北京交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第一章 概率论的基本概念（1.4）独立性

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§4 独 立 性 • 独 立 性 • 习 题 课 目录索引 第一章 概率论的基本概念 §4 独立性 返回主目录

第一章概率论的基本概念 例1 §4独立性 袋中有a只黑球,b只白球.每次从中取出一球, 取后放回 A={第一次取出白球}, B={第二次取出白球}, 则 h(4)=b atb 2 b P(AB a+b)2 P(AB)=40 (a+b) 「]返回主目录

例 1 袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一球， 取后放回．令： A={ 第一次取出白球 }， B={ 第二次取出白球 }， 则 ( ) a b b P A + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b ab P AB a b b P AB + = + = 第一章 概率论的基本概念 §4 独立性 返回主目录

第一章概率论的基本概念 例1(续) §4独立性 所以,由 B=AB∪AB 得:P(B)=P(4B)+P(④B) +b人2×b b b (a+b) a+b 2 b 而,P(BA) P(ab)(a+b b P(4) b atb atb 「]返回主目录

例 1（续） 所以，由 B = AB AB 得：P(B) = P(AB)+ P(AB) ( ) ( ) a b b a b ab a b b + = + + + = 2 2 2 ( ) ( ) P(A) P AB 而，P B A = ( ) a b b a b b a b b + = + + = 2 2 第一章 概率论的基本概念 §4 独立性 返回主目录

第一章概率论的基本概念 说 日 §4独立性 由例1,可知b(B)=b(B 这表明,事件A是否发生对事件B是否发生在概 率上是没有影响的,即事件A与B呈现出某种独 立性.事实上,由于是有放回摸球,因此在第二 次取球时,袋中球的总数未变,并且袋中的黑球 与白球的比例也未变,这样,在第二次摸出白球 的概率自然也未改变 由此,我们引出事件独立性的概念 「]返回主目录

说 明 由例 1，可知 P(B) = P(B A) 这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概 率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独 立性．事实上，由于是有放回摸球，因此在第二 次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球 与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球 的概率自然也未改变． 由此，我们引出事件独立性的概念 第一章 概率论的基本概念 §4 独立性 返回主目录

第一章概率论的基本概念 事件独立性的定义 §4独立性 设A、B是两个随机事件,如果 P(AB)=P(AP(B) 则称A与B是相互独立的随机事件 事件独立性的性质: 1)如果事件A与B相互独立,而且P(4)>0 则P(B4)=P(B) 「]返回主目录

事件独立性的定义 设 A、B 是两个随机事件，如果 P(AB) = P(A)P(B) 则称 A 与 B 是相互独立的随机事件． 事件独立性的性质： 1）如果事件A 与 B 相互独立，而且 P(A)  0 则 P(B A)= P(B) 第一章 概率论的基本概念 §4 独立性 返回主目录

第一章概率论的基本概念 证明:由于事件A与B相互独立,故「§4独立性 P(AB)=P(AP(B) 因此,P(B P(AB) P(AP(B) P(4)P( P(B) 2)必然事件S与任意随机事件A相互独立; 不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立 证明:由P(S)=P(4小)=1P()=P(S)(4) 可知必然事件S与任意事件A相互独立; 由b@D)=b()=0-b(N)=b()() 可知不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立

证明： 由于事件 A 与 B 相互独立，故 P(AB) = P(A)P(B) ( ) ( ) P(A) P AB 因此， P B A = ( ) ( ) ( ) P(B) P A P A P B = = 第一章 概率论的基本概念 §4 独立性 2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立． 证明：由 P(SA) = P(A) =1P(A) = P(S)P(A) 可知必然事件S 与任意事件 A 相互独立； 可知不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立. 由 P(A) = P() = 0P(A) = P()P(A)

第一章概率论的基本概念 3)若随机事件A与B相互独立,则 §4独立性 A与B、A与B、A与B 也相互独立 解:为方便起见,只证A与B相互独立即可 由于P(AB)=P(B-AB) 注意到ABcB,由概率的可减性,得 P AB=P(B)-P(AB =P(B)P()P(B)(事件A与B独立性) =P(4)()=P(() 所以,事件A与B相互独立 「]返回主目录

3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则 A 与B、A与B、A 与B 也相互独立. 解：为方便起见，只证 A 与 B 相互独立即可 ． 由于 P(AB)= P(B − AB) 注意到 AB  B，由概率的可减性，得 P(AB)= P(B)− P(AB) = P(B)−P(A)P(B) (事件A与B的独立性) 第一章 概率论的基本概念 §4 独立性 = 1−P(A)P(B) = P(A)P(B) 所以，事件A 与 B相互独立． 返回主目录

第一章概率论的基本概念 §4独立性 注意:在实际应用中,对于事件的独立性,我 们往往不是根据定义来判断,而是根据实际意 义来加以判断的。具体的说,题目一般把独立 性作为条件告诉我们,要求直接应用定义中的 公式进行计算。 「]返回主目录

注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我 们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意 义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立 性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的 公式进行计算。 第一章 概率论的基本概念 §4 独立性 返回主目录

第一章概率论的基本概念 例2 §4独立性 设事件A与B满足:P()P(B)≠0 若事件A与B相互独立,则ABφ; 若AB=Φ,则事件A与B不相互独立 证明: 由于事件A与B相互独立,故 P(4B)=P(AP(B)≠0 所以,AB≠Φ 「]返回主目录

例 2 设事件 A 与 B 满足： P(A)P(B)  0 若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ； 若 AB =Φ，则事件 A 与 B 不相互独立． 证明： 由于事件A与B相互独立，故 P(AB)= P(A)P(B) 0 所以，AB   第一章 概率论的基本概念 §4 独立性 返回主目录

第一章概率论的基本概念 由于AB=,所以 §4独立性 P(AB)=P@)=0 但是,由题设P(4)P(B)≠0 所以,P(4B)≠P(A)P(B) 这表明,事件A与B不相互独立 此例说明:互不相容与相互独立不能同时成立 「]返回主目录

由于AB =Φ，所以 P(AB) = P() = 0 但是，由题设 P(A)P(B)  0 所以， P(AB)  P(A)P(B) 这表明，事件 A 与 B 不相互独立． 第一章 概率论的基本概念 §4 独立性 此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。 返回主目录