第一章函数 第一节函数及其性质 思考题: 1.确定一个函数需要有哪几个基本要素? 答:需要两个基本要素,分别为对应规则和函数的定义域 2.思考函数的几种特性的几何意义 答:①有界性反映了函数图像是否在平行于x轴的两条直线之间 ②单调性反映了函数图像沿x轴正方向的升降 ③奇偶性反映了函数图像的对称性: 奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称 ④周期性反映了函数图像是否重复出现 3直接函数y=f(x)其直接反函数为x=0(y),其矫形反函数为y=f-(x)=g(x) (1)x=0(y)与y=(x)是否为同一函数? (2)y=f(x),x=q(y),y=f-(x)在同一坐标系中的几何表现是什么? 答:(1)是同一函数;(2)y=f(x)与x=(y)在同一坐标系中的图像相同, y=f(x)与y=f(x)在同一坐标系中的图像关于直线y=x对称 习作题: 1设自变量x∈2,34},判断下列数学结构哪些是函数?哪些不是函数?为什么? 1234 (1)f:↓↓↓↓ 021-1 答:是,因为对任意x∈{1,2,3,4}按规则∫有惟一的y与之对应 (2) l111 答:是,因为对任意x∈{1,2,3,4}按规则φ有惟一的y与之对应 12341 (3)y:↓↓↓↓↓ 23014
第一章 函数 第一节 函数及其性质 思考题： 1. 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ 答：需要两个基本要素，分别为对应规则和函数的定义域. 2. 思考函数的几种特性的几何意义. 答：①有界性反映了函数图像是否在平行于 x 轴的两条直线之间. ②单调性反映了函数图像沿 x 轴正方向的升降. ③奇偶性反映了函数图像的对称性： 奇函数图像关于原点对称; 偶函数图像关于 y 轴对称. ④周期性反映了函数图像是否重复出现. 3.直接函数 y = f (x),其直接反函数为 x =( y),其矫形反函数为 y = ( ) ( ) 1 f x = x − . （1） x =( y) 与 y = (x) 是否为同一函数？ （2） ( ), ( ), ( ) 1 y f x x y y f x − = = = 在同一坐标系中的几何表现是什么？ 答：(1) 是同一函数; (2) y = f (x) 与 x = ( y) 在同一坐标 系中的图像 相同， ( ) ( ) 1 y f x y f x − = 与 = 在同一坐标系中的图像关于直线 y = x 对称. 习作题： 1.设自变量 x 1,2,3,4 ，判断下列数学结构哪些是函数？哪些不是函数？为什么？ （1） 0 2 1 1 1 2 3 4 : − f ； 答：是，因为对任意 x {1，2，3，4}按规则 f 有惟一的 y 与之对应. （2） 1 1 1 1 1 2 3 4 : ； 答：是，因为对任意 x {1，2，3，4}按规则 有惟一的 y 与之对应. （3） 2 3 0 1 4 1 2 3 4 1 y : ；
答:不是因为对x=1∈{1,2,3,4}有y=2与y=4两个值与之对应 (4)h 123 答:不是因为对x=4∈{1,2,3,4}没有y值与之对应 2.一位旅客住在旅馆里,图1-5描述了他的一次行动,请你根据图形给纵坐标赋予某 个物理量后,再叙述他的这次行动你能给图1-5标上具体的数值,精确描述这位旅客的 这次行动并用一个函数解析式表达出来吗? 答:设纵坐标y为离开旅馆的距离,时间为t,则图1—5可描述为:此旅客离开旅馆 出外办事,一件事办完后,又回到旅馆,休息一段时间然后再离开旅馆 标明具体数据如下图所示,设距离y的单位为 km,时间t的单位为h,则这位旅客的这次行动可描 述为:他以2km/h的速度出外办事行走h到达办事 处,到达办事处,用1h办完一件事,以同样的速度 回到旅馆休息1h,又以同样的速度离开旅馆. 行动用函数解析式表达如下 21,0≤t≤1, 2,14 第二节初等函数 思考题: 任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数?你是否可以用例子说明? 答:不是例如:y=lna与l=-|x|两个函数就不可以复合成一个复合函数
答：不是.因为对 x = 1 {1，2，3，4}有 y = 2 与 y = 4 两个值与之对应. （4） 1 2 3 1 2 3 4 h : . 答：不是.因为对 x = 4 {1，2，3，4}没有 y 值与之对应. 2. 一位旅客住在旅馆里，图 1—5 描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某 一个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图 1—5 标上具体的数值，精确描述这位旅客的 这次行动并用一个函数解析式表达出来吗？ 答：设纵坐标 y 为离开旅馆的距离，时间为 t ，则图 1—5 可描述为：此旅客离开旅馆 出外办事，一件事办完后，又回到旅馆，休息一段时间然后再离开旅馆. 标明具体数据如下图所示，设距离 y 的单位为 km，时间 t 的单位为 h，则这位旅客的这次行动可描 述为：他以 2 km/h 的速度出外办事行走 1h 到达办事 处，到达办事处，用 1h 办完一件事，以同样的速度 回到旅馆休息 1h，又以同样的速度离开旅馆. 行动用函数解析式表达如下： − − + = 2 8, 4. 0, 3 4, 2 6, 2 3, 2, 1 2, 2 , 0 1, t t t t t t t t y 第二节 初等函数 思考题： 任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？ 答：不是.例如： y = ln u 与 u = − | x | 两个函数就不可以复合成一个复合函数. 0 1 2 3 4 x y 2 0 时间 图 1—5
习作题 1.设f(x)的定义域为(0,1),求∫(tanx)的定义域 解:令u=tanx,则f(a)的定义域为u∈(O,1) anx∈(0,1), f(tanx)的定义域为x∈(k兀,k丌+ )k∈Z 2.设f(x)=,,求/f(x),f{f(x) 解:f[f(x) (x≠1,0) f(x) fUT(x)I ∫[∫(x、1=x(x≠0.1)
习作题: 1. 设 f (x) 的定义域为 (0,1) ，求 f (tan x) 的定义域. 解：令 u = tan x , 则 f (u) 的定义域为 u (0,1) tan x (0,1) , x （k , k + 4 ）, k Z , f (tan x) 的定义域为 x （k , k + 4 ）, k Z . 2. 设 f (x) = 1− x 1 ，求 f [ f (x)]， f f [ f (x)]. 解： f [ f (x)] = 1 ( ) 1 − f x = − x − 1 1 1 1 = x 1 1− ( x 1,0), f f [ f (x)]= 1 [ ( )] 1 − f f x = ) 1 1 (1 1 x − − = x ( x 0,1)