北京交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征（4.4）协方差及相关系数

第四章随机变量的数字特征 §4协方差及相关系数 §4协方差 1、定义 RCOV(X, Y)=E(X-EXCY-EY)=EXY-EXEY 为随机变量X,Y的协方差.而COV(X,X)=DX COv(X,Y pxy DY、√DY为随机变量X,Y的相关系数。 p是一个无量纲的量;若pxy=0, 称XY不相关,此时COV(X,Y)=0 定理:若Ⅹ,Y独立,则,Y不相关 证明:由数学期望的性质有 E(X-EXOY-EY=E(X-EXECY-EY 又EXEX)=0,E(YEY=0 所以E(XEⅩYEY=0 []返回主目录 即COV(X,Y=0

§4.协方差及相关系数 §4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 1、定义  XY 是一个无量纲的量；若 XY =0， 称 X,Y 不相关,此时 COV(X,Y)=0。 定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。 证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY) 又 E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0 所以 E(X-EX)(Y-EY)=0。 即 COV(X,Y)=0 称COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY 为随机变量X,Y的协方差. 而 COV(X,X)=DX. DX DY 为随机变量X,Y的相关系数。 COV X Y XY . ( , )  = 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 §4协方差 注意:若E(XEX(YEY)≠0,即 EXY-EXEY≠0,贝 Ⅹ,Y一定相关,且X,Y一定不独立。 2、协方差的性质 D)COVXY-COVY,X) 2)COV(ax, bY=abCOVX,Y 3)COV(X+Y,2COV(X,Z+COVY, z 4)若XY不相关,则:EXY=EXEY,DaX+bY)a2Dx+b2Dy 由方差的性质3)知: D(aX+by)=a'DX +b DY+2abCOv(X,Y) []返回主目录

2、协方差的性质 1) COV(X,Y)=COV(Y,X); 2) COV(aX，bY)=abCOV(X,Y); 3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z); 4) 若 X,Y 不相关，则：EXY=EXEY, D(aX+bY)=a DX b DY 2 2 + 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 由方差的性质３）知： 注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY-EXEY 0， 则 X，Y一定相关，且X，Y一定不独立。   D(aX+bY)= 2 ( , ) 2 2 a DX + b DY + abCOV X Y 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 §4协方差 3、相关系数的性质 2)|1|=1分存在常数ab使P{Y=a+bx}=1 证明: 令:e=E[Y-(a+bX2 EY+beX+a-2aey-2beXr+2abeX 求ab使e达到最小 0(0e=2a+2bEX-2EY=0 令 aa = 26EX-2EXY+2aEX=0 ab 将a=EY-bEX,代入第二个方程得 EXY- EXEY bEX-EXY+(EY -)EX =0, t b 2 Ex2-( EX)

3、相关系数的性质 1)  1.  XY 2)  XY = 1存在常数 a,b 使 P{Y=a+bX}=1. 证明： EY b EX a aEY bEXY abEX e E Y a bX 2 2 2 [ ( )] 2 2 2 2 2 = + + − − + 令： = − + 求 a,b 使 e达到最小 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 令        = − + =   = + − =   2 2 2 0 2 2 2 0 2 bEX EXY aEX b e a bEX EY a e 将 a = EY − bEX , 代入第二个方程得 2 2 2 ( ) ( ) 0, EX EX EXY EXEY bEX EXY EY bEX EX b − − − + − = 故 =

第四章随机变量的数字特征 §4协方差 COV(X,Y) 解得 DX a= Ey-bEX= EY-eX COV(X,Y) DX min ElY(a+bX]=elr -(ao+box) b =E(Y-Er+E COV(X,Y) CO(X,Y)、2 DX DX E((Y-EY(-EX Ov(,Y DX DY+ DX COv(X,Y 2COV(X,Y) COV(X,Y (DX) DX DY+ COv(X,Y COv(X,Y) DX DX[返回主目录

解得 DX COV X Y a EY b EX EY EX DX COV X Y b ( , ) ; ( , ) 0 0 0 = − = −  = − + = 2 , min E[Y (a bX)] a b 2 0 0 E[Y − (a + b X )] 2 ) ( , ) ( , ) ( DX COV X Y X DX COV X Y = E Y − EY + EX −  2 ) ( , ) (( ) ( ) DX COV X Y = E Y − EY − X − EX  第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 DX COV X Y DX COV X Y DY ( , ) 2 ( , ) 2 2 = + − DX COV X Y COV X Y DX COV X Y DY DX ( , ) 2 ( , ) ( ) ( , ) 2 2 = +  −  返回主目录

第四章随机变量的数字特征 Dr COv2(X, Y )=Dr- Pxy. DX DY=(1-PrDr DX DX Bp: min EIY-(a+bX]2=(1-P2Y)DY a. b 由上式得 1-py≥0,|x|≤1。 2)若=1则EY-(a0+b2)=0。 从而DY-(a0+bX)+(E{Y-(a+bX))2=EY-(an+b)2=0 所以D[y-(a0+bX)=0,B[Y-(a0+bX)=0 故P{Y-(a+bX)=0}=1 P{Y=a0+b2X}=1 []返回主目录

即： − + = 2 , min E[Y (a bX)] a b (1 XY )DY 2 −  DX DX DY DY XY   = − 2  = (1 X Y )DY 2 −  由上式得: 1) １－ 0, 1 2   XY XY   。 2) 若 = 1,  X Y 则 [ ( )] 0 2 E Y − a0 + b0 X = 。 第四章 随机变量的数字特征 从而D[Y − (a0 + b0 X )] + − + = 2 0 0 (E[Y (a b X)] ) [ ( )] 0 2 E Y − a0 + b0 X = 所以 [ ( )] 0, D Y − a0 + b0 X = E[Y − (a0 + b0 X )] = 0 故 P{Y－（a0 + b0 X ) = 0 }=1. 即 P{Y＝a0 + b0 X }=1。 DX COV X Y DY ( , ) 2 = − 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 反之,若存在a,b使P{Y=a+b'X}=1,则 P{Y-(a+bX)=0}=1, 故EY-(a"+b*X)2=0 0=El(a+6X>min E[Y-(a+bX)]=(1-PXrDr a、b Xy 说明 录N=1n闻瞪刺是部关影 录心解接0国即部关杯图 录2=0n闻业部屏关(粗关 X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系

反之，若存在   a ,b 使 P{Y＝a b X   + }=1，则 P{Y－（a b X   + ）＝０}=1， 故 [ ( )] 0 2 − + =   E Y a b X 而 = − +    2 0 E[Y (a b X)] − + = 2 , min E[Y (a b X)] a b (1 X Y )DY 2 −  则 1 0, 1 2 −  XY =  XY = 。 第四章 随机变量的数字特征 说 明 当  X， Y =1时，X 与Y 之间以概率1存在着线性关系； 相关系数是表征随机变 量 X 与Y 之间线性关系紧密程度 的量． 当  X， Y 越接近于0时，X 与Y 之间的线性关系越弱； 当  X， Y =0时，X 与Y 之间不存在线性关系(不相关)． X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系

第四章随机变量的数字特征 5、例子 §4协方差 COM 胫XⅠ普二喱粒軎「斗DK=DⅠ=寸 =-5小=K-k NK: b 些 D=D(x-SA)=DX++DA-tCoA(T A +寸×寸一寸×Ⅰ=3 D=D(sx-)=+DX+ DA-tCOn(E A 寸×]十寸一寸×丁=寸 []返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 解：( ， ) ，记 设 ， 是二个随机变量，已知 ， ， cov 1 1 4 = = = X Y X Y DX DY  = X −2Y， = 2X −Y 试求：， ． D = D(X −2Y) = DX + 4DY −4cov(X，Y) =1+ 44 − 41 =13 D = D(2X −Y) = 4DX + DY −4cov(X，Y) = 41+ 4 − 41 = 4 5、例子 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 §4协方差 COA(·)=COA(X-K5X-从) =COA(XX)-寸coA(2·x)cOA(X)+co(·k) =5D-2c0(X)+5DⅠ =J×-2×+丁×寸 DD↓3个=5° COM []返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 cov(，)= cov(X −2Y， 2X −Y) = 2cov(X， X)−4cov(Y， X)−cov(X，Y)+2cov(Y，Y) = 2DX −5cov(X，Y)+ 2DY = 21−51+24 = 5 所以， ( )       D D ， ， cov = 13 4 5 = 26 5 13 = 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 设(XY服从二维正态分布,求:px §4协方差 2)2 1o2 2 2丌O12 由上述知:fx(x) f(y)= 20 T EX=H, DX=OL,Er=u2, Dr=o2, Cov(X,y)=∫∫(x-A1Xy-A2)(x,y) (x-)2 y-A2 x-A (x-1)(y e (1 dydx 丌O1O []返回主目录

设(X,Y)服从二维正态分布，求： XY 由上述知： 2 1 2 1 2 ( ) 2 1 1 ( )    − − = x X f x e ， 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( )    − − = y Y f y e    −  − Cov(X,Y) = (x − )( y − ) f (x, y)dxdy 1  2 , , , , 2 2 2 2 EX = 1 DX =  1 EY =  DY =     −  − − − − − − − − − − − = x y e e dydx x y x 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 [ ] 2(1 ) 1 2 ( ) 1 2 2 1 2 ( )( ) 2 1 1               第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 ( ) ( ) ( )( ) ( )                         − + − − − −       − − − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 exp 2 1 1 2 2 1              x x y y f x， y 返回主目录

第四章随机变量的数字特征 §4协方差 y-p x-1 x-1 x-11 flu (tv1-p+pu)o2 atat ax a 2 102 []返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 令 [ ] 1 1 1 1 2 2 2       − − − − = y x t ， 1 1  −  = x u ， 2 1 2 1 2 1 2 ) 1 1 1 (       = − − − = − − 1 1 2 2 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 − − − − − =         =       y u x u y t x t J 2 2 1 1 2 则 x −  =  u , y −  = (t 1−  + u) 返回主目录