定理如果z是f(=)的m级极点,则就是f(=)的 m级零点,反过来也成立 [证]如果z是(z)的m级极点便有 f(z)= 其中g(z)在0解析,且g(z0)≠0.所以当z≠z0时,有 f(=)( 8(=)=( )"h(=) (5.1.4)
2 定理 如果 z0是 f(z)的 m 级极点, 则 z0就是 ( ) 1 f z 的 m 级零点, 反过来也成立. [证] 如果 z0是 f(z)的 m 级极点,便有 ( ) ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m − = 其中 g(z)在 z0解析, 且 g(z0)0. 所以当 zz0时, 有 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 0 0 z z h z g z z z f z m m = − = − (5.1.4)
函数h(z)也在z0解析,且h(z)≠0.由于 lim 0 →>20(z 因此,只要令f(=0),则由(514)知z0是f(z) 的m级零点 反过来,如果z是f(x)的m级零点,则 f(=) (=-=0)"(二 这里(z)在z0解析,并且Q(z0)≠0
3 函数 h(z)也在 z0解析, 且 h(z)0. 由于 0 ( ) 1 lim 0 = z→z f z 因此, 只要令 0 ( ) 1 0 = f z , 则由(5.1.4)知 z0 是 ( ) 1 f z 的 m 级零点. 反过来, 如果 z0是 ( ) 1 f z 的 m 级零点, 则 ( ) ( ). ( ) 1 0 z z z f z m = − 这里(z)在 z0解析, 并且(z0)0
由此,当z≠z时,得 f(z=my(z) 2-2 而v(z)=1以(z)在z解析,并且v(z0)≠0,所以是 f(z)的m级极点 [证毕] 这个定理为判断函数的极点提供了一个较为 简单的方法
4 由此, 当zz0时, 得 ( ) ( ) 1 ( ) 0 z z z f z m − = 而(z)=1/(z)在z0解析, 并且(z0 )0, 所以z0是 f(z)的m级极点. [证毕] 这个定理为判断函数的极点提供了一个较为 简单的方法
例1函数sinz有些什么奇点?如果是极点, 指出它的级 解]函数1/sinz的奇点显然是使sinz=0的点 这些奇点是z=ka(k=0,±1,+2,)因为从snz=0 得e=e或e2=1,从而有2iz=2kmi,所以z=kn 它们是孤立奇点.由于 (sin z)-ktcos zl-k=(1)k+0 所以zk都是sinz的一级零点,也就是sinz 的一级极点
5 例 1 函数 sin z 1 有些什么奇点? 如果是极点, 指出它的级. [解] 函数 1/sin z 的奇点显然是使 sin z=0 的点. 这些奇点是 z=k(k=0,1,2,…).因为从 sinz=0 得e iz=e−iz或e 2iz=1, 从而有2iz=2ki, 所以z=k. 它们是孤立奇点. 由于 (sin z)'|z=k=cos z|z=k=(−1)k0, 所以 z=k都是 sin z 的一级零点, 也就是 sin z 的一级极点
注意不能一看函数表面形式就急于作结论.像函 数z2,初看似乎=0是它的2级极点,其实是 级极点.因为 n +231*…。1 qp(二) 其中叭(z)在z=0解析,并且∞(O)≠0,类似地,z=0是 shz 的2级极点而不是3级极点
6 注意不能一看函数表面形式就急于作结论. 像 函 数 2 e 1 z z − , 初看似乎 z=0 是它的 2 级极点, 其实是一 级极点. 因为 ( ), 1 2! 3! 1 1 1 ! e 1 1 0 2 2 z z z n z z z z n z n = + + + = = − − = 其中(z)在 z=0 解析, 并且(0)0, 类似地, z=0 是 3 s h z z 的 2 级极点而不是 3 级极点
5.函数在无穷远点的性态如果函数(z)在无 穷远点z=∞的去心邻域R<z∞内解析,称点 为2)的孤立奇点 作变换=z,并且规定这个变换把扩充z平面上的 无穷远点z=∞映射成扩充t平面上的点纟0,则扩充 平面z上每一个向无穷远点收敛的序列{=n}与扩充 平面上向零收敛的序列=n相对应反过来 也是这样
7 5. 函数在无穷远点的性态 如果函数f(z)在无 穷远点z=的去心邻域R<|z|<内解析, 称点 为f(z)的孤立奇点. 作变换 z t 1 = , 并且规定这个变换把扩充 z 平面上的 无穷远点z=映射成扩充t平面上的点t=0, 则扩充 平面 z 上每一个向无穷远点收敛的序列{zn}与扩充 t 平面上向零收敛的序列 = n n z t 1 相对应. 反过来 也是这样
同时,z把扩充z平面上∞的去心邻域 R<={<+∞映射成扩充t平面上原点的去心邻域 0t R,又 1(x)=()=0() 这样,我们可把在去心邻域R<|z<+∞对f(z)的 研究变为在0R内对0)的研究 显然在0+R内解析,所以z=0是(1)的 孤立奇点
8 同 时, z t 1 = 把扩充 z 平面上的去心邻域 R<|z|<+映射成扩充 t 平面上原点的去心邻域 R t 1 0 | | , 又 ) ( ) 1 ( ) ( t t f z = f = . 这样, 我们可把在去心邻域 R<|z|<+对 f(z)的 研究变为在 R t 1 0 | | 内对(t)的研究. 显然(t)在 R t 1 0 | | 内解析, 所以 z=0 是(t)的 孤立奇点
规定,如果t=0是()的可去奇点,m级极点或 本性奇点,则称点z=∞是z)的可去奇点,m级 极点或本性奇点 由于(z)在Rκ+∞内解析,所以在此圆环域 内可以展开成洛朗级数,根据(445)与(448), f(2)=∑ C Z+C+)C. 1= 1rf(5) (5.1.5) n=2mic2d(n=0,±1±2, C为R<+0内绕原点任何一条简单正向闭 曲线
9 规定, 如果t=0是(t)的可去奇点, m级极点或 本性奇点, 则称点z=是f(z)的可去奇点, m级 极点或本性奇点. 由于f(z)在R<|z|<+内解析, 所以在此圆环域 内可以展开成洛朗级数, 根据(4.4.5)与(4.4.8), (5.1.5) d ( 0, 1, 2, ( ) 2π 1 ( ) 1 1 0 1 = = = + + + = = − − n f i c f z c z c c z C n n n n n n n n C为R<|z|<+内绕原点任何一条简单正向闭 曲线
因此,∞O)在圆环城04R内的洛朗级数可由 51.5)得到为 0()=∑cn1"+Co+ n=1 n=1 (51.6) 如果在级数(5.16)中i不含负幂项,i)含有有 狠多的负幂项,且tm为最高幂,ⅲ)含有无穷多 的负幂项,则t0是o(t)的i可去奇点,im级极 点,i)本性奇点
10 如果在级数(5.1.6)中i)不含负幂项, ii)含有有 限多的负幂项, 且t −m为最高幂, iii)含有无穷多 的负幂项, 则t=0是(t)的i)可去奇点,ii)m级极 点, iii)本性奇点. 因 此, (t)在圆环域 R t 1 0 | | 内的洛朗级数可由 (5.1.5)得到为 = − = = − + + 1 0 1 ( ) n n n n n n t c t c c t (5.1.6)
因此,在级数(51.5)中 i)不含正幂项 i)含有限多的正幂项,且zm为最高幂 i)含有无穷多的正幂项; 则z=∞是(z)的 i)可去奇点; im级极点 i)性奇点
11 因此, 在级数(5.1.5)中, i)不含正幂项; ii)含有限多的正幂项, 且z m为最高幂; iii)含有无穷多的正幂项; 则z=是f(z)的 i)可去奇点; ii)m级极点; iii)本性奇点
