第七章参数估计 §1点估计
2 第七章 参数估计 §1 点估计
统计推断问题可以分为两大类,一类是估计问 题,一类是假设检验问题本章讨论总体参数 的点估计和区间估计 设总体X的分布函数的形式为已知,但它的 个或多个参数为未知,借助于总体X的的一个 样本来估计总体未知参数的值的问题称为参 数的点估计问题
3 统计推断问题可以分为两大类, 一类是估计问 题, 一类是假设检验问题. 本章讨论总体参数 的点估计和区间估计. 设总体X的分布函数的形式为已知, 但它的一 个或多个参数为未知, 借助于总体X的的一个 样本来估计总体未知参数的值的问题称为参 数的点估计问题
例1在某炸药厂,一天中发生着火现象的次数 X是一个随机变量,假设它服从以心>0为参数 的泊松分布,参数为未知,现有以下样本值, 试估计参数 着火次数 0123456 发生k次着火的天数;75905422621250
4 例1 在某炸药厂, 一天中发生着火现象的次数 X是一个随机变量, 假设它服从以l>0为参数 的泊松分布, 参数l为未知, 现有以下样本值, 试估计参数l. 75 90 54 22 6 2 1 250 0 1 2 3 4 5 6 k nk k 发 生 次着火的天数 着火次数
解由于X~m(4),故有4=E(X,我们自然想到用 样本均值来估计总体的均值E(X)现由已知数 据计算得到 6 k 2510×75+1×90+2×54 6 =0 +3×22+4×6+5×2+6×1=1.22 得到E(X=的估计为12
5 解 由于X~p(l), 故有l=E(X). 我们自然想到用 样本均值来估计总体的均值E(X). 现由已知数 据计算得到 3 22 4 6 5 2 6 1] 1.22 [0 75 1 90 2 54 250 1 6 0 6 0 + + + + = = = + + + = = k k k k n kn x 得到E(X)=l的估计为1.22
点估计的一般提法为:设总体X的分布函数 F(x;的形式为已知,是待估参数 X1,X2…Xn是X的一个样本,x1x2…x是相应 的一个样本值.点估计问题就是要构造一个 适当的统计量(X1,X2,…,Xn)用它的观察值 0(x1,x2,…,xn)堆作为未知参数的近似值我们 称0(X1,X2,…,Xn为硝估计量称 0(x1,x2,…,x)为e估计值在不混淆的情况 下统称估计量和估计估计,并都记为6
6 点估计的一般提法为: 设总体X的分布函数 F(x;q)的形式为已知, q是待估参数. X1 ,X2 ,...,Xn是X的一个样本, x1 ,x2 ,...,xn是相应 的一个样本值. 点估计问题就是要构造一个 q q q q q q q q ˆ , ( , , , ) . ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) . ˆ ( , , , ), ˆ 1 2 1 2 1 2 1 2 下统称估计量和估计值为估 计 并都记为 为 的估计值在不混淆的情况 称 为 的估计量 称 作为未知参数 的近似值 我 们 适当的统计量 用它的观察值 n n n n x x x X X X x x x X X X
两种常用的构造估计量的方法: 矩估计法 最大似然估计法
7 两种常用的构造估计量的方法: 矩估计法 最大似然估计法
)矩估计法设X为连续型随机变量,其概率 密度为x;1,B2,…,),或X为离散型随机变量, 其分布律为P{X=x}=p(x;月,B2,),其中 G1,B2,,Q为待估参数,X1X2X是来自X的 样本.假设总体X的前k阶矩 H=E(X)=xf(x;01,02…,O)dx(X连续型 或H=E(X)=∑xp(x;01,02,…,0)(X离散型 x∈R l=1,2,…,k 其中RX是x的可能取值的范围)存在,一般来 说,它们是的61,2,,函数
8 (一)矩估计法 设X为连续型随机变量, 其概率 密度为f(x;q1 ,q2 ,...,qk ), 或X为离散型随机变量, 其分布律为P{X=x}=p(x;q1 ,q2 ,...,qk ), 其中 q1 ,q2 ,...,q k为待估参数, X1 ,X2 ,...,Xn是来自X的 样本. 假设总体X的前k阶矩 l k E X x p x X E X x f x x X RX x k l l l k l l l 1,2, , ( ) ( ; , , , )( ) ( ) ( ; , , , )d ( ) 1 2 1 2 = = = = = − 或 离散型 连续型 q q q q q q (其中RX是x的可能取值的范围)存在, 一般来 说, 它们是的q1 ,q2 ,...,qk函数
因为样本矩1 依概率收敛于相应的总体矩A以=1,2,…,k),样 本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数因此就用样本矩作为相应的总体 矩的估计量.这种估计方法称为矩估计法
9 因为样本矩 = = n i l l Xi n A 1 1 依概率收敛于相应的总体矩l (l=1,2,...,k), 样 本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数. 因此就用样本矩作为相应的总体 矩的估计量. 这种估计方法称为矩估计法
矩估计法的具体做法为:设 1=1(61,62,…,6k 2=2(01,62,…,6k, k=Hk(61,2,…6) 程组一般可从中解出1,得到联立方 这是一个包含k个未知参数G1,B2,的联 61=61(1,2,…,Hk), 62=62(1,2…:,Hk) 6k=61(1,2,…,Hk)
10 矩估计法的具体做法为:设 = = = ( , , , ). ( , , , ), ( , , , ), 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k k k k q q q q q q q q q = = = ( , , , ). ( , , , ), ( , , , ), 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k k k k q q q q q q 这是一个包含k个未知参数q1 ,q2 ,...,qk的联立方 程组. 一般可从中解出q1 ,q2 ,...,qk , 得到
61=B1(1,42,…,Pk 62=62(1,2…,Pk) k=61(1,2,…,Hk) 以4分别代替上式中的12i=1,y,k,就以 6=6(A1,42,…,Ak 分别作为ai1,2,…,的估计量,这种估计量 称为矩估计量矩估计量的观察值称为矩估计 值
11 以Ai分别代替上式中的i , i=1,2,...,k, 就以 A A A i k i i k ( , , , ), 1,2, , ˆ q =q 1 2 = 分别作为qi , i=1,2,...,k的估计量, 这种估计量 称为矩估计量. 矩估计量的观察值称为矩估计 值. = = = ( , , , ). ( , , , ), ( , , , ), 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k k k k q q q q q q
