人 第 单元 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三单元 函数的单调性与曲线的凹凸性
本单元的内容要点 1函数单调性的判别法 设f∈Ca,b]∩D(a,b,若vx∈(anb,有(x)>0(<0) e则f(x)在a,b上是单调增加(减少) 若当x∈时,有f(x)≥0(≤0,且使得∫(x)=0的 点(驻点在的任何有界子区间内只有有限多个,则f(x) 在Ⅰ上单调增加(减少)
一、本单元的内容要点 1.函数单调性的判别法 设 , 若 ∀ x ∈ (a, b), 有 则f (x ) 在 [a, b ]上是单调增加 (减少 )． f ∈C a[ , b ] ∩ D ( a , b ) f x ′( ) > < 0 ( 0 ) 若当 x ∈I 时，有 ，且使得 的 点 (驻点 ) 在 I的任何有界子区间内只有有限多个，则f (x ) 在 I上单调增加 (减少 )． f x ′( ) ≥ ≤ 0 ( 0 ) f x ′( ) = 0
2函数图形凹凸性及其判别法 (1)定义设是一个区间,若对任意的x12EI(xx2)成 立不等式 x+x2)f(x)+f(x2)((x+x2、f(x)+f(x 则称函数f(x)(x∈I)的图形是凹(凸弧 (2)判别法设函数在区间上二阶可导,且(x)>0(<0) 则f(x)的图形是凹(凸)弧
2.函数图形凹凸性及其判别法 ⑴定义 设I 是一个区间，若对任意的x1,x2∈I (x1≠x2)成 立不等式 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 2 x x f x f x x x f x f x f f ⎛ ⎞ + + ⎛ ⎛ ⎞ + + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 则称函数f (x)(x∈I )的图形是凹(凸)弧． ⑵判别法 设函数在区间上二阶可导，且 则f (x)的图形是凹(凸)弧． f x ′′( ) > < 0( 0)
(3拐点曲线y=(x)在经过点(xm,f(xo)时,曲线的凹凸 e性发生改变,称(o(xo)为曲线的拐点
⑶拐点 曲线y=f (x)在经过点(x0, f (x0))时，曲线的凹凸 性发生改变，称(x0, f (x0))为曲线的拐点．
本单元的教学要求 1理解函数的极值概念,掌握用导数判别函数单调性的 方法 2利用导数判断函数图形的凹凸性
二、本单元的教学要求 1.理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数单调性的 方法． 2.利用导数判断函数图形的凹凸性
本单元教学的重点与难点 1在讨论函数形态(单调性与凹凸性)时要注意一阶导 数和二阶导数所起的作用,并进行比较以加理解,简ˉ 之:一阶导数的符号决定函数的单调性,二阶导数的符 号决定函数的凹凸性 2通常用f(x)=0的点(函数的驻点和导数不存在的点 来划分并讨论函数的单调区间;用f"(x)=0的点和二 阶导数不存在的点来划分并讨论函数图形的凹凸区间
三、本单元教学的重点与难点 1.在讨论函数形态（单调性与凹凸性）时要注意一阶导 数和二阶导数所起的作用，并进行比较以加理解，简言 之：一阶导数的符号决定函数的单调性，二阶导数的符 号决定函数的凹凸性． 2.通常用 的点 (函数的驻点 )和导数不存在的点 来划分并讨论函数的单调区间； 用 的点和二 阶导数不存在的点来划分并讨论函数图形的凹凸区间. f x ′( ) = 0 f x ′′( ) = 0
本单元课时数:2-3课时
本单元课时数：2-3课时．
函数的单调性 设函数f∈C|a,b,且G∈D(a,b),如果函数y=(x)在a,b 单调增加,那么它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线, 这时曲线上各点处的切线斜率非负,即f(x)≥0;如果函 o数=x)在ab上单调减少,那么它的图形是一条沿x轴 正向下降的曲线,这时曲线上各点处的切线斜率非正, 即f(x)≤0.由此可见,函数的单调性与其导数的符号 有着密切的联系
函数的单调性 设函数 f∈C[a ,b]，且f∈D(a ,b), 如果函数y=f(x)在[a, b] 单调增加，那么它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线， 这时曲线上各点处的切线斜率非负，即 ; 如果函 数y=f(x)在[a, b]上单调减少，那么它的图形是一条沿x轴 正向下降的曲线，这时曲线上各点处的切线斜率非正， 即 ．由此可见，函数的单调性与其导数的符号 有着密切的联系. f x ′( ) ≥ 0 f x ′( ) ≤ 0
y=f(x)/ y=f(r) b 单调上升 单调下降
y o a b x y= f (x) θ θ 单调上升 单调下降 x y o a y= f (x) b
上述关于函数单调性的图象性质,可以得到一般的结 论,即有 定理(可导函数单调的必要条件)设函数f∈C|a,b],并且 ∫∈D(a,b),若在区间[a,b上单调增加(减少),则对任意 的x∈(a,b),有f(x)≥0(≤0 反之,可以通过导数的符号来判定函数的单调性,即 有下面的判定定理:
上述关于函数单调性的图象性质，可以得到一般的结 论，即有 定理 (可导函数单调的必要条件) 设函数f ∈C[a ,b ]，并且 f ∈D(a, b )，若在区间 [a ,b ]上单调增加(减少)，则对任意 的 x ∈ (a , b) ，有 f x ′( ) ≥ ≤ 0 ( 0 )． 反之，可以通过导数的符号来判定函数的单调性，即 有下面的判定定理：