北京交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布（3.4）随机变量的独立性

第三章随机变量及其分布 随机变量的独立性 4随机变量的独立性 设(X,H)是二维随机变量,其联合分布函数为 F(x,y),又随机变量X的分布函数为Fx(x) 随机变量Y的分布函数为F(v).如果对于任意 的 X, y, 有 F X, y=Fxx F 则称X,Y是相互独立的随机变量. 奩]返回主目录

随机变量的独立性 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 则称 ， 是相互独立的随机变量． ， 的 ， ，有 随机变量 的分布函数为 ．如果对于任意 ， ，又随机变量 的分布函数为 ， 设 ， 是二维随机变量，其联合分布函数为 X Y F x y F x F y x y Y F y F x y X F x X Y X Y Y X =  第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章随机变量及其分布 说 §4随机变量的独立性 (1).由于 F(x,y)=P{Y≤x,Y≤y 以及F3(x)=P{X≤x}F()=P{≤y} 可知,随机变量X与Y相互独立,实际上是指: 对于任意的x,y,随机事件 {x≤x}与{Y≤y} 相互独立 奩]返回主目录

说 明 F(x， y) = PX  x， Y  y ⑴．由于 以及 FX (x) = PX  x， FY (y)= PY  y 可知，随机变量X 与Y 相互独立，实际上是指：     相互独立． 与 对于任意的 ， ，随机事件 X x Y y x y   第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章随机变量及其分布 说明 §4随机变量的独立性 (2).如果随机变量ⅹ与Y相互独立,则由 FxF 可知, 二维随机变量(X,Y)的联合分布 函数F(x,y)可由其边缘分布函数 F(x)与F()唯一确定 奩]返回主目录

说 明 ⑵．如果随机变量X 与Y 相互独立，则由 F(x y) F (x)F (y) ， = X Y 可知， ( ) ( ) ( )与 ( )唯一确定． 函数 ， 可由其边缘分布函数 二维随机变量 ， 的联合分布 F x F y F x y X Y X Y 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章随机变量及其分布 例1 4随机变量的独立性 路一雜虹軎()胆联号幕 0 (2)r(x + SlCISIU SLC SI x几」 (∞<x<+∞01-<)<+) X置少5 拒洛也新 奩]返回主目录

例 1 解： 设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 ( )        +      = + 10 arctan 5 2 arctan 2 1 2 x y F x y    ， (−  x  +， −  y  +) 试判断X 与Y是否相互独立？ X 的边缘分布函数为 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章随机变量及其分布 例1(续) §4随机变量的独立性 E()=E(x ->+ 0 +SLC SI + SLCISI x八 + glC SU x∈(-∞+0o →+ E(=E(z N x→+x(5 2/S IO I t SLC SU t SLCISU x八( 奋返回主目录

例 1（续）        +      = + →+ 10 arctan 5 2 arctan 2 1 lim 2 x y y          = + 5 arctan 2 1  x  ( x(−， +) ) F (x) F(x y) y X ， →+ = lim Y 的边缘分布函数为 F (y) F(x y) x Y ， →+ = lim        +      = + →+ 10 arctan 5 2 arctan 2 1 lim 2 x y x    第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章随机变量及其分布 例1(续) §4随机变量的独立性 t SLC SU ∈ M×4士任累系X里 0 + SiCAS叮 SLCISU x八⊥ (5 2)/5 JO SicISU + SLCISU EX (xE( DXⅠ看八喱料曹 奩]返回主目录

例 1（续）  ( y(−， +) )      = + 10 arctan 2 1  y  所以，对于任意的实数x， y，有 ( )        +      = + 10 arctan 5 2 arctan 2 1 2 x y F x y    ，        +      = + 10 arctan 2 1 5 arctan 2 1 x  y    F (x)F (y) = X Y 所以X 与Y是相互独立的随机变量． 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章随机变量及其分布 离散型随机变量的独立性 §4随机变量的独立性 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其联合分布律为 (,j=1,2,…) 又随机变量X的分布律为 PX i=1,2, 随机变量Y的分布律为 PY=y 如果对于任意的i, Pii= pi. p 则称X,Y是相互独立的随机变量. 奩]返回主目录

离散型随机变量的独立性 设(X，Y)是二维离散型随机变量，其联合分布律为 pi j = PX = xi ， Y = y j  又随机变量X的分布律为 ( i，j =1， 2， ) pi = PX = xi  ( i =1， 2， ) 随机变量Y的分布律为 p j = PY = y j  ( j =1， 2， ) 如果对于任意的i， j pij = pi p j 则称X，Y是相互独立的随机变量． 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章随机变量及其分布 4随机变量的独立性 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y 1-613 219a 18 B 试确定常数α,β使得随机变量X与Y相互独立 解 由表,可得随机变量X与Y的边缘分布律为 奩]返回主目录

例 2 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律为 Y X 1 2 3 1 6 1 9 1 18 1 2 3 1   试确定常数，  使得随机变量X 与Y 相互独立． 解：由表，可得随机变量X 与Y的边缘分布律为 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章随机变量及其分布 例2(续) §4随机变量的独立性 P 18 3 B 3+a+B +a1+B 如果随机变量X与Y相互独立,则有 Py=P:P, j=,2,3) 由此得 奩]返回主目录

例 2（续） Y X 1 2 3 pi 1 6 1 9 1 18 1 3 1 2 3 1   3 ++ 1 p j 2 1 1 9 + 18+ 1 如果随机变量X 与Y 相互独立，则有 pij = pi p j ( i =1， 2； j =1， 2，3) 由此得 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录

第三章随机变量及其分布 例2(续) §4随机变量的独立性 P{X=1,Y=2}=P(X=1}P({Y=2} +a 由此得a 2 9 又由 =P{X=1,Y=3}=P{X=1}P{Y=3} 3(18 +B 18 由此得B 而当a=,B=时,联合分布律及边缘分布律为 奩]返回主目录

例 2（续）  1 2  9 1 = P X = ， Y = 由此得 ； 9 2  = 又由  1 3 18 1 = P X = ， Y = 由此得 ． 9 1  =       =  + 9 1 3 1 = PX =1PY = 2       =  +  18 1 3 1 = PX =1PY = 3 而当 ， 时，联合分布律及边缘分布律为 9 1 9 2  =  = 第三章 随机变量及其分布 §4随机变量的独立性 返回主目录