G θ a G b G
向量积设a=(an,an,a)b=(b,b,b,0=(ab d×b=a.a.a a×b|=d| basing b a×b
向量积 设 a a = = ( , x y a ,az ),b b (bx ,by ,bz ),θ = (am, ) ， G G G G . x y z x y z b i j k a a a a b b b × = G G G G G a a × = b b sinθ G G G G a G b G a ×b G G θ
混合积设d=(an,an2a)b=(b,,b)=(c2C2C), [abc]=(axb).c=b, b, b 以d,b,c为邻边平行六面体 的体积为 d×b a b
混合积 设a a = = ( , x y a ,az ),b (bx ,by ,bz ),c = (cx ,cy ,cz ) ， G G G [ ] ( ) . x y z x y z x y z b b a a a a c a c b b b c c c = × ⋅ = G G G G G G a G c G b G a ×b G G θ 以 为邻边平行六面体 的体积为 v a = [ ] b c . G G G a c , , b G G G
而以db、C、为邻边的四面体的体积为 [a b cll
而以 为邻边的四面体的体积为 1 [ ] . 6 v a = b c G G G a c ,,, b G G G a G b G c G
4点到直线的距离 M.M×s
1 2 . M M s d s × = G JJJJJG G M1 M2 s G 4.点到直线的距离
重要关系: 1两向量垂直今→两向量的数量积为0; 2两向量平行→两向量的向量积为0 台对应的分量成比例; 3.三向量共面分三向量的混合积为0 4.S⊥a∧S⊥b→S‖a×b
重要关系： 1.两向量垂直⇔两向量的数量积为0； 2.两向量平行⇔两向量的向量积为 ； ⇔对应的分量成比例； 3.三向量共面⇔三向量的混合积为0； 4. s ⊥ ⊥ a s ∧ ⇒b b s a × 。 G G G G G G G & 0 G
二、平面与直线 1平面的三种方程 (1)点法式方程点 MO(xo1lo33),法向n=(A,B,C) A(x-x0)+B(y-y)+C(-0)=0. ∞(2)一般方程 Ax+ By+Cz+D=0
n A = ( , B,C) G 二、平面与直线 1.平面的三种方程； (1).点法式方程 点M0( x0,y0,zo )，法向 ， 0 0 0 A x( ) − + x B( y − y ) +C(z − z ) = 0. M0 M Ax + + By Cz + D = 0. (2). 一般方程
(3)平面的截距式方程: x, y 2点到平面的距离 平面Ax+By+Cz+D=0 点M(xyox),距离d Axo+by+C=o+D VA+B+C2
(3).平面的截距式方程： 1. x y z a b c + + = y x z o a b c 2.点到平面的距离 平面 点M0( x0,y0,zo )，距离d Ax + + By Cz + D = 0. 0 0 0 2 2 2 . Ax by Cz D d A B C + + + = + + M0 θ n G
3两平面的夹角 平面丌1:A1x+By+C12+D1=0 平面x2:A2x+B2y+C2z+D2=0,夹角为B,则 cos e A, A2+B, B2+C,C2 2+B2+C2V42+B2+
3.两平面的夹角 平面 平面 ，夹角为θ，则 1 1 1 1 1 π : A x + B y + + C z D = 0 2 2 2 2 2 π : A x + B y + + C z D = 0 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos . A A B B C C A B C A B C θ + + = + + + + π1 π2 1 n G 2 n G θ