第六章共形映射
2 第六章 共形映射
§1共形映射的概念
3 §1 共形映射的概念
平面内的任一条有向曲线C可用 z=z(1),<K≤B 表示,它的正向取为增大时点z移动的方向, z(t)为一条连续函数 如果z()≠0,∝1≤B,则表示z(的向量(把起 点放取在z0以下不一一说明)与C相切于点 20=z(0 ()
4 z平面内的任一条有向曲线C可用 z=z(t), atb 表示, 它的正向取为t增大时点z移动的方向, z(t)为一条连续函数. 如果z '(t0 )0,a<t0<b, 则表示z '(t)的向量(把起 点放取在z0 . 以下不一一说明)与C相切于点 z0 =z(t0 ). z(t0 ) z(a) z(b) z '(t0 )
事实上,如果通过C上两点P与P的割线PP的 正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示 z(+△t)-z(t0 △t 的方向相同 2(0+△)“C P 2()
5 事实上, 如果通过C上两点P0与P的割线P0P的 正向对应于t增大的方向, 则这个方向与表示 t z t t z t Δ ( Δ ) ( ) 0 + − 0 的方向相同. O x y z(t0 ) P0 P z(t0+Dt) C (z)
当点P沿C无限趋向于点P,割线PP的极限位 置就是C上P处的切线.因此,表示 z(0+△n)-z(t0) 0 △t->0 △t 的向量与C相切于点z0=2(4),且方向与C的正 向一致.如果我们规定这个向量的方向作 为C上点z处的切线的正向,则我们有 1)Argz()就是z处C的切线正向与x轴正向 间的夹角 2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的 夹角就是它们交点处切线正向间夹角
6 当点P沿C无限趋向于点P0 , 割线P0P的极限位 置就是C上P0处的切线. 因此, 表示 t z t t z t z t t Δ ( Δ ) ( ) ( ) lim 0 0 Δ 0 0 + − = → 的向量与C相切于点z0 =z(t0 ), 且方向与C的正 向一致. 如果我们规定这个向量的方向作 为C上点z0处的切线的正向, 则我们有 1) Arg z '(t0 )就是z0处C的切线正向与x轴正向 间的夹角; 2) 相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的 夹角就是它们交点处切线正向间夹角
1解析函数的导数的几何意义设函数w=f(z) 在区域D内解析,z为D内的一点,且f(z0)≠0 又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲 线,它的参数方程是 z(1),∝≤<B, 它的正向相应于参数增大的方向,且z0=2(40 z(0)≠0,∝<1B.则映射w=f(z)将C映射成w平 面内通过点z0的对应点w=(z0)的一条有向光 滑曲线,它的参数方程是 =[z()],∝≤≤B 正向相应于参数增大的方向
7 1.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f(z) 在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f '(z0 )0. 又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲 线, 它的参数方程是: z=z(t), atb, 它的正向相应于参数t增大的方向, 且z0 =z(t0 ), z '(t0 )0, a<t0<b. 则映射w=f(z)将C映射成w平 面内通过点z0的对应点w0 =f(z0 )的一条有向光 滑曲线G, 它的参数方程是 w=f[z(t)], atb 正向相应于参数t增大的方向
△sB △ O X O u 根据复合函数求导法,有 W'(to)f"(z0)z(to)≠0 因此,在P上点形处也有切线存在,且切线正 向与轴正向的夹角是 Arg w(to)=Argf(zo+Arg z'(to
8 根据复合函数求导法, 有 w '(t0 )=f '(z0 )z '(t0 )0 因此, 在G上点w0处也有切线存在, 且切线正 向与u轴正向的夹角是 Arg w '(t0 )=Arg f '(z0 )+Arg z '(t0 ) O x y O u v z0 P0 r z Ds P C (z) (w) G w0 Q0 Q w r Ds
Arg w(to)-Arg z(to)=Arg.f(zo)(6.1.1) 如果假定x轴与轴,y轴与轴的正向相同,而 且将原来的切线的正向与映射过后的切线的 正向之间的夹角理解为曲线C经过w=(2)映射 后在2处的转动角,则(6.1.1)式表明 1)导数/(z)≠0的辐角Argf(z0)是曲线C经过 W=f(z)映射后在z处的转动角; 2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向 无关.所以这种映射具有转动角的不变性
9 即 Arg w '(t0 )−Arg z '(t0 )=Arg f '(z0 ) (6.1.1) 如果假定x轴与u轴, y轴与v轴的正向相同, 而 且将原来的切线的正向与映射过后的切线的 正向之间的夹角理解为曲线C经过w=f(z)映射 后在z0处的转动角, 则(6.1.1)式表明: 1)导数f '(z0 )0的辐角Arg f '(z0 )是曲线C经过 w=f(z)映射后在z0处的转动角; 2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向 无关. 所以这种映射具有转动角的不变性
O 通过z点的可能的曲线有无限多条,其中的每 条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲 线在w点都转动了一个角度Argf(z0)
10 通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每 一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲 线在w0点都转动了一个角度Arg f '(z0 ). O x y O u (z) v (w) z0 w0
O 相交于点z的任何两条曲线C1与C2之间的夹 角,在其大小和方向上都等同于经w=(z)映射 后C1与C2对应的曲线1与/2之间的夹角,所 以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不 变的性质这种性质称为保角性
11 相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹 角, 在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射 后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角, 所 以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不 变的性质.这种性质称为保角性 O x y O u v (z) (w) z0 w0 a C1 C2 G1 G2