第二章随机变量及其分布 1随机变量
2 第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量
为了全面研究随机试验的结果,揭示随机现象 的统计规律性,将随机试验的结果与实数对应 起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变 量的概念 在随机试验完成时,人们常常不是关心试验结 果本身,而是对于试验结果联系着的某个数感 兴趣
3 为了全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象 的统计规律性, 将随机试验的结果与实数对应 起来, 将随机试验的结果数量化, 引入随机变 量的概念. 在随机试验完成时, 人们常常不是关心试验结 果本身, 而是对于试验结果联系着的某个数感 兴趣
例1在一袋中装有编号分 别为1,2,3的3只球在袋中3 任取一只球,放回.再取 45 只球,记录它们的编号.计 345 算两只球的号码之和 234 123 试验的样本空间S={e}={i,};广=1,2,3.这里2 分别表示第一,球的号码.以X记两球号码之 和,对于每一个样本点e,X都有一个值与之对 应,如图所示
4 例1 在一袋中装有编号分 别为1,2,3的3只球. 在袋中 任取一只球, 放回. 再取一 只球, 记录它们的编号. 计 算两只球的号码之和. 试验的样本空间S={e}={i,j},i,j=1,2,3. 这里i,j 分别表示第一,二球的号码. 以X记两球号码之 和, 对于每一个样本点e, X都有一个值与之对 应, 如图所示. 1 2 3 i 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 j
例2将一枚硬币抛掷3次.关心3次抛掷中,出 现H的总次数,而对H,T出现的顺序不关心.比 如说,我们仅关心出现H的总次数为2,而不在 乎出现的是"HHT""HTF还是"TH.以X记 次抛掷中出现H的总数,则对样本空间S={e} 中的每一个样本点e,k都有一个值与之对应 即有 样本点 HHH HHT HTH THH ATT THT TTH TTT X的值32221110
5 例2 将一枚硬币抛掷3次. 关心3次抛掷中, 出 现H的总次数, 而对H,T出现的顺序不关心. 比 如说, 我们仅关心出现H的总次数为2, 而不在 乎出现的是"HHT","HTH"还是"THH". 以X记 三次抛掷中出现H的总数, 则对样本空间S={e} 中的每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 即有 样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X的值 3 2 2 2 1 1 1 0
定义设随机试验的样本空间为S={e}.=X(e) 是定义在样本空间S上的实值单值函数.称 XK(e)为随机变量
6 定义 设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e) 是定义在样本空间S上的实值单值函数. 称 X=X(e)为随机变量. S e1 e2 e3 x
有许多随机试验,它的结果本身是一个数,即 样本点e本身是一个数.我们令X=(e)=e,则X 就是一个随机变量.例如,用Y记某车间一天 的缺勤人数,以W记录某地区第一季度的降兩 量,以Z记某工厂一天的耗电量,以N记某医院 某一天的挂号人数.那么Y,W,Z,N都是随机 变量 本书中,一般以大写字母如X,Y,Z,W,…表示随 机变量,而以小写字母x,y,z,1,…表示实数
7 有许多随机试验, 它的结果本身是一个数, 即 样本点e本身是一个数. 我们令X=X(e)=e, 则X 就是一个随机变量. 例如, 用Y记某车间一天 的缺勤人数, 以W记录某地区第一季度的降雨 量, 以Z记某工厂一天的耗电量, 以N记某医院 某一天的挂号人数. 那么Y, W, Z, N都是随机 变量. 本书中, 一般以大写字母如X,Y,Z,W,...表示随 机变量, 而以小写字母x,y,z,w,...表示实数
随机变量的取值随试验结果而定,而试验的各 个结果出现有一定的概率,因而随机变量的取 值有一定的概率.例如,在例2中X取值为2,记 成{X=2},对应于样本点的集合A={HH,HH, THH},这是一个事件,当且仅当事件A发生时 有{X2}.则称P)=P{HH,HH,THB}为 {￥-2}的概率,即PX=2)=P(4)=3/8.类似地有 4 PX <1=P(HTT, THT, TTH, TTT)
8 随机变量的取值随试验结果而定, 而试验的各 个结果出现有一定的概率, 因而随机变量的取 值有一定的概率. 例如, 在例2中X取值为2, 记 成{X=2}, 对应于样本点的集合A={HHT, HTH, THH}, 这是一个事件, 当且仅当事件A发生时 有{X=2}. 则称P(A)=P{HHT, HTH, THH}为 {X=2}的概率, 即P(X=2)=P(A)=3/8. 类似地有 8 4 P{X 1} = P{HTT,THT,TTH,TTT} =
般,若L是一个实数集合,将X在L上取值写成 {X∈L}它表示事件B={e(e)∈L},即B是由S中 使得Ⅺe)∈L的所有样本点e所组成的事件.此 时有 P{X∈L}=P(B)=P{ex(e)∈L} 随机变量的取值随试验的结果而定,在试验之 前不能预知它取什么值,且它的取值有一定的 概率.这些性质显示了随机变量与普通函数有 着本质的差异
9 一般, 若L是一个实数集合, 将X在L上取值写成 {XL}. 它表示事件B={e|X(e)L}, 即B是由S中 使得X(e)L的所有样本点e所组成的事件. 此 时有 P{XL}=P(B)=P{e|X(e)L}, 随机变量的取值随试验的结果而定, 在试验之 前不能预知它取什么值, 且它的取值有一定的 概率. 这些性质显示了随机变量与普通函数有 着本质的差异
§2离散型随机变量及其分布 律
10 §2 离散型随机变量及其分布 律
有些随机变量,它全部可能取到的不相同的值 是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为 离散型随机变量.例如§1例2中的随机变量Ⅹ, 只可能取0,1,2,3四个值,它是一个离散型随 机变量.又如某城市的120急救电话台一昼夜 收到的呼唤次数也是离散型随机变量.若以T 记某元件的寿命,它所可能取的值充满一个区 间,是无法按一定次序一一列举出来的,因而 它是一个韭离散型的随机变量.本节讨论离散 型随机变量
11 有些随机变量, 它全部可能取到的不相同的值 是有限个或可列无限多个, 这种随机变量称为 离散型随机变量. 例如§1例2中的随机变量X, 它只可能取0,1,2,3四个值, 它是一个离散型随 机变量. 又如某城市的120急救电话台一昼夜 收到的呼唤次数也是离散型随机变量. 若以T 记某元件的寿命, 它所可能取的值充满一个区 间, 是无法按一定次序一一列举出来的, 因而 它是一个非离散型的随机变量. 本节讨论离散 型随机变量