概率论第9讲 随机变量的数字特征 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录) 2021/2/20
2021/2/20 1 概率论第9讲 随机变量的数字特征 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)
第八章随机变量的数字特征 随机变量是按一定的规律(即分布)来取值 的.实用上,有时并不需要了解这个规律的 全貌,而只需要知道它的某个侧面这时, 往往可以用一个或几个数字来描述这个侧 面这种数字是按分布而定的,它部分地描 述了分布的性态称这种数字为随机变量 的数字特征.本章介绍最常用的几个数字 特征 2021/2/20
2021/2/20 2 第八章 随机变量的数字特征 随机变量是按一定的规律(即分布)来取值 的. 实用上, 有时并不需要了解这个规律的 全貌, 而只需要知道它的某个侧面. 这时, 往往可以用一个或几个数字来描述这个侧 面. 这种数字是按分布而定的, 它部分地描 述了分布的性态. 称这种数字为随机变量 的数字特征. 本章介绍最常用的几个数字 特征
第一节数学期望 3 2021/2/20
2021/2/20 3 第一节 数学期望
为了描述一组事物的大致情况,经常使 用平均值这个概念.例如,设十根钢筋的 抗拉指标依次为 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140 那末它们的平均抗拉指标为 110+120+120+125+125+125+130+130+135+140 10 =110×-+120×+125×+130×+135×+140× 10 10 10 10 10 126 2021/2/20
2021/2/20 4 为了描述一组事物的大致情况, 经常使 用平均值这个概念. 例如, 设十根钢筋的 抗拉指标依次为 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140, 那末它们的平均抗拉指标为 110 120 120 125 125 125 130 130 135 140 10 1 2 3 2 1 1 110 120 125 130 135 140 10 10 10 10 10 10 126 + + + + + + + + + = + + + + + =
110+120+120+125+125+125+130+130+135+140 10 2 2 110×-+120×+125×+130×+135×-+140× 10 10 10 10 10 126 从例子看出,所要找的平均抗拉指标并不 是这十根钢筋所取到的抗拉指标值 110,120,125,130.,135,140的简单平均,而是 进行了加权平均.即所求的平均值为诸抗 拉指标值与取这些值的比值的加权平均 5 2021/2/20
2021/2/20 5 从例子看出, 所要找的平均抗拉指标并不 是这十根钢筋所取到的抗拉指标值 110,120,125,130,135,140的简单平均, 而是 进行了加权平均. 即所求的平均值为诸抗 拉指标值与取这些值的比值的加权平均. 110 120 120 125 125 125 130 130 135 140 10 1 2 3 2 1 1 110 120 125 130 135 140 10 10 10 10 10 10 126 + + + + + + + + + = + + + + + =
对于一个随机变量ξ取的值也有同样的 问题.我们时常要问:随机变量ξ,平均取 什么值?通常就用"随机变量ξ取的各 个值,以取这些值的概率为加权数的加 权平均"来计算随机变量ξ平均取什么值 称这种平均值为随机变量ξ的数学期望 下面就离散型,连续型随机变量给出数 学期望的具体表达式 6 2021/2/20
2021/2/20 6 对于一个随机变量x取的值也有同样的 问题. 我们时常要问: 随机变量x平均取 什么值? 通常就用"随机变量x能取的各 个值, 以取这些值的概率为加权数的加 权平均"来计算随机变量x平均取什么值. 称这种平均值为随机变量x的数学期望. 下面就离散型, 连续型随机变量给出数 学期望的具体表达式
设ξ为离散型随机变量,它的分布密度是 用表格 概率P1P2 表示的,规定的数学期望E(为 E(5) P 在不致引起误会时,可以把E(2简写成 E 7 2021/2/20
2021/2/20 7 设x为离散型随机变量, 它的分布密度是 用表格 x a1 a2 ... ai ... 概率 p1 p2 ... pi ... 表示的, 规定x的数学期望E(x)为 ( ) i i i E a p x = 在不致引起误会时, 可以把E(x)简写成 Ex
E()=∑a 当可能取的值不是有限个时,等式右端 是一个无穷级数.由于平均值应该与 a1,a2,、的排列次序无关.因此要求这级数 绝对收敛所以,只有当此级数绝对收敛 时才说ξ的数学期望存在 8 2021/2/20
2021/2/20 8 当x可能取的值不是有限个时, 等式右端 是一个无穷级数. 由于平均值应该与 a1 ,a2 ,...的排列次序无关. 因此要求这级数 绝对收敛. 所以, 只有当此级数绝对收敛 时才说x的数学期望存在. ( ) i i i E a p x =
E()=∑q 当服从取值a的退化分布时,E=a;当号 服从参数为p的零壹分布时,E=p 对于的函数与的数学期望,有如下结 论 E/()=∑f(a) 其中p=P{a;}(i=1,2,),前提也是上述 级数绝对收敛 9 2021/2/20
2021/2/20 9 当x服从取值a的退化分布时, Ex=a; 当x 服从参数为p的零-壹分布时, Ex=p. 对于x的函数f(x)的数学期望, 有如下结 论: ( ) i i i E a p x = ( ) ( )i i i Ef f a p x = 其中pi =P{x=ai} (i=1,2,...), 前提也是上述 级数绝对收敛
例1设的的分布密度为 1023 概率1131求E,E2,E(22+1) 8484 解 3111 E5=(-1)+0·+2+3 4848 E2=(-1)2.+02+2。3131 48 E(-22+1)=3-+1-3-5 48 2021/2/20
2021/2/20 10 例1 设x的分布密度为 1 0 2 3 1 1 3 1 8 4 8 4 x − 概率 求Ex, Ex 2 , E(−2x+1) 解 2 2 2 2 2 1 1 3 1 11 ( 1) 0 2 3 ; 8 4 8 4 8 1 1 3 1 31 ( 1) 0 2 3 ; 8 4 8 4 8 1 1 3 1 7 ( 2 1) 3 1 3 5 ; 8 4 8 4 4 E E E x x x = − + + + = = − + + + = − + = + − − = −
