北京交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布（3.5）多维随机变量函数的分布

第三章随机变量及其分布 和的分布 §5多维随机变量函数的分布 例1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y 0 2 30012 4_000 12 1 令:Z=X+Y,试求随机变量Z的分布律 ]返回主目录

一．和的分布 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 例 1 Y X 1 2 3 4 1 4 1 0 0 0 2 8 1 8 1 0 0 3 12 1 12 1 12 1 0 4 16 1 16 1 16 1 16 1 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律为 令：Z = X +Y，试求随机变量Z的分布律． 返回主目录

第三章随机变量及其分布 例1(续) §5多维随机变量函数的分布 解 由于X与Y的取值都是1,2,3,4, 可知随机变量Z=X+Y的取值为2,3,4,5,6,7,8 P1z=2}=P1X=1,Y 4 P{z=3}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,y=1}=0+= 88 P1Z=4 P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=2}+P{X=3,y=1} 0+-+ 81224 ]返回主目录

例 1（续） 解： 可知随机变量Z = X +Y的取值为2，3， 4，5， 6， 7，8． 由于X 与Y的取值都是1， 2，3， 4， PZ = 2= PX =1，Y =1 ； 4 1 = PZ = 3= PX =1，Y = 2+ PX = 2，Y =1 ； 8 1 8 1 = 0 + = PZ = 4 = PX =1，Y = 3+ PX = 2，Y = 2+ PX = 3，Y =1 ； 24 5 12 1 8 1 = 0 + + = 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 返回主目录

第三章随机变量及其分布 例1(续) §5多维随机变量函数的分布 P1Z=5 =PX=1,Y=4}+P1X=2,Y=3 +PX=3,Y=2}+PX=4,Y =0+0+—+ 121648 P1Z=6 =P{X=2,Y=4}P{X=3,Y=3}+P{X=4,Y=2} =0+—+ 121648 P{z=7}=P{X=3,Y=4}+P{X=4,Y=3}=0+= 1616 ]返回主目录

例 1（续） PZ = 7 = PX = 3，Y = 4+ PX = 4，Y = 3 ； 16 1 16 1 = 0 + = PZ = 6 = PX = 2，Y = 4+ PX = 3，Y = 3+ PX = 4，Y = 2 ； 48 7 16 1 12 1 = 0 + + = PZ = 5      3 2  4 1 1 4 2 3 + = = + = = = = = + = = P X Y P X Y P X Y P X Y ， ， ， ， ； 48 7 16 1 12 1 = 0 + 0 + + = 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 返回主目录

第三章随机变量及其分布 例1(续) §5多维随机变量函数的分布 P{z=8}=P{X=4,y=4} 16 由此得Z=X+Y的分布律为 Z2345678 57711 482448481616 ]返回主目录

例 1（续） 由此得Z = X +Y的分布律为 PZ = 8 = PX = 4，Y = 4 ． 16 1 = Z 2 3 4 5 6 7 8 P 4 1 8 1 24 5 48 7 48 7 16 1 16 1 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 返回主目录

第三章随机变量及其分布 例2 §5多维随机变量函数的分布 设随机变量X与Y相互独立,且分别服从参数为 1与2的 Poisson分布,令Z=X+Y,试求随 机变量Z的分布律, 解: 由随机变量X与Y的取值都是0,1,2,…, 可知随机变量Z=X+Y的取值也是0,1,2,……, 而且, P(Z=n)=P(X+Y=n)=PUCX=k, Y=n-k k=0 ]返回主目录

例 2 机变量 的分布律． 与 的 分布，令 ，试求随 设随机变量 与 相互独立，且分别服从参数为 Z Z X Y X Y  1  2 Poisson = + 解：由随机变量X 与Y的取值都是0，1， 2，， 可知随机变量Z = X +Y的取值也是0，1， 2，， 而且， PZ = n= PX +Y = n 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 返回主目录 ( )       = = = − =  n k P X k Y n k 0

第三章随机变量及其分布 例2(续) §5多维随机变量函数的分布 ∑ PIX=k, Y=n-k ∑P{X=k}P{Y=n-k}随机变量X与Y的独立性) ∑ e 2 k=0 k! (n-k) =e(11+22) λ}·λ k!(n-k)! n2 e(2+2) k 1· n! k=ok!(n-k) ]返回主目录

例 2（续）    = = = = − n k P X k Y n k 0 ， (随机变量X 与Y的独立性) ( ) = − − − − =  n k k n k e n k e 0 k 1 1 2 2 ! !          = = = = − n k P X k P Y n k 0 ( ) = ( ) − + −  − = n k k n k k n k e 0 1 2 ! ! 1 1 2     ( ) ( ) = − − +  − = n k k n k k n k n n e 0 1 2 ! ! ! ! 1 2     第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 返回主目录

第三章随机变量及其分布 例2(续) §5多维随机变量函数的分布 11+元 e (A1+22) CK·4;·元 k 1+ ! 即 PlZ=nj (4+22)(x+2) n=0,1,2 由 Poisson分布的定义,知Z=X+Y服从参数为 1+2的 Poisson分布 ]返回主目录

例 2（续） ( ) = − − + =   n k k k n k Cn n e 0 1 2 ! 1 2     ( ) ( ) n n e 1 2 ! 1 2     = + − + 即，  ( ) ( ) 1 2 !  1 +  2 −  + = = e n P Z n n (n = 0，1， 2， ) 的 分布． 由 分布的定义，知 服从参数为 Poisson Poisson  1 +  2 Z = X +Y 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 返回主目录

第三章随机变量及其分布 连续型随机变量和的分布 §5多维随机变量函数的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量,其联合密度函 数为f(x,y), Z=X+Y 下面计算随机变量Z=X+Y的密度函数f(=) 首先计算随机变量Z=X+Y的分布函数F2(=) F()=P{z≤}=P{X+Y≤z} 5(,yydxdy x+y≤z ]返回主目录

连续型随机变量和的分布 ( ) 数为 ( ， )， 设 ， 是二维连续型随机变量，其联合密度函 f x y X Y 令： Z = X +Y， 下面计算随机变量Z = X +Y的密度函数 f Z (z)． 首先计算随机变量Z = X +Y的分布函数FZ (z)． FZ (z) = PZ  z = PX +Y  z ( )  +  = x y z f x， y dxdy 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 返回主目录

第三章随机变量及其分布 连续型随机变量和的分布 §5多维随机变量函数的分布 ∫a∫f(x,y1 作变换:y=l-x 则有 ()=4f(x,=x)m ∫dyJf(x,-x)h ]返回主目录

连续型随机变量和的分布 ( )   − − + − = z x dx f x， y dy x y O 作变换：y = u − x 则有( ) ( )   − + − = − z FZ z dx f x， u x du ( )   + − − = du f x u − x dx z ， 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 返回主目录

第三章随机变量及其分布 连续型随机变量和的分布 §5多维随机变量函数的分布 注意里层的积分是u的函数: +0O g()=∫f(,x-xk 即有F2(=)=|g(n)ht 由分布函数与密度函数之间的关系,上式对z求 导,可得Z=X+Y的密度函数为 ()=F()==s() dz ]返回主目录

连续型随机变量和的分布 注意里层的积分是u的函数： ( ) ( )  − = z 即有 FZ z g u du ( ) ( )  + − g u = f x， u − x dx 导，可得 的密度函数为 由分布函数与密度函数之间的关系，上式对 求 Z X Y z = + f (z) F (z) Z Z =  ( )         =  − z g u du dz d = g(z) 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 返回主目录