第四单元连续函数
第四单元 连续函数
本单元教学内容 连续函数的定义;间断点及分类;连续函数的运算及 初等函数的连续性;闭区间连续函数的性质
本单元教学内容 连续函数的定义；间断点及分类；连续函数的运算及 初等函数的连续性；闭区间连续函数的性质．
本单元教学要求 理解连续函数的意义及判定方法;理解间断点的意义 及间断点分类方法求左右极限;熟练运用闭区间上 连续函数的性质去证明某些问题
本单元教学要求 理解连续函数的意义及判定方法；理解间断点的意义 及间断点分类方法——求左右极限；熟练运用闭区间上 连续函数的性质去证明某些问题．
本单元教学重点与难点 重点:连续函数的定义及几何意义;函数连续的探讨方 法;间断点的定义及间断点的分类方法;闭区间上连续 函数的性质. 难点:间断点的分类;闭区间上连续函数的性质 教学时数:6课时
本单元教学重点与难点 重点：连续函数的定义及几何意义；函数连续的探讨方 法；间断点的定义及间断点的分类方法；闭区间上连续 函数的性质． 难点：间断点的分类；闭区间上连续函数的性质． 教学时数： 6课时．
连续函数 在讨论函数极限中,我们看到函数在某一点是否存 在极限与函数在该点是否有定义无关;与该点的函数 值无关.但很多情况下,函数在一点的极限值与函数 o在这一点的函数值是密切相关的.本节将讨论具有这 种特性的函数连续函数
一、连续函数 在讨论函数极限中，我们看到函数在某一点是否存 在极限与函数在该点是否有定义无关；与该点的函数 值无关．但很多情况下，函数在一点的极限值与函数 在这一点的函数值是密切相关的．本节将讨论具有这 种特性的函数——连续函数．
1函数在一点的连续性 自然界中的很多现象都是连续变化的.例如气温的变 化就是一个很明显的例子.所谓的连续变化指的是:当 时间变化很小时,气温的变化也很小.具体地说,若以 T(1)表示时刻t时的温度,当时间变化很小时,即△t 很小时,温度的变化T(t+△t)-7(t)也很小.这就是 连续函数的本质特征
1.函数在一点的连续性 自然界中的很多现象都是连续变化的．例如气温的变 化就是一个很明显的例子．所谓的连续变化指的是：当 时间变化很小时，气温的变化也很小．具体地说，若以 表示时刻 时的温度，当时间变化很小时，即 很小时，温度的变化 也很小．这就是 连续函数的本质特征． T t( ) t ∆t T t( ) + ∆ − t T (t)
定义设函数y=f(x)在点x0的某一领域内有定义 若limf(x)存在,且等于f(x)即 x→ lim f(x)=f(xo), 则称函数f(x)在点x是连续的,此时又称点x0是函 数y=f(x)的连续点 分析:由极限的定义,对任意给定的正数E,总存在 正数δ,对于适合不等式 x-x<d
定义 设函数 在点 的某一领域内有定义， 若 存在，且等于 ，即 y f = ( )x 0 x lim f x( ) → 0 f x( ) 0 x x 0 0 lim ( ) ( ), x x f x f x → = 则称函数 在点 是连续的，此时又称点 是函 数 的连续点． f x( ) 0 x 0 x y f = ( )x 分析：由极限的定义，对任意给定的正数 ，总存在 正数 ，对于适合不等式 ε δ 0 x x − < δ
的一切x,所对应的函数值f(x)都有 f(x)-f(*)x0,即Ax→>0,则连续性 的含义为 x→>0,→△y→>0
的一切 x，所对应的函数值 f x( ) 都有 0 f x( ) − f x( ) < ε. 函数 在点 连续的几何意义：记 则 f ( )x 0 x 0 ∆x x = − x , 0 x x = + ∆x, 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ), y f x f x f x x f x ∆ = − = + ∆ − x y o ∆x ∆y y=f(x) 即 则连续性 的含义为 0 x x → , ∆x → 0, ∆ →x y 0,⇒ ∆ → 0
2单侧连续函数 若函数f(x)在点x0处的单侧极限存在且等于该点的 函数值f(x),则称函数在该点是单侧连续的.即若 lim f(x)=f(ro), x->x0-0 则称函数在点x0是左连续的;相仿,若 lim f(x)=f(o), x→ 0 则称函数在点x0是右连续的
2.单侧连续函数 0 0 0 lim ( ) ( ), x x f x f x → − = 若函数 在点 处的单侧极限存在且等于该点的 函数值 ，则称函数在该点是单侧连续的．即若 0 f ( )x x 0 f x( ) 则称函数在点 x0 是左连续的；相仿，若 0 0 0 lim ( ) ( ), x x f x f x → + = 则称函数在点 x0 是右连续的．
x+1x>1 例1设函数f(x)= 则函数在x=1处 x-1 是左连续而非右连续的.f(x)的图形如图所示 定理:函数f(x)在点x处连续的 充分必要条件是函数f(x)在该点 既是左连续又是右连续
例1 设函数 则函数在 处 1 1 ( ) , 1 1 x x f x x x ⎧ + > = ⎨⎩ − ≤ x = 1 是左连续而非右连续的．f x( ) 的图形如图所示． 定理：函数 在点 处连续的 充分必要条件是函数 在该点 既是左连续又是右连续． f x( ) 0 x f x( ) x y o f x( )