第四章随机变量的数字特征 §5矩 §5矩 、定义 若Ek存在,称之为ⅹ的k阶原点矩 若E(X-EX)存在,称之为X的k阶中心矩 若E(X-EX)(Y-EY)存在,称之为Ⅹ和Y的k+1 阶混合中心矩。 所以EX是一阶原点矩,DX是二阶中心矩, 协方差 CoVEY)是二阶混合中心矩 []返回主目录
§5 矩 1、定义 若 k EX 存在，称之为 X的 k 阶原点矩。 所以 EX 是一阶原点矩，DX 是二阶中心矩， 协方差 Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。 若 k E(X − EX) 存在，称之为 X的 k 阶中心矩。 若 k l E(X − EX) (Y − EY) 存在，称之为 X和 Y 的 k+l 阶混合中心矩。 §5 矩 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 例 §5矩 设随机变量X~N(0,a),试求E(x") 解 xBx=x则y~M(o DX 所以, n+∞ ElAn=onEly )=a"y(=,-Jye2 (1).当n为奇数时,由于被积函数是奇函数,所以 EXn=0 []返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 例1 设随机变量X ~ N(0， 2 )，试求 E(X n )． 解： DX X EX Y − 令： = X = 则 Y ~ N(0，1)． 所以， ( ) ( ) n n n E X = E Y ( ) + − = y f y dy Y n n + − − = y e dy y n n 2 2 2 ( ) ． ⑴．当 为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以 = 0 n E X n 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 (2).当n为偶数时,由于被积函数是偶函数,所以 Ern 2on too y" e 2 dy 2兀0 y 2 dy=t 2 dt=2 2t 2dt EX 202 t2 dt √2丌 0 s22 on to0 n+1 2 n+1 2[偷返回主目录 0
第四章 随机变量的数字特征 (2)．当n为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以 + − = 0 2 2 2 2 EX y e dy y n n n dy t dt t dt t y t y 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , 2 , 2 − − − = = 令： = 则 = ) 2 1 2 2 ( 2 2 2 2 0 1 2 1 2 0 2 1 1 2 + = = = + − − + + − − − n t e d t EX t e d t n n t n n n t n n n n 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 §5矩 22n(n+1 其中r(1)=xle-dk 利用r-函数的性质:I(+1)=rr(r),得 23nn-1n-1)23onn-1n-3,/n-3 ELX m x22 22n 31,/1 丌=o"(n-1)! 2 []返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 利用−函数的性质：(r +1)= r(r)，得 + = 2 2 1 2 n n n ( ) − − = 2 1 2 2 1 2 n n E X n n n − − − = 2 3 2 3 2 2 1 2 n n n n n − − = 2 1 2 1 2 3 2 2 1 2 n n n n ( ) 2 2 2 2 1 !! n n n n − = = (n −1)!! n ( ) . 0 1 t x e dx t −x − 其中 = 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 因而, §5矩 EIX ∫a"(n-1)!n为偶数 0n为奇数 其中, 1·35…nn为奇数 1246…mm偶数 特别,若X~N(0,1),则 E(x)=(=-)n为偶数 0 n为奇数n=4,E4=3 []返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 因而， ( ) ( ) − = 为奇数 为偶数 n n n E X n n 0 1 !! 其中， = 为偶数 为奇数 n n n n n 2 4 6 1 3 5 !! 特别，若 X ~ N(0，1), 则 ( ) ( ) , 4 3. 0 1 !! 4 = = − = n EX n n n E X n 时， 为奇数 为偶数 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 2、n维正态分布的性质 §5矩 1)n维随机变量(X1…,X)服从n维正态分布分X1…,Xn 的任意线性组合4Xx1+…+LX服从一维正态分布 2)若(x…,X)服从n维正态分布,x…是x(j=1…,m) 的线性函数,则(1…H)也服从正态分布。 3)若(X1…,X)服从n维正态分布,则X1…;Xn相互独 立兮X1…,X两两不相关。 []返回主目录
2、n维正态分布的性质 1) n维随机变量( , , ) X1 Xn 服从n维正态分布X Xn , , 1 的任意线性组合 n Xn l X ++ l 1 1 服从一维正态分布。 2) 若( , , ) X1 Xn 服从 n 维正态分布，Y Yn , , 1 是 X ( j 1, ,n) j = 的线性函数，则( , , ) Y1 Yn 也服从正态分布。 3) 若( , , ) X1 Xn 服从 n 维正态分布，则X Xn , , 1 相互独 立X Xn , , 1 两两不相关。 第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 例2(1)设X,Y独立,X~N(14),Y~N(29,。5矩 求:2X-Y的分布; (2)(X,Y)~N(1,2:4,90.5) 求:2X-Y的分布; 解:(1)E(2X-Y)=2EX-EY=0 D(2X-Y)=4DX+DY=4×4+9=25 则:2X-Y~N(0,25) (2)D(2X-Y)=4Dx+D-2×2CO(X,Y) 25-4 DX√DY=25-4××2×3=13 则:2X-Y~N(0,13) []返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 例 §5 矩 2 (1) 设 X,Y 独立，X ~ N(1,4), Y ~ N(2,9), 求：2X −Y 的分布； 解： 求：2X −Y 的分布； (1) E( 2X −Y) = 2EX − EY = 0 D( 2X −Y) = 4DX + DY = 44 + 9 = 25 则：2X −Y ~ N(0,25) 2 3 13 2 1 25 - 4 25 4 (2) (2 ) 4 2 2 ( , ) = XY = − = − = + − DX DY D X Y DX DY COV X Y 则：2X −Y ~ N(0,13) 返回主目录 (2) (X,Y) ~ N(1,2;4,9;0.5)
第四章随机变量的数字特征 例设二维随机变量(X,Y密度函数为§5矩 f(x,y)=[1(x,y)+2(x,y) 其中1(x,y)和Q2(x,y)都是二维正态密度函数,且它们对应 的二维随机变量的相关系数分别为和-,它们的边缘密 度函数所对应的随机变量的数学期望都是零,方差都是1 (1)求随机变量X和Y的密度函数fx(x)和f(y), 及X和Y的相关系数 (2)问X和Y是否独立?为什么? 解(1)由于二维正态密度函数的两个边缘密度都 是正态密度函数,因此有
第四章 随机变量的数字特征 例3 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 §5 矩 [ ( , ) ( , )], 2 1 ( , ) 1 2 f x y = x y + x y 1. 3 1 3 1 ( , ) ( , ) 1 2 度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 的二维随机变量的相关系数分别为 和 ，它们的边缘密 其中 和 都是二维正态密度函数，且它们对应 − x y x y (1)求随机变量 和 的密度函数 和 ， 及 和 的相关系数 (2)问 和 是否独立？为什么？ X Y f (x) X f (y) Y X Y X Y 解 （1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都 是正态密度函数，因此有
第四章随机变量的数字特征 (x)=(x,y0=(xy)+(xy e e 2丌 2兀 2丌 同理, e 2丌 X~N(0,1),Y~N(O,1) 所以EX=EY=0,DX=DY 随机变量X和Y的相关系数
第四章 随机变量的数字特征 − − − f x = f x y dy = x y dy + x y dy X ( , ) ( , ) 2 1 ( ) ( , ) 1 2 ; 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 x x x e e e − − − = = + f Y ( y) = 同理， ; 2 1 2 2 x e − 0, 1. ~ (0,1), ~ (0,1), EX = EY = DX = DY = X N Y N 所以 则 随机变量 X 和 Y 的相关系数
第四章随机变量的数字特征 §5矩 p=lxrf(x, y)dxdy xy,(,y)dxdy+xy02(x, y )dxdy 0 (2)由题设 3 ry+] 8丌
第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 = + = − − − − − − x y x y dxdy x y x y dxdy xyf x y dxdy ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) 1 2 （2）由题设 , 8 2 3 ( , ) ) 3 2 ( 1 6 9 ) 3 2 ( 1 6 9 2 2 2 2 = + − x − xy+ y − x + xy+ y f x y e e 0. 3 1 3 1 2 1 = = −