第五章大数定律及中心极限定理
2 第五章 大数定律及中心极限定理
s1大数定律
3 §1 大数定律
在第一章提到过事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增加,事件发生的频率逐渐 稳定于某个常数在实践中人们还认识到大量 测量值的算术平均值也具有稳定性.这种稳定 性就是本节要讨论的大数定律的客观背景
4 在第一章提到过事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐 稳定于某个常数. 在实践中人们还认识到大量 测量值的算术平均值也具有稳定性. 这种稳定 性就是本节要讨论的大数定律的客观背景
定理一(契比雪夫定理的特殊情况)设随机变 量X1,X2,…,Xm,相互独立,且具有相同的数学 期望和方差:B(X)=D(X=a2(k=1,2,),作 前n个随机变量的算术平均 9 则对于任意正数E有 =1 lim Pix-uk8f n→0 n =imP∑Xk-<E}=1.(11) n→0 k=1
5 定理一(契比雪夫定理的特殊情况) 设随机变 量X1 ,X2 ,...,Xn ,...相互独立, 且具有相同的数学 期望和方差: E(Xk )=m, D(Xk )=s2 (k=1,2,...), 作 前n个随机变量的算术平均 , 1 1 = = n k Xk n X 1. (1.1) 1 lim lim {| | } 1 = = − − = → → m m n k k n n X n P P X 则对于任意正数, 有
证由于 E X k E(X)==nH={, k=1 =1 P\nk X 2 D(XN) n 由契比雪夫不等式可得 P Xk-1<E}≥1 =1 3
6 证 由于 , 1 ( ) 1 1 , 1 ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 n n n D X n X n D n n E X n X n E n k k n k k n k k n k k s s m m = = = = = = = = = = 2 2 1 / 1 1 s m n X n P n k k − − = 由契比雪夫不等式可得
o/n P Xk-1<E}≥1 在上式中令n-)∞,并注意到概率不能大于1, 即得 lim p ∑X-|<E n→)o =1
7 在上式中令n→, 并注意到概率不能大于1, 即得 1. 1 lim 1 = − = → m n k k n X n P 2 2 1 / 1 1 s m n X n P n k k − − =
lim p Xk-u<8f=1. n→0 =1 定理一表明当n很大时,随机变量X,X2,…,Xn 的算术平均值ⅹ X接近于数学期望 =1 E(X1)=E(X2)=.E(Xn)=L这种接近是概率意 义下的接近通俗地说,在定理的条件下,n 随机变量的算术平均,当n无限增加时将几乎 变成一个常数
8 E(X1 )=E(X2 )=...=E(Xn )=m. 这种接近是概率意 义下的接近. 通俗地说, 在定理的条件下, n个 随机变量的算术平均, 当n无限增加时将几乎 变成一个常数. 的算术平均值 接近于数学期望 定理一表明当 很大时 随机变量 = = → = = − n k k n n k k n X n X n X X X X n P 1 1 2 1 1 , , , , , 1. 1 lim m
设Y,Y2,Yn是一个随机变量序列,a是一个 常数若对于任意正数,有 lim Pin -aka=1, n→0 则称序列Y1,Y2,…,Y依概率收敛于a记为 P →
9 设Y1 ,Y2 ,...,Yn ,...是一个随机变量序列, a是一个 常数. 若对于任意正数, 有 lim {| − | } = 1, → P Y a n n Y a. P n ⎯→ 则称序列Y1 ,Y2 ,...,Yn ,...依概率收敛于a. 记为
依概率收敛的序列还有以下性质 设Xna,Yn>b,又设函数g(x,y)在点 (a,b)连续,则 X,,Y)-1>g(a,b 证,由g(xy)在(a,b)的连续性可知,任给≥>0,必 存在&0,使当a+yb<时lg(xy)-g(an,b)<E, 于是 {g(Xn21n)-g(a,b)6∈{Xn+Ynb≥8 c{Xna≥2}{Yn-b≥2}
10 依概率收敛的序列还有以下性质. ( , ) ( , ). ( , ) , , , ( , ) g X Y g a b a b X a Y b g x y P n n P n P n ⎯→ ⎯→ ⎯→ 连 续 则 设 又设函数 在 点 证, 由g(x,y)在(a,b)的连续性可知, 任给>0, 必 存在d>0, 使当|x−a|+|y−b|<d时|g(x,y)−g(a,b)|<, 于是 {|g(Xn ,Yn )−g(a,b)|}{|Xn−a|+|Yn−b|d} {|Xn−a|d/2}{|Yn−b|d/2}
{g(Xm2Yn)-g(a,b)e∈{Xna+Ynb≥8 因此c{Xna28Jnb82, P{g(Xn2Yn)-g(a2b)≥≤ P{|Xna282}+P{Ynb≥2} >0,当n→ 亦即 lim Pig(n,n-g(a,b)K8=1 n→o
11 lim {| ( , ) − ( , )| } = 1. → P g X Y g a b n n n {|g(Xn ,Yn )−g(a,b)|}{|Xn−a|+|Yn−b|d} {|Xn−a|d/2}{|Yn−b|d/2}, 因此 P{|g(Xn ,Yn )−g(a,b)|} P{|Xn−a|d/2}+P{|Yn−b|d/2} →0, 当n→ 亦即