线性代数第14讲 次型 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录) 2021/2/20
2021/2/20 1 线性代数第14讲 二次型 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)
二次型就是二次多项式.在解析几何中讨论的 有心二次曲线,当中心与坐标原点重合时,其 般方程是 ax2+2bxy+cy2-f (1) 方程的左端就是xv的一个二次齐次多项式 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,通 基变换(坐标变换),把方程(1)化为不含xy混合 项的标准方程 a'x'z+cv (2) 在二次曲面的研究中也有类似的问题 2021/2/20
2021/2/20 2 二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的 有心二次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其 一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1) 方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于研究这个二次曲线的几何性质, 通过 基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合 项的标准方程 a'x' 2+c'y' 2=f (2) 在二次曲面的研究中也有类似的问题
6.1二次型的定义和矩阵 表示合同矩阵 2021/2/20
2021/2/20 3 6.1 二次型的定义和矩阵 表示 合同矩阵
定义1n元变量x1,x2…,xn,的二次多项式 f(x +2a12x1x2+2a1 +∴+2a +a2x2+2a23x2x3+…+2a2x2xn + a (6.1 当系数属于数域F时,称为数域F上的 n元二次型.本章讨论实数域上的n 元二次型,简称二次型 2021/2/20
2021/2/20 4 定义1 n元变量x1 ,x2 ,...,xn的二次多项式 1 2 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 2 2 (6.1) n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x = + + + + + + + + + 当系数属于数域F时, 称为数域F上的 一个n元二次型. 本章讨论实数域上的n 元二次型, 简称二次型
由于x=x,具有对称性,若令 a (6.2) 则2x二x+a产xx(×<,于是61)式可以写 成对称形式 f(x,x2…,xn)=a1x2+a12x2+…+a1xn fa +a …+aL tanIn +, t...ta ∑∑ (6.3) 5 2021/2/20
2021/2/20 5 由于xi xj =xj xi , 具有对称性, 若令 aji =aij, i<j, (6.2) 则2aijxi xj =aijxi xj+ajixi xj (i<j), 于是(6.1)式可以写 成对称形式 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , , , ) . (6.3) n n n n n n n n n nn n n n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x = = = + + + + + + + + + + + =
(6.4) [x1x2,xn].二次型(63)可以用矩阵 乘积形式简单表示为 f(x,x2…,x)=∑∑anxx1=XAX(65) 6 2021/2/20
2021/2/20 6 记 11 12 1 21 22 2 1 2 , (6.4) n n n n nn a a a a a a A a a a = 1 2 1 1 ( , , , ) (6.5) n n T n ij i j i j f x x x a x x X AX = = = = X=[x1 ,x2 ,...,xn ] T . 二次型(6.3)可以用矩阵 乘积形式简单表示为
f(x,x2,…,xn) ai ; =X Ar(6.5 把A称为二次型对应的矩阵,对于任意一个二 次型(6.1),总可以通过(6,2)使其写成对称形式 (6,3),并对应矩阵A.由(62)知,A为对称矩阵, 又若A,B为n阶对称方阵,且 f )=X'AYYBY 则必有A=B.故二次型和它的矩阵是相互唯 确定的.所以,研究二次型的性质转化为研究 A所具有的性质 7 2021/2/20
2021/2/20 7 把A称为二次型对应的矩阵, 对于任意一个二 次型(6.1), 总可以通过(6.2)使其写成对称形式 (6.3), 并对应矩阵A. 由(6.2)知, A为对称矩阵, 又若A,B为n阶对称方阵, 且 f(x1 ,x2 ,...,xn )=XTAX=XTBX, 则必有A=B. 故二次型和它的矩阵是相互唯一 确定的. 所以, 研究二次型的性质转化为研究 A所具有的性质. 1 2 1 1 ( , , , ) (6.5) n n T n ij i j i j f x x x a x x X AX = = = =
例1设 f(x,x2,x3,x)=2x2+x1x2+2x1x3+ +4x2x4+x2+512 则它的矩阵为 0 002 1010 0205 8 2021/2/20
2021/2/20 8 例1 设 2 1 2 3 4 1 1 2 1 3 2 2 2 4 3 4 ( , , , ) 2 2 4 5 f x x x x x x x x x x x x x = + + + + + + 1 2 1 0 2 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 2 0 5 A = 则它的矩阵为
个二次型YA也可看成n维向量a的一个函 数,即 fa=XAX. (66) 其中X[x1-x2,…是a在R的一组基下的坐 标向量.所以二次型XAX是向量a的n个坐标 的二次齐次函数.因此二次型作为n维向量a 的函数,它的矩阵是与一组基相联系的 9 2021/2/20
2021/2/20 9 一个二次型XTAX也可看成n维向量a的一个函 数, 即 f(a)=XTAX. (6.6) 其中X=[x1 ,x2 ,...,xn ] T是a在Rn的一组基下的坐 标向量. 所以二次型XTAX是向量a的n个坐标 的二次齐次函数. 因此二次型作为n维向量a 的函数, 它的矩阵是与一组基相联系的
如果a在两组基{e1,a2,…,Gn}和{m12,…,mn}下 的坐标向量分别为 Xx1x2…和YDv12…,yn], 又[m12,…,mn=[,2灬,n]C, 于是 ⅩCY (6.7) 如此则有二次型 fa=XAX-Y'(CTAc)? 68) 即二次型fa)在两组基{a,2,n}和 {n1,n2,n}下所对应的矩阵分别为 A和CZC 其中CC仍是对称阵,Y(CC)Y是yi2,,yn 的一个二次型 2021/2/20
2021/2/20 10 如果a在两组基{e1 ,e2 ,...,en}和{h1 ,h2 ,...,hn}下 的坐标向量分别为 X=[x1 ,x2 ,...,xn ] T和Y=[y1 ,y2 ,...,yn ] T , 又 [h1 ,h2 ,...,hn ]=[e1 ,e2 ,...,en ]C, 于是 X=CY. (6.7) 如此则有二次型 f(a)=XTAX=Y T (CTAC)Y, (6.8) 即二次型f(a)在两组基{e1 ,e2 ,...,en}和 {h1 ,h2 ,...,hn}下所对应的矩阵分别为 A 和 CTAC 其中CTAC仍是对称阵, Y T (CTAC)Y是y1 ,y2 ,...,yn 的一个二次型
