深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十二章 平稳随机过程

第十二章平稳随机过程 §1平稳随机过程的概念

2 第十二章 平稳随机过程 §1 平稳随机过程的概念

有这样重要的一类随机过程,即所谓平稳随机 过程,它的特点是:过程的统计特性不随时间 的推移而变化严格地说,如果对于任意的 n(=1,2,…),t1,t ∈T时,n维随机变量 X(t1),X(t2),…X(tn) 和(Y(t1+h),X(2+h)…,Y(tn+h) (1.1) 具有相同的分布函数,则称随机过程{X(, t∈仍}具有平稳性,并同时称此过程为平稳随机 过程,或简称平稳过程

3 有这样重要的一类随机过程, 即所谓平稳随机 过程, 它的特点是: 过程的统计特性不随时间 的推移而变化. 严格地说, 如果对于任意的 n(=1,2,...),t1 ,t2 ,...,tnT时, n维随机变量 (X(t1 ),X(t2 ),...,X(tn )) 和 (X(t1+h),X(t2+h),...,X(tn+h) (1.1) 具有相同的分布函数, 则称随机过程{X(t), tT}具有平稳性, 并同时称此过程为平稳随机 过程, 或简称平稳过程

平稳过程的参数集T,一般为(-0。),0,∞),、{0, ±1,±2,…}或{0,1,2,}当定义在离散参数集上 时,也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列 以下若无特殊声明,均认为参数集 T=(-0,0) 在实际问题中,确定过程的分布函数,并用它 来判定其平稳性,一般是很难办到的但是,对 于一个被研究的随机过程,如果前后的环境和 主要条件都不随时间的推移而变化,则一般就 可以认为是平稳的

4 平稳过程的参数集T, 一般为(-,),[0,), {0, 1, 2, ...}或{0,1,2,...}. 当定义在离散参数集上 时, 也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列. 以下若无特殊声明, 均认为参数集 T=(-, ). 在实际问题中, 确定过程的分布函数, 并用它 来判定其平稳性, 一般是很难办到的. 但是, 对 于一个被研究的随机过程, 如果前后的环境和 主要条件都不随时间的推移而变化, 则一般就 可以认为是平稳的

恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章§1 例2,例3都是平稳过程的例子.强震阶段的地 震波幅,船舶的颠簸过程,照明电网中电压的 波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上 都被认为是平稳的 与平稳过程相反的是非平稳过程.一般随机 过程处于过渡阶段时总是非平稳的例如,飞 机在平稳飞行时高度的上下波动可看作是平 稳的.但是在起飞和降落过程当然不是平稳的 当仅仅考虑过程的平稳阶段时,为了数学处理 的方便,经常将时间范围取为-∞<∞

5 恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章§1 例2,例3都是平稳过程的例子. 强震阶段的地 震波幅, 船舶的颠簸过程, 照明电网中电压的 波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上 都被认为是平稳的. 与平稳过程相反的是非平稳过程. 一般, 随机 过程处于过渡阶段时总是非平稳的. 例如, 飞 机在平稳飞行时高度的上下波动可看作是平 稳的. 但是在起飞和降落过程当然不是平稳的. 当仅仅考虑过程的平稳阶段时, 为了数学处理 的方便, 经常将时间范围取为-<t<

设平稳过程X(0的均值函数EX(O存在,对 n=1,在(1,1)式中,令h=-t,由平稳性定义,一维 随机变量X(41)和X(0)同分布.于是 E[X()=EX(0,即均值函数必为常数,记为 x同样,X(的均方值函数和方差函数亦为 常数,分别记为Yx2和a2.据此可知,平稳过程 的所有样本曲线都在水平直线x(0)=4上下波 动,平均偏离度为σx

6 设平稳过程X(t)的均值函数E[X(t)]存在, 对 n=1, 在(1,1)式中, 令h=-t, 由平稳性定义, 一维 随机变量X(t1 )和X(0)同分布. 于是 E[X(t)]=E[X(0)], 即均值函数必为常数, 记为 mX . 同样, X(t)的均方值函数和方差函数亦为 常数, 分别记为YX 2和sX 2 . 据此可知, 平稳过程 的所有样本曲线都在水平直线x(t)=mX上下波 动, 平均偏离度为sX

又若平稳过程X的自相关函数 Rxt1,2)=EX(t1)Y(1)存在,对n=2,在(1,1)中, 令h=1,由平稳性定义,二维随机变量(X(t1), X(t2)与(X(0),XK(2-t1)同分布.于是有 Rx(t12)=E|X(t1)X(t2)=EX(0)X(t2-t1) 等式右端只与时间差2-t有关,记为Rx(t2-t1), 即有 RXtut2=Rxt2-tv (12) 或R(,计)=EX(0)X(+)=R() 这表明:平稳随机过程的自相关函数仅是时 间差2-t单变量函数

7 又若平稳过程X(t)的自相关函数 RX (t1 ,t2 )=E[X(t1 )X(t2 )]存在, 对n=2, 在(1.1)中, 令h=-t1 , 由平稳性定义, 二维随机变量(X(t1 ), X(t2 ))与(X(0),X(t2-t1 ))同分布. 于是有 RX (t1 ,t2 )=E[X(t1 )X(t2 )]=E[X(0)X(t2-t1 )]. 等式右端只与时间差t2-t1有关, 记为RX (t2-t1 ), 即有 RX (t1 ,t2 )=RX (t2-t1 ) (1.2) 或 RX (t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]=RX (t). 这表明: 平稳随机过程的自相关函数仅是时 间差t2-t1=t的单变量函数

而协方差函数可以表示为 CXa=EIX(O-uxl[X(++iuxb=R(or-ux2 特别地,令z=0,由上式,有 x2=Cx(0)=Rx(0)-x2

8 而协方差函数可以表示为 CX (t)=E{[X(t)-mX ][X(t+t)-mX ]}=RX (t)-mX 2 . 特别地, 令t=0, 由上式, 有 sX 2=CX (0)=RX (0)-mX 2

如前所述,要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的 因此,通常只在二阶矩过程范围内,考虑如下 类广义平稳过程 定义给定二阶矩过程{X(),t∈仍},如果对任意 t,计v∈T E[X(=(常数, EX()X(汁+)=Rx(可), 则称{X(,t∈T}为宽平稳过程或广义平稳过程 相对地,前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程或狭义平稳过程

9 如前所述, 要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的. 因此, 通常只在二阶矩过程范围内, 考虑如下 一类广义平稳过程. 定义 给定二阶矩过程{X(t), tT}, 如果对任意 t, t+tT E[X(t)]=mX (常数), E[X(t)X(t+t)=RX (t), 则称{X(t), tT}为宽平稳过程或广义平稳过程. 相对地, 前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程或狭义平稳过程

由于宽平稳过程的定义只涉及与一维,二维分 布有关的数字特征,所以一个严平稳过程只要 二阶矩存在,则它必定也是宽平稳的但反过 来,一般是不成立的.不过有一个重要的例外 情形,即正态过程.因为正态过程的概率密度 是由均值函数和自相关函数完全确定的,因而 如果均值函数和自相关函数不随时间的推移 而变化,则概率密度也不随时间的推移而变化 由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳 的

10 由于宽平稳过程的定义只涉及与一维, 二维分 布有关的数字特征, 所以一个严平稳过程只要 二阶矩存在, 则它必定也是宽平稳的. 但反过 来,一般是不成立的. 不过有一个重要的例外 情形, 即正态过程. 因为正态过程的概率密度 是由均值函数和自相关函数完全确定的, 因而 如果均值函数和自相关函数不随时间的推移 而变化, 则概率密度也不随时间的推移而变化. 由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳 的

后面讲到平稳过程一词,除特别指明外,总是 指宽平稳过程 另外,当同时考虑两个平稳过程X()和Y时, 如果它们的互相关函数也只是时间差的单变 量函数,记为Rx(),即 Rxy(,计d)=E[X()Y(计+)=Rx(可),(1.3) 则就称X(0和Y()是平稳相关的,或称这两个 过程是联合(宽)平稳的

11 后面讲到平稳过程一词, 除特别指明外, 总是 指宽平稳过程. 另外, 当同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时, 如果它们的互相关函数也只是时间差的单变 量函数, 记为RXY(t), 即 RXY(t, t+t)=E[X(t)Y(t+t)]=RXY(t), (1.3) 则就称X(t)和Y(t)是平稳相关的, 或称这两个 过程是联合(宽)平稳的