§3初等函数
2 §3 初等函数
1,指数函数希望能够在复平面内定义一个函 数(z)具有实函数中的指数函数e的三个性质: i)f(z)在复平面内解析; i)∫(z)=f(z) ⅲ)当Im(z)=0时,z)=e,其中x=Re(z) 前面的例1中已经知道,函数 f(z=e(cos y+i sin y) 是一个在复平面处处解析的函数,且有 f(z)=f(z),当y=0时,f(z)=e.fz)称为指数函数 记作expz=e(cosy+ tSIn y).(2.3.1) 等价于关系式:|expz=e, Arg(exp z)=y+2kT(2.3.2)
3 1, 指数函数 希望能够在复平面内定义一个函 数f(z)具有实函数中的指数函数e x的三个性质: i) f(z)在复平面内解析; ii) f '(z)=f(z) iii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex , 其中x=Re(z) 前面的例1中已经知道, 函数 f(z)=ex (cos y+i sin y) 是一个在复平面处处解析的函数, 且有 f '(z)=f(z), 当y=0时, f(z)=ex . f(z)称为指数函数. 记作 exp z=ex (cos y+isin y). (2.3.1) 等价于关系式: |exp z|=ex , Arg(exp z)=y+2kp (2.3.2)
由(2.32)中的第一式可知 expz≠0 跟e一样,expz也服从加法定理: exp z exp z2=exp(z1+)(2.3.3) 事实上 ,女21=x1+i 按定义有 exp z, exp z2=e"(cos y, +isn y,) Xe(cos y2 +isin y2) e1T[(cos y, cos y,-sin yi sin y2) +i(sin y, cos y2+cos y, sin y2)I =eta2 [cos(,+y2)+isin(yi +y2)I exp(z+z2)
4 由(2.3.2)中的第一式可知 exp z0. 跟e x一样, exp z也服从加法定理: exp z1•exp z2 = exp(z1+z2 ) (2.3.3) 事实上, 设z1 =x1+iy1 , z2 =x2+iy2 , 按定义有 exp( ) e [cos( ) sin( )] (sin cos cos sin )] e [(cos cos sin sin ) e (cos sin ) exp exp e (cos sin ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 z z y y i y y i y y y y y y y y y i y z z y i y x x x x x x = + = + + + + + = − + = + + +
鉴于expz满足条件ⅲ,且加法定理也成立,为 了方便,往往用e代替expz.但是必须注意,这 里的e没有幂的意义,仅仅作为代替expz的符 号使用,因此我们就有 e=e(cos y+isin y) (2.34 特别,当x=0时,有 el=cos y+isin y (23.5) 由加法定理,我们可以推出expz的周期性,它 的周期性是2ki,即 e+2kui-ee2kzi 其中为任何整数
5 鉴于exp z满足条件iii), 且加法定理也成立, 为 了方便, 往往用e z代替exp z. 但是必须注意, 这 里的e z没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的符 号使用, 因此我们就有 e z=ex (cos y+isin y) (2.3.4) 特别, 当x=0时, 有 e iy=cos y+isin y (2.3.5) 由加法定理, 我们可以推出exp z的周期性, 它 的周期性是2kpi, 即 e z+2kpi=eze 2kpi=ez 其中k为任何整数
2对数函数对数函数定义为指数函数的反函 数.将满足方程 e=z (z≠0) 的函数w=/(z)称为对数函数令w=+iv,z=re, au+Iv=re e 所以=nr,. 因此W=2+irgz 由于Argz为多值函数,所以对数函数=(2)为 多值函数,并且每两个值相差2π-整数倍,记 作 Ln z=Inz+iArg z (236)
6 2.对数函数 对数函数定义为指数函数的反函 数. 将满足方程 e w=z (z0) 的函数w=f(z)称为对数函数. 令w=u+iv, z=re iq , 则 e u+iv=re iq , 所以 u=ln r, v=q. 因此 w=ln|z|+iArg z 由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为 多值函数, 并且每两个值相差2pi的整数倍,记 作 Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)
Ln z=Inz+iarg z (236) 如果规定上式中的Argz取主值argz,则Lnz为 单值函数,记作nz,称为Lnz的主值,因此 In z=Inzltiarg z (23.7) 而其余各值可由 Lnz-ln2+2kπi(k=±1,+2,)(2.38) 表达对于每一个固定的k,(2.38)式为一单值 函数,称为Lnz的一个分支 特别,当z=x>0时,Lnz的主值lnz-lnx,就是实 变数对数函数
7 Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6) 如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z为 一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因此 ln z = ln|z|+iarg z (2.3.7) 而其余各值可由 Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) (2.3.8) 表达. 对于每一个固定的k, (2.3.8)式为一单值 函数, 称为Ln z的一个分支. 特别, 当z=x>0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实 变数对数函数
例1求Ln2,Ln(-1)以及它们相应的主值 解]因为Ln2-1n2+2kπ,所以它的主值就是 ln2.而Ln(-1)=n1+irg(-1)=(2k+1)i(k为整 数),所以它的主值是ln(-1)=πi 在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数 范围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷 多值的.因此,复变数对数函数是实变数对数 函数的拓广.利用幅角的性质不难证明: Ln(z,2)=Ln z,+Ln z2 L n -l= Ln zLn
8 例1 求Ln 2, Ln(−1)以及它们相应的主值. [解] 因为Ln 2=ln 2+2kpi, 所以它的主值就是 ln2. 而Ln(−1)=ln 1+iArg(−1)=(2k+1)pi(k为整 数), 所以它的主值是ln(−1)=pi. 在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数 范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷 多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数 函数的拓广. 利用幅角的性质不难证明: 1 2 2 1 1 2 1 2 Ln Ln Ln Ln( ) Ln Ln z z z z z z z z = − = +
对数函数的解析性就主值lz而言,其中lnz 除原点外在其它点都是连续的,而argz在原点 与负实轴上都不连续因为若设z=xy,则当 0 y→ y->0 所以,除去原点与负实轴,在复平面内其它点 lnz处处连续.综上所述,z=e在区域 丌<argx<π内的反函数w=hnz是单值的,由 反函数求导法则可知:dhz11 d de d
9 对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z| 除原点外在其它点都是连续的, 而arg z在原点 与负实轴上都不连续. 因为若设z=x+iy, 则当 z<0时, lim arg , lim arg π . 0 0 = − = → − → + z z y y p z w z z w 1 d de 1 d d ln = = 所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点 ln z处处连续. 综上所述, z=ew在区域 −p<v=arg z<p内的反函数w=ln z是单值的, 由 反函数求导法则可知:
所以,血nz在除去原点及负实轴的平面内解析 由(2.3.8)式就可知道,Lnz的各个分支在除去 原点及负实轴的平面内也解析,并且有相同的 导数值 今后我们应用对数函数Lnz时,指的都是它在 除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支
10 所以, ln z在除去原点及负实轴的平面内解析. 由(2.3.8)式就可知道, Ln z的各个分支在除去 原点及负实轴的平面内也解析, 并且有相同的 导数值. 今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在 除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支
3.乘幂ab与幂函数在高等数学中,如果a为正 数,b为实数,则乘幂ab可表示为ab=ehm,现在 将它推广到复数的情形.设a为不等于0的一个 复数,b为任意一个复数,定义乘幂ab为ebm, 6-ebLn a (2.39) 由于Lna=lna+i(arga+2kπ)是多值的,因而ab 也是多值的.当b为整数时,由于 bLna-eblInlalti(arg a+2kT) eb(nlatiarg a)+2kbii-eblna 所以这时ab具有单一的值
11 3. 乘幂a b与幂函数 在高等数学中, 如果a为正 数, b为实数, 则乘幂a b可表示为a b=eblna , 现在 将它推广到复数的情形. 设a为不等于0的一个 复数, b为任意一个复数, 定义乘幂a b为e bLna , 即 a b=ebLn a (2.3.9) 由于Ln a=ln|a|+i(arg a+2kp)是多值的, 因而a b 也是多值的. 当b为整数时, 由于 a b=ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kp)] =eb(ln|a|+iarg a)+2kbpi=eblna , 所以这时a b具有单一的值