深圳大学：《线性代数和概率论》课程教学资源（PPT课件讲稿，概率论）第8讲 随机变量的相互独立性

概率论第8讲 随机变量的相互独立性 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录) 2021/2/20

2021/2/20 1 概率论第8讲 随机变量的相互独立性 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)

第五节随机变量的相互独立性 2021/2/20

2021/2/20 2 第五节 随机变量的相互独立性

设为随机变量,如果它们满足下列条 对于实轴上任意两个集合S,S2如果事 件{∈S1},{n∈S2}相互独立,那未,称n 相互独立.直观地说,,7相互独立就是 它们取值时互不牵连. 3 2021/2/20

2021/2/20 3 设x,h为随机变量, 如果它们满足下列条 件: 对于实轴上任意两个集合S1 ,S2 ,如果事 件{xS1}, {hS2}相互独立, 那末, 称x,h 相互独立. 直观地说, x,h相互独立就是 它们取值时互不牵连

由定义,若取S1,S2依次为(-∞0x)、-∞,y), 立即推得:当,相互独立时,对于任意 实数xy,事件{x},{ny}是相互独立的, 即 Pisx, yi-Pisxpinyi,(14 也就是说,对于任意实数x,y,总有 F(x,y)=F1(x)F2( (15 这里,F(x,y),F1(x),F()依次表示(n), 7的分布函数 2021/2/20

2021/2/20 4 由定义, 若取S1 ,S2依次为(-,x),(-,y), 立即推得: 当x,h相互独立时, 对于任意 实数x,y, 事件{x<x},{h<y}是相互独立的, 即 P{x<x,h<y}=P{x<x}P{h<y}, (14) 也就是说, 对于任意实数x,y, 总有 F(x,y)=F1 (x)F2 (y), (15) 这里, F(x,y),F1 (x),F2 (y)依次表示(x,h), x, h的分布函数

反之,如果对于任意的xy,都有 F(x,y)=F1(x)F2(y),那末,可以证明:2,n是 相互独立的 下面进一步讨论离散型,连续型随机变量 的相互独立的条件 5 2021/2/20

2021/2/20 5 反之, 如果对于任意的x,y, 都有 F(x,y)=F1 (x)F2 (y), 那末, 可以证明: x,h是 相互独立的. 下面进一步讨论离散型,连续型随机变量 的相互独立的条件

设二维离散型随机变量(,m)的分布密度 如下表所示 7b1 b Plj P 6 2021/2/20

2021/2/20 6 设二维离散型随机变量(x,h)的分布密度 如下表所示, x h b1 ... bj ... a1 p11 ... p1j ...   ...  ... ai pi1 ... pij ...   ... 

2,n的边缘分布密度由下二表给出 概率p。P2 P n b1 b b 概率p.p2 则2,n相互独立的充要条件是 Pi→P×XPy(i=1,2 ··· (16) 7 2021/2/20

2021/2/20 7 x,h的边缘分布密度由下二表给出 x a1 a2 ... ai ... 概率 p1• p2• ... pi• h b1 b2 ... bj ... 概率 p•1 p•2 ... p•j ... 则x,h相互独立的充要条件是 pij =pi•p•j (i,j=1,2,...) (16)

例6设(,m)的分布密度为 10 1|2 2202 220202 1 202020 424 202020 证明与,7相互独立 8 2021/2/20

2021/2/20 8 例6 设(x,h)的分布密度为 1 0 2 1 2 1 2 2 20 20 20 2 1 2 1 20 20 20 424 2 20 20 20 h x - 证明x,h相互独立

证按下表算出边缘分布密度 77 直接验算可知 2121 P;po×p 2020204 (i=1,2,3) 212 都成立,所以 2020204 相互独立 424 2020204 555 9 2021/2/20

2021/2/20 9 证 按下表算出边缘分布密度 1 0 2 1 2 1 2 1 2 20 20 20 4 2 1 2 1 1 20 20 20 4 4 2 4 2 2 20 20 20 4 2 1 2 555 h x - 直接验算可知 pij =pi•p•j (i,j=1,2,3) 都成立, 所以 x,h相互独立

设二维随机变量(4,m)的分布密度为 xy).g(x),a2()是,n的边缘分布密度 则连续型随机变量2,n相互独立的充分 必要条件为 qx2y)=1(x)Q2(y) (17) 2021/2/20

2021/2/20 10 设二维随机变量(x,h)的分布密度为 j(x,y). j1 (x),j2 (y)是x,h的边缘分布密度, 则连续型随机变量x,h相互独立的充分 必要条件为 j(x,y)=j1 (x)j2 (y) (17)