《高等数学》课程电子教案：第十一章 多元函数积分学习题与答案

第十一章多元函数积分学 第一节二重积分的概念与计算 思考题: 1.把一元定积分的数学模型推广到二维空间,可以得到一个式子 f(xya=,m∑/(5,n)1o AoF>0 你对这个式子要说些什么?回顾一元定积分的定义,可以对推广来的这个式子描述出一个完 整的数学模型,被称为二重积分的定义,你将获得一次创造思维的锻炼,对微元法模型的理 解会更深刻,不妨一试 答:在式m∑/(5,m)10中,40,表示将平面区域D任意分割成n份后所得 第i个小区域的面积,(51,n1)是取自于第i个小区域内的任何一点的坐标,f(51,n)是二 元函数z=f(x,y)在点(5,n)处的函数值,|o表示所有n个小区域的直径中的最大值 上式即表示,当函数z=f(x,y)在平面区域D内有定义时,可将平面区域D任意分割 成n个小区域,记4σ1为第i个小区域的面积,然后在第i个小区域中任取一点(51,n,),作 乘积/51,n)4的和∑/(,n),若此和式的极限,m∑/(5,n)0存在 则称二元函数二=f(x,y)在区域D上可积,并称上述极限值为二元函数z=f(x,y)在区 域D上的二重积分 2.试述二重积分的几何意义 答:当f(xy在区域D上满足f(xy)≥0时,f(xyG代表以xO面内的区域D 为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积若f(x,y)<0,则表示体积的负值 3.直角坐标系下,计算二重积分的主要步骤有哪些,其关键点是什么? 答:主要步骤包括:①画出积分区域D的图形,②选择积分次序并确定积分限,③计算 累次积分求得结果。其关键点是恰当选择积分次序,正确确定积分限. 4.在极坐标系下,计算二重积分的主要步骤有哪些,其关键点是什么? 答:主要步骤包括:①画出积分区域D的图形,并用极坐标描述D,②确定积分限,③ 计算累次积分求得结果其关键点是用极坐标正确描述积分区域D 5.就二重积分的积分域而言,当积分域具有什么样的特征时,选择在直角坐标系(或 极坐标系)下计算该二重积分

第十一章 多元函数积分学 第一节 二重积分的概念与计算 思考题： 1. 把 一 元 定 积 分 的 数 学 模 型 推 广 到 二 维 空 间 ， 可 以 得 到 一 个 式 子 ( ) ( ) i n i i D f x y  f      = → = 1 i 0 , d lim , ， 你对这个式子要说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一个完 整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理 解会更深刻，不妨一试. 答：在式 ( ) i n i i f     = → 1 i 0 lim , 中，  i 表示将平面区域 D 任意分割成 n 份后所得 第 i 个小区域的面积, ( , )  i i 是取自于第 i 个小区域内的任何一点的坐标, ( , ) i i f   是二 元函数 z = f (x, y) 在点 ( , )  i i 处的函数值,  表示所有 n 个小区域的直径中的最大值. 上式即表示, 当函数 z = f (x, y) 在平面区域 D 内有定义时, 可将平面区域 D 任意分割 成 n 个小区域, 记  i 为第 i 个小区域的面积, 然后在第 i 个小区域中任取一点 ( , )  i i , 作 乘积 ( , ) i i f    i 的和 ( ) i n i i  f    =1 i , , 若此和式的极限 ( ) i n i i f     = → 1 i 0 lim , 存在, 则称二元函数 z = f (x, y) 在区域 D 上可积, 并称上述极限值为二元函数 z = f (x, y) 在区 域 D 上的二重积分. 2. 试述二重积分的几何意义. 答：当 f (x, y) 在区域 D 上满足 f (x, y)  0 时， ( , )d  D f x y 代表以 xOy 面内的区域 D 为底，以曲面 z = f (x, y) 为顶的曲顶柱体的体积. 若 f (x, y)  0 , 则表示体积的负值. 3. 直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？ 答：主要步骤包括：①画出积分区域 D 的图形, ②选择积分次序并确定积分限，③计算 累次积分求得结果. 其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限. 4. 在极坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？ 答：主要步骤包括：①画出积分区域 D 的图形，并用极坐标描述 D, ②确定积分限, ③ 计算累次积分求得结果.其关键点是用极坐标正确描述积分区域 D . 5. 就二重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系（或 极坐标系）下计算该二重积分

答:当积分域为圆形域,扇形域或形域时,选择极坐标系下计算该二重积分,其它型的 积分域,一般均选择直角坐标系下计算该二重积分 6.当被积函数具有何种特征时,选择在直角坐标系(或极坐标系)下计算该二重积分 方便 答:当被积函数中含有x2+y2的项时,选择极坐标系下计算二重积分方便,其他情形, 般选择直角坐标系下计算二重积分 习作题 1.计算(x+y),其中D={x)sxs1-1y≤l 解:如图,先对x后对y积分,则 d00 [(y y+2× +1)=0+201=201 2.计算le+da,其中D由xO面上的直线y=1,y=2及x=-1,x=2所围成 解:如图,D 15x52.先对x后对y积分,得 l≤y≤2 l02 (e-e-e-"+e-) 3.计算』m(0x2+y),其中D=yx2+y2s1 解:令x= rcos e,y=rsnO,则D可表为: 10≤≤2x

答：当积分域为圆形域，扇形域或形域时，选择极坐标系下计算该二重积分，其它型的 积分域，一般均选择直角坐标系下计算该二重积分. 6. 当被积函数具有何种特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分 方便. 答：当被积函数中含有 2 2 x + y 的项时，选择极坐标系下计算二重积分方便，其他情形， 一般选择直角坐标系下计算二重积分. 习作题 ： 1. 计算 (100 )d  + + D x y , 其中 D = (x, y)0  x 1,−1 y 1. 解：如图，先对 x 后对 y 积分， 则 ( x y) y ( x y) x D 100 d d 100 d 1 0 1 1 + + = + +  −   = ( ) 1 0 2 1 1 2 d 100       + + − x y y x = − + 1 1 )d 2 201 ( y y = (1 1) 0 201 201 2 201 d 1 1 +  + = + = − y y . 2. 计算  + D x y e d 6 ，其中 D 由 xOy 面上的直线 y = 1, y = 2 及 x = −1, x = 2 所围成. 解：如图, D ：   −     1 2, 1 2, x y 先对 x 后对 y 积分，得  + D x y e d 6 =   − 2 1 2 1 6 e dy e dx y x = ) 6 e (e )( 2 1 6 2 1 − x y = (e e e e ) 6 1 14 13 −4 −5 − − + . 3． 计算 ln(100 )d 2 2  + + D x y ，其中 ( , ) 1 2 2 D = x y x + y  . 解：令 x = r cos , y = rsin  ，则 D 可表为：        0 1, 0 2π , r  - O x y 2 2 1 1 O y 1 -1 1 x

从而jm(04x2+y2)-∫ del In( 100+r+)rd (100+r2)h(100+r2)- =(10lh101-100h100-1 4.计算∫yda,其中D是由圆周x2+y2=1与x2+y2=42所围成的平面区域 解:令x=rcos日,y=rsnO,则D可表为 ∫1≤r≤2r 10≤≤2, 从而 do do rasin 20.rdr de(sin 0) Ir 2x 1-cos 20 4π d 4π 5画出二次积分∫/(知的积分区域D并交换 积分次序 0≤y≤2 解:D: y≤x≤2+ 0≤x≤4 的图形如右图,由图可知,D也可表为 0≤y≤√4x-x2 所以交换积分次序后,得∫a(y炒 6.利用二重积分求下列几何体的体积 (1)平面x=0,y=0,==0,x+y+2=1所围成的几何体 解:如图,该几何体可看成是以xOy面的区域D

从而 ln(100 )d 2 2  + + D x y =   +  1 0 2 2π 0 d ln(100 r ) rdr =2 1 0 2 2 2 [(100 )ln(100 ) ] 2 1 π  + r + r − r = (101ln 101−100ln 100 −1)π . 4. 计算 d 2  D y ，其中 D 是由圆周 1 2 2 x + y = 与 2 2 2 x + y = 4π 所围成的平面区域. 解：令 x = r cos , y = rsin  ，则 D 可表为：        1 2π , 0 2π , r  从而 y r r r D d d sin d 2π 1 2 2 2π 0 2 =        = 2π 1 2 4 2π 0 sin ) 4 d (  r   =  −       − 2π 0 4 d 2 1 cos 2 4 1 4π   = 2π 0 4 4 sin 2 2 1 4 1 4π        −      −   =4 4 π π 5 − . 5. 画出二次积分 y f (x y) x y y d , d 2 2 2 4 2 4 2  0  + − − − 的积分区域 D 并交换 积分次序. 解： D ：     − −   + −   2 2 4 2 2 4 0 2, y x y y 的图形如右图，由图可知， D 也可表为       −   0 4 , 0 4, 2 y x x x 所以交换积分次序后，得 x f (x y) y x x d , d 2 4 0 4  0  − . 6. 利用二重积分求下列几何体的体积： （1）平面 x = 0, y = 0,z = 0, x + y + z = 1 所围成的几何体. 解 ： 如 图， 该 几何 体可 看 成是 以 xOy 面 的区 域 D ： O x y 2 4 O x y z

0≤x≤1, 为底,以平面二=1-x-y为顶的柱体,故体积 = 「。(1-x-y)d drl(1-x)y-y-ll-r 2 6 (2)平面z=0及抛物面x2+y2=6-z所围成的几何体 解:如图,几何体可看成是以xOy面内的区域D:x2+y2≤6为底,以曲面 z=6-x2-y2为项的曲顶柱体 故体积V=(6-x2-y2)do 令x= rose,y= rsin 6 则D:0sr≤V6 0≤6≤2 从面P广6-)2x-做 第三节三重积分的概念与计算 思考题: 1.试述计算三重积分的步骤 答:(1)画出积分区域Ω的图形,(2)将Ω向某个坐标面投影确定积分次序和积分 限,(3)计算累次积分求得结果 2.总结出在不同的坐标系下,区域的表达式和相应的积分表达式 答:(1)直角坐标下,常将方形域表为

     −   y x x 0 1 0 1, 为底，以平面 z = 1− x − y 为顶的柱体，故体积 V =    − − − = − − D x x y x x y y 1 0 1 0 (1 )d d (1 )d = y x x x y − − −  1 0 2 1 0 ] 2 d [(1 )  − = 1 0 2 d 2 (1 ) x x 6 1 6 ( 1) 1 0 3 = − = x . （2）平面 z = 0 及抛物面 x + y = 6 − z 2 2 所围成的几何体. 解：如图，几何体可看成是以 xOy 面内的区域 D ： 6 2 2 x + y  为底，以曲面 2 2 z = 6 − x − y 为顶的曲顶柱体. 故体积 V=  − − D (6 x y )d 2 2 令 x = r cos , y = rsin  , 则 D ：        0 2π, 0 6,  r 从而 V = d (6 r )rdr 6 0 2 2π  0   − = 6 0 4 2 ) 4 2π (3 r r − =18π . 第三节 三重积分的概念与计算 思考题： 1. 试述计算三重积分的步骤. 答：（1）画出积分区域  的图形, （2）将  向某个坐标面投影确定积分次序和积分 限,（3）计算累次积分求得结果. 2. 总结出在不同的坐标系下，区域  的表达式和相应的积分表达式. 答：（1）直角坐标下，常将方形域  表为 x O y z

x≤b, Q y1(x)≤y≤y2(x) 1(x,y)≤=≤=2(x,y), 相应的积分表达式为: y2(x) 2(x,y) f(x,y, =)dv= dx.dy (r,y)y(x,y, z)d (2)柱面坐标系下:常将柱形域表为 a≤z≤b a≤b≤B, r1(6)≤r≤F2(6) 相应的积分表达式为 ∫/(xy,=J( rose,rsin-)rd ra∫d∫m n(e)y(rcos 0, rsin 0, x)rdr (3)球面坐标系下:常将球形域表为 Q B1≤6≤B2 1(0,9)≤p≤P2(O,q 相应的积分表达式为: QU(x, J=)dv=[I/(psin p cose, psin prsin 0, pcos p)psin o dp de do do[ deo f(psin o cos e, psin (p sin 0, pcos o)p' sin pdp (6;)

 ：            ( , ) ( , ), ( ) ( ), , 1 2 1 2 z x y z z x y y x y y x a x b 相应的积分表达式为：     =  b a z x y z x y y x y x f x y z V x y f x y z z ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 ( , , )d d d ( , , )d （2）柱面坐标系下：常将柱形域表为  ：            ( ) ( ). , , 1  2     r r r a z b 相应的积分表达式为   =   f (x, y,z)dV f (r cos,rsin ,z)rdrddz =    ( ) ( ) 2 1 d d ( cos , sin , ) d        r r b a z f r r z r r . （3）球面坐标系下：常将球形域表为  ：            ( , ) ( , ). , , 1 2 1 2 1 2              相应的积分表达式为：   =   ( , , )d ( sin  cos,  sin  sin ,  cos) sin  d d d 2 f x y z V f r              =              ( , ) ( , ) 2 2 1 2 1 2 1 d d f ( sin cos , sin sin , cos ) sin d . x D y z a O b 1 2 D x y a b   O z D x y z O 1 2 2 1

习作题: 1.计算(4x+5y+) dodd,其中g2由平面x+2y+z=1,x=0,y=0,=0 所围成的空间区域 解:如图 0≤X ≤y 0≤2≤1 所以(4x+y+)dd=4∫d。(4x+5y+k 「。4x+5)+21 ∫d」2(1+3x+3y)2-(4x+5y)y ∫a(+3x+3y)-1(4x+5y)1 与∫如0(5+3x)-0+3x) (5+3x)4-(1+3x) l 3.57708 2.选适当的坐标系计算∫xdod,其中是由柱面x2+y2=1及平面 z=1,x=0,y=0所围成且在第一卦限内的区域 解:如图,选取柱面坐标系计算方便, 0≤≤1, 此时, g:{0≤6≤ 兀 0≤r≤1, 所以xdd=ad∫do」 rose. rsim 6,rr 22 3.利用三重积分计算曲面x2+y2+2=R2与曲面x2+y2+2=4R2所围成的立

习作题： 1. 计算  + +  (4x 5y z)dxdydz, 其中  由平面 x + 2y + z = 1 , x = 0, y = 0, z = 0 所围成的空间区域. 解：如图  :        − − −     0 2 1 2 , , 2 1 0 0 1, x y x y x 所以     − − − + + = + +  1 0 0 1 2 0 2 1 (4 5 )d d d d (4 5 )d x x y x y z x y z x dy x y z z z x y x y x y z x 1 2 0 2 0 1 0 ] 2 d d [(4 5 ) 2 1 − − = + +   −   − = 2 + + − + 1 0 2 2 2 1 1 0 d [(1 3 3 ) (4 5 ) ]d x x x y x y y 2 1 0 3 3 1 0 (4 5 ) ] 15 1 (1 3 3 ) 9 1 [ 2 1 d x x x y x y − = + + − +  ( x) ( x) x ]dx 15 64 1 3 9 1 5 3 180 1 [ 1 0 3 3 3 2 1  = + − + − ( ) 1 0 4 4 4 ] 5 16 1 3 36 1 (5 3 ) 720 1 [ 6 1 = + x − + x − x = −3.57708. 2. 选适当的坐标系计算   xydxdydz ，其中  是由柱面 1 2 2 x + y = 及平面 z = 1, x = 0, y = 0 所围成且在第一卦限内的区域. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便, 此时，            0 1, , 2 π 0 0 1, : r z   所以     =    x ydxdydz dz d r cos rsin  rdr 0 1 0 2 π 0 1 =   sin 2 d r dr 2 1 3 0 1 0 2 π   = 8 1 4 ) 4 cos 2 ( 1 0 4 2 π 0 −  =  r . 3. 利用三重积分计算曲面 2 2 2 2 x + y + z = R 与曲面 2 2 2 2 x + y + z = 4R 所围成的立 O x y z 1 1 2 1 O x y z 1 1

体体积 解:取球面坐标系计算方便 R≤p≤2R, 此时两曲面所围区域2:{0≤q≤π, 0<6≤2π 所以体积V=ld= de. dp. p2snqd =2 sin p dpR dp I. (-cos p )o ==丌R 第四节对坐标的曲线积分 思考题: 1.对坐标的曲线积分[,Pdx+Qdy如何化为一元定积分来计算? 答:将曲线L的方程参数化,设为 x=p(), 并确定L的起点和终点对应的参变量t的 y=v(1)2 值,设为a,B,则曲线积分即可化为对参变量t的定积分,即 ∫Pdx+ody=JPo(O)l(+cg(.o)y(o)dr 2为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时,下限对应起点,上限对应终点? 答:因为对坐标的曲线积分的积分域是有向曲线段,化为定积分时,积分变量的变化是 有方向的,即从起点到终点,故下限对应起点,上限对应终点 习作题: 1.计算曲线积分,ydx+xdy,L是曲线x=Rcos,y= rsin e上0由0至 的一段 dx+ xdy O

体体积. 解：取球面坐标系计算方便. 此时两曲面所围区域            0 2π , 0 π , 2 , :     R R 所以体积     = = R R V dV d d d 2 2 0 2 0    sin      = 2π sin  d  d 2 2 π 0    R R = R R 2 3 0 3 2π ( cos )     −  = 3 π 3 28 R . 第四节 对坐标的曲线积分 思考题： 1. 对坐标的曲线积分  + L Pdx Qdy 如何化为一元定积分来计算？ 答：将曲线 L 的方程参数化，设为    = = ( ), ( ), y t x t   并确定 L 的起点和终点对应的参变量 t 的 值，设为 ,  ，则曲线积分即可化为对参变量 t 的定积分，即 P x Q y P t t t Q t t t t L d d { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )}d   + =  +    . 2. 为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时，下限对应起点，上限对应终点？ 答：因为对坐标的曲线积分的积分域是有向曲线段，化为定积分时，积分变量的变化是 有方向的，即从起点到终点，故下限对应起点，上限对应终点. 习作题： 1. 计算曲线积分  + L ydx xdy , L 是曲线 x = Rcos , y = rsin  上  由 0 至 4  的一段. 解：  + L ydx xdy O x y 4 π

L4[Rsin 0(Rsin 0)+Rcos0 RcosoJdo =R4cs20d0=sn20= 2 2.计算曲线积分[xydx,其中L为抛物线y2=x 上从点A(12-1)到点B(1,1)的一段弧 Ba, D 解:以y为参变量,则y从-1变到1,从而 4 xix y 第五节格林(Gren)公式及其应用 思考题: Pdx+Ody与路径无关的条件是什么?若与路径无关,则 Pdx+Ody如何 积分为好? 答:「,Pdx+Qdy与路径无关的条件是在区域D内处处成立=DP ax ay 当」Px+dy与路径无关时,计算,Px+cy应选择从(xn)到点(xy) 且由平行于坐标轴的直线构成的折线段来计算为好 2.Pdx+Ody能否化为二重积分来求? 答:若L为闭合曲线,且PQ在L所围区域内具有一阶连续偏导数,则Pax+gy 可利用Ge公式化为二重积分来求,若L非闭合曲线,则可采用补线法化Pdx+Qdy为 二重积分来求 习作题:

=   − +  4 π 0 [Rsin  ( Rsin ) Rcos Rcos]d = 2 sin 2 2 cos 2 d 2 4 π 0 4 π 0 2 2 R R R = =     . 2. 计算曲线积分 L xydx ， 其中 L 为抛物线 y = x 2 上从点 A(1,−1) 到点 B(1,1) 的一段弧. 解：以 y 为参变量，则 y 从 − 1 变到 1 ，从而 L xydx = 5 4 5 2 d 2 d 1 1 1 1 4 5 1 1 2 2   = = = − − − y y y y y y . 第五节 格林（Green）公式及其应用 思考题： 1.  + L Pdx Qdy 与路径无关的条件是什么？若与路径无关，则  + ( , ) ( , ) 0 0 d d x y x y P x Q y 如何 积分为好？ 答：  + L Pdx Qdy 与路径无关的条件是在区域 D 内处处成立 y P x Q   =   . 当  + L Pdx Qdy 与路径无关时，计算  + ( , ) ( , ) 0 0 d d x y x y P x Q y 应选择从 ( ) 0, 0 x y 到点 (x, y) , 且由平行于坐标轴的直线构成的折线段来计算为好. 2.  + L Pdx Qdy 能否化为二重积分来求？ 答：若 L 为闭合曲线，且 P,Q 在 L 所围区域内具有一阶连续偏导数，则  + L Pdx Qdy 可利用 Green 公式化为二重积分来求，若 L 非闭合曲线，则可采用补线法化  + L Pdx Qdy 为 二重积分来求. 习作题： O x y B A （1，−1） （1，1）

1.利用格林公式计算,xydy-x2ydx,其中L是圆周x2+y2=a2(按逆时针方向) 解:L所围区域D:x2+y2≤ai 由格林公式,可得 d(xy)dx y xy dy-x yd 2.利用曲线积分与路径无关的条件,计算 f, +xe2)dx+(x2e2y-y2)dy, 其中L是圆周x2+y2=R2从AR,0)到点B(-R,0)的上半部分 解:此题中P=1+xe2y,Q=x2e2-y2 =2xe2=在xOy面内处处成立, y 5(+xe)x+(x2e-y2)dy与路径无关 取A到B的直线段为积分路径,则 f, (+ xe2>)dx+(x2'e2y-y2)dy (+xe )dx =-2R 第六节对坐标的曲面积分及其应用 思考题: 1.双侧曲面有正向有负向,方向不同的同一块曲面投影到坐标面上的面积带有不同的 符号,所以在对坐标的曲面积分中,就要考虑曲面的侧既然考虑双侧曲面,说明存在单侧 曲面,你可以将长方形的纸条的一端扭转180°,再与另一端粘起来,你一定能说明你所做 的曲面是单侧曲面,这就是著名的默比乌斯带 答:因为此时从纸条上任一点出发,沿纸条上任一条不越过纸条边界的曲线连续移动 能到达另一点 2.曲面微元da在xO坐标面上投影的面积微元是dxdy,它在什么情况下为正的? 在什么情况下为负的?

1. 利用格林公式计算  − L xy dy x ydx 2 2 ，其中 L 是圆周 2 2 2 x + y = a （按逆时针方向）. 解： L 所围区域 D ： 2 2 2 x + y  a 由格林公式，可得  − L xy dy x ydx 2 2 = x y y x y x xy D )d d ( ) ( ) ( 2 2    − −   =  + D (x y )dxdy 2 2 = 4 2π 0 0 2 2 π d r rdr a a     = . 2. 利用曲线积分与路径无关的条件，计算 x x x y y y L y (1 e )d ( e )d 2 2 2 2 + + −  , 其中 L 是圆周 2 2 2 x + y = R 从 A(R, 0) 到点 B(−R, 0) 的上半部分. 解：此题中 2 2 2 2 P 1 xe ,Q x e y y y = + = − , y P x x Q y   = =   2  2 e 在 xOy 面内处处成立,  x x x y y y L y (1 e )d ( e )d 2 2 2 2 + + −  与路径无关， 取 A 到 B 的直线段为积分路径，则 x x x y y y L y (1 e )d ( e )d 2 2 2 2 + + −  =  − + = − R R (1 xe )dx 2R 0 . 第六节 对坐标的曲面积分及其应用 思考题： 1. 双侧曲面有正向有负向，方向不同的同一块曲面投影到坐标面上的面积带有不同的 符号，所以在对坐标的曲面积分中，就要考虑曲面的侧.既然考虑双侧曲面，说明存在单侧 曲面，你可以将长方形的纸条的一端扭转 180 ，再与另一端粘起来，你一定能说明你所做 的曲面是单侧曲面，这就是著名的默比乌斯带. 答：因为此时从纸条上任一点出发，沿纸条上任一条不越过纸条边界的曲线连续移动 能到达另一点. 2. 曲面微元 d 在 xOy 坐标面上投影的面积微元是 dxdy ，它在什么情况下为正的？ 在什么情况下为负的？

答:当da的法向量与二轴正向夹角小于90°时,dxdy为正;大于90°时,dxdy为负 习作题 1.你可以翻阅参考书(会查资料本身就是一种能力),也可以独立思考,试将高斯公式 证明出来 证明:先设Ω是xy型域,即G={(x,y-米(x,y)∈D,q(x,y)≤z≤2(x,y)},其中 D是xOy平面上的有界区域,q1,q2在D上存在连续的一阶偏导数,用∑和∑2分别表示 曲面z=q(x,y)和z=2(x,y),(x,y)∈D,用∑3表示!2的侧表面,根据三重积分化 累次积分的公式有 P,(x,)OR dxdvdz= dxd az JJIR(x, J,P2(x,D))R(x,3,9,(x,J)kdrdy 而由对坐标曲面积分的计算方法知 手Rddy=』ad+ady+ady xy(x)由8x()时由-0 JJIR(x, J,92(x,D)-R(x,3,2,(x,y)]drdy 故∫ aR dxdydz=H Rdxdy 若同时还是y=型和工x型域,则同样有 dxdvdz dz ∑ d山= 由此可知 Gauss公式成立 若光滑曲面的边界是光滑或逐段光滑闭曲线.函数及其偏导数在曲面上连续,曲面的 正侧与曲线的正向按右手螺旋法则.你能发挥你的创造能力来证明下面的公式成立吗? 于Pax+gy+Rd=j aP aR )dydz+ )dzdx )dxdy ay 利用这个公式你会求下面的积分吗?

答：当 d 的法向量与 z 轴正向夹角小于 90 时， dxdy 为正；大于 90 时， dxdy 为负. 习作题 1. 你可以翻阅参考书（会查资料本身就是一种能力），也可以独立思考，试将高斯公式 证明出来. 证明：先设  是 xy 型域，即 {( , , )( , ) , ( , ) ( , )} 1 2 G = x y z x y D  x y  z  x y ,其中 D 是 xOy 平面上的有界区域， 1 2  , 在 D 上存在连续的一阶偏导数，用 1 和 2 分别表示 曲面 ( , ) 1 z = x y 和 ( , ) 2 z = x y , (x, y)  D ，用 3 表示  的侧表面，根据三重积分化 累次积分的公式有      =      D x y x y z z R x y z x y z R d d d d d d ( , ) ( , ) 2 1 = R x y x y R x y x y x y D [ ( , , 2 ( , )) ( , , 1 ( , ))]d d   −  . 而由对坐标曲面积分的计算方法知         = + + 1 2 3 Rdxdy Rdxdy Rdxdy Rdxdy = ( , , 2 ( , ))d d − ( , , 1 ( , ))d d − 0   R x y x y x y R x y x y x y D D    = − D [R(x, y, (x, y)) R(x, y, (x, y))]dxdy  2 1 故     x y z z R d d d =   Rdxdy , 若同时还是 yz 型和 zx 型域，则同样有     x y z x P d d d =   Pdydz     x y z y Q d d d =   Qdzdx 由此可知 Gauss 公式成立. 2．若光滑曲面的边界是光滑或逐段光滑闭曲线.函数及其偏导数在曲面上连续，曲面的 正侧与曲线的正向按右手螺旋法则.你能发挥你的创造能力来证明下面的公式成立吗？ + + =  P x Q y R z C d d d     −   +   −   +   −   x y y P x Q z x x R z P y z z Q y R ( )d d ( )d d ( )d d , 利用这个公式你会求下面的积分吗？ D x y z O 1 2 3