第五章不定积分 第一节不定积分的概念及性质 思考题: 1.在不定积分的性质∫kf(x)dx=k∫f(x)dx中,为何要求k≠0? 答:因为k=0时,kf(x)dx=Jdx=C(任意常数),而不是0 2.思考下列问题 (1)若∫f(x)dx=2+snx+C,则f(x)为何? B: f(x)=(f(x)dx)=2 In 2+cosx (2)若f(x)的一个原函数为x3,问f(x)为何? 答:f(x)=(x3)=3x2 (3)若f(x)的一个原函数的cOsx,则∫f(x)d为何? f(x)=(cos x) x, I' (x)dx=f(x)+C=-sin x+C 习作题: 已知曲线y=f(x)过点(0,0)且在点(x,y)处的切线斜率为k=3x2+1,求该 曲线方程 解:依题意,y=k=3x2+1,故y=J(3x2+1dx=x3+x+C,又y(0)=0,故 C=0,从而曲线方程为y=x3+x 2.计算下列不定积分 (1)∫xdx,(2)∫2dx,(3)jedx,(4) S(cos x-snx)dr (5)J12dx,6)J,d,(7)e+xdx,(8)j 解:(1)∫x5dx 1+5 (2)∫2dx=2+C In (3)∫ e+ dx=e∫edx=eex+C=e++C (4)J(cos x-sin x)dx=fcos xdx+(sin x)dx=sin x+cosx+C
第五章 不定积分 第一节 不定积分的概念及性质 思考题： 1. 在不定积分的性质 kf(x)dx = k f (x)dx 中，为何要求 k 0 ？ 答：因为 k = 0 时， kf(x)dx = 0dx = C （任意常数），而不是 0. 2. 思考下列问题： (1) 若 f x x x C x ( )d = 2 + sin + ，则 f (x) 为何？ 答： f x f x x x x ( ) = ( ( )d ) = 2 ln 2 + cos . (2) 若 f (x) 的一个原函数为 3 x ，问 f (x) 为何？ 答： 3 2 f (x) = (x ) = 3x (3)若 f (x) 的一个原函数的 cos x ，则 f (x)dx 为何？ 答： f (x) = (cos x) = −sin x, f (x)dx = f (x) +C = −sin x +C . 习作题： 1. 已知曲线 y = f (x) 过点（0，0）且在点（ x, y ）处的切线斜率为 3 1 2 k = x + ，求该 曲线方程. 解：依题意， 3 1 2 y = k = x + ，故 y = x + x = x + x +C 2 3 (3 1)d ，又 y(0) = 0 ，故 C = 0 ，从而曲线方程为 y = x + x 3 . 2. 计算下列不定积分： （1） x dx 5 , （2） x x 2 d , （3） e x x d +1 , （4） (cos x − sin x)dx , （5） x x d 1 2 2 + ,（6） x x d 1 2 2 − − ,（7） e x x x ( )d 3 + ,（8） x x x )d cos 1 sin 1 ( 2 2 + . 解：（1） C x C x x x + = + + = + 1 5 6 d 1 5 6 5 . （2） x C x x = + ln 2 2 2 d . （3） x x C C x x x x = = + = + +1 +1 e d e e d ee e . （4） (cos x − sin x)dx = cos xdx + (−sin x)dx = sin x + cos x +C
(5) =2 arctan+O ∫2dx=(2)n=2 +c (8) )dx=csc2 xdx+ sec2 xdx=-cot x+tan x+C COS 第二节不定积分的积分方法 思考题: 1.第一换元法(即凑微分法)与第二换元法的区别是什么? 答:第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同,前者将被积函数 (x)lq(x)中的中间变量φ(x)作为新的积分变量,而后者将原积分变量x替换成函数 q(1),以t作为新的积分变量 2.应用分部积分公式Jdy=-Jd的关键是什么?对于积分∫f(x)g(x)dx,一般 应按什么样的规律设和dv? 答:应用分部积分公式的关键是恰当的选择和dv,对于积分∫f(x)g(x)dx,一般应 按如下的规律去设和dv (1)由dv易求得v;(2)Jwdu应比zdv容易积出 3.第二换元法有何规律可寻? 答:一般地,若被积函数中含有√x2±a2或√a2-x2,则可利用三角函数的平方关 系化原积分为三角函数的积分:若被积函数中含有《ax+b,则可令ax+b=t,将原积 分化为有理函数的积分 习作题 1.计算下列积分: (1)Jsin xd(sin x (2)∫cos3xd (3)(
（5） x x C x x x = + + = + d 2arctan 1 1 d 2 1 2 2 2 . （6） x x C x x x = − + − = − − − d 2arcsin 1 1 d ( 2) 1 2 2 2 . （7） C x C x x x x x x x x x x + = + + + + = + = + + 3 4 3 1 1 3 1 3 4 3 e 3 1 1 (e )d e d d e . （8） x x x x x x x C x x + = + = − + + )d csc d sec d cot tan cos 1 sin 1 ( 2 2 2 2 . 第二节 不定积分的积分方法 思考题： 1. 第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？ 答：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将被积函数 f [(x)](x) 中的中间变量 (x) 作为新的积分变量，而后者将原积分变量 x 替换成函数 (t) ，以 t 作为新的积分变量. 2. 应用分部积分公式 udv = uv − vdu 的关键是什么？对于积分 f (x)g(x)dx ，一般 应按什么样的规律设 u 和 dv ？ 答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择 u 和 dv ，对于积分 f (x)g(x)dx ，一般应 按如下的规律去设 u 和 dv： （1）由 dv 易求得 v ；（2） vdu 应比 udv 容易积出. 3. 第二换元法有何规律可寻？ 答: 一般地，若被积函数中含有 2 2 x a 或 2 2 a − x ，则可利用三角函数的平方关 系化原积分为三角函数的积分；若被积函数中含有 n ax + b ，则可令 n ax + b =t ，将原积 分化为有理函数的积分. 习作题 1. 计算下列积分： （1） sin d(sin ) 5 x x , （2） cos xdx 3 , （3） + x x x x )d sin (
(7) (8)(2x+3)dx,(9) arcsin√1-x (10) dx,(11) (12) (1+x2) 解:(1) d(sin x) C 6 2)∫cos3xdx= )d(sin x) +c (3)J(x+ x-2cos√x+C ∫xe'dx= Jed(x)=ex+c (5 ∫(1-x2)2d(1 C I d x2+c xdr=[ n2 ∫h2xd(h2x)=h2x+ d(arcsin x)=h arcsin x +C arcsin x d(arctan x)=In arctan x +C (+x)arctan x arctan x
（4） xe x x d 2 , （5） − 2 1 d x x x , （6） − 4 1 d x x x , （7） x x x d ln 2 , （8） (2x 3) dx 2 + , （9） − dx x x 2 1 1 arcsin 1 , （10） + x x x d (1 ) arctan 1 2 , （11） + 2 2 d x x , （12） − 2 4 d x x . 解：（1） C x x x = + 6 sin sin d(sin ) 6 5 . （2） cos x dx (1 sin x)cos x dx 3 2 = − = (1 sin )d(sin ) 2 − x x = d(sin ) sin d(sin ) 2 x − x x = C x x − + 3 sin sin 3 . （3） x x x x x x x x )d d 2 sin d sin ( + = + = x C x − 2cos + 2 2 . （4） x x x C x x x = = + 2 2 2 e 2 1 e d( ) 2 1 e d 2 . （5） x x x x C x x = − − − = − − + − − 2 2 2 1 2 2 (1 ) d(1 ) 1 2 1 d 1 . （6） x C x x x x x = + − = − 2 2 2 2 4 arcsin 2 1 1 ( ) d( ) 2 1 1 d . （7） x x x x C x x x x x = = = + ln 2 2 1 d(2 ) ln 2 d(ln 2 ) 2 ln 2 d ln 2 2 . （8） x + x = x + x + = x + + C 2 2 3 (2 3) 6 1 (2 3) d(2 3) 2 1 (2 3) d . （9） x x C x x x x = = + − d(arcsin ) ln | arcsin | arcsin 1 d 1 1 arcsin 1 2 . （10） x x C x x x x = = + + d(arctan ) ln | arctan | arctan 1 d (1 ) arctan 1 2
(11) d(=) 2+x22 1 1+()2 (12) -d(-)=arcsin +C 2 2.计算下列积分 arctan 2x (3)「xedx (4)e"sin 4xdx, (5)xsin 100xdx (6)arctan 2xdx 解:(1)「h2xdx=xh2x-Jxd(h2x) xh2x-∫x.dx xIn 2x-x+C (2)arctan 2xdx=x arctan 2x- xd(arctan x) = x arctan2x-∫x 1+(2x) x arctan 2x ∫,x 1+4x =arctan 2x- ,d+4x2) 4J1+4x =arctan 2x--In(1+4x)+C (3) dy 4 (4)Je sin 4xdx= sin 4xd(=)==e sin 4x-= d( sin 4x) =ex sin 4x==J cos 4.e3 cos 4x ∫cdcs4
（11） x C x x x x x x = + + = + = + 2 2 arctan 2 2 ) 2 d( ) 2 1 ( 1 2 1 ) 2 1 ( d 2 1 2 d 2 2 2 . （12） 2 4 - d x x = 2 ) 2 2 1-( d x x = ) 2 d( ) 2 1-( 1 2 x x = C x + 2 arcsin . 2. 计算下列积分： (1) ln 2xdx , (2) arctan 2xdx , (3) x x x e d 4 , (4) x x x e sin 4 d 5 , (5) x sin 100xdx , (6) x arctan 2xdx . 解：（1） ln 2xdx = x ln 2x − xd(ln 2x) = x x x x x d 2 2 ln 2 − = xln 2x − x +C. （2） arctan 2xdx = x arctan 2x − xd(arctan2 x) = x x x x x d 1 (2 ) 2 arctan 2 2 + − = + − 2 2 1 4 d( ) arctan 2 x x x x = d(1 4 ) 1 4 1 4 1 arctan 2 2 2 x x x x + + − = x x − ln(1+ 4x ) + C 4 1 arctan 2 2 . （3） x x x x x x x x x e d 4 1 e 4 1 de 4 1 e d 4 4 4 4 = = − = x C x x − + 4 4 e 16 1 e 4 1 . （4） 5 5 5 5 e 1 e e sin 4 d sin 4 d( ) e sin 4 d(sin 4 ) 5 5 5 x x x x = = − x x x x x = x x x x x e cos 4 d 5 4 e sin 4 5 1 5 5 − = 5 e cos 4 d 5 4 e sin 4 5 1 5 5 x x x − x = − − d(cos 4 ) 5 e cos 4 5 e 5 4 e sin 4 5 1 5 5 5 x x x x x x
4 =ce sin 4x 4xd 移项合并,得 Jest sin4xdx=e(5sn4x-4cos4x)+C (5)∫xsn100xdx=Jxd 100 100 sin 100x x cos 1OOx C 10000 (6)arctan 2xdx=arctan 2xd() arctan 2x d( arctan 2x 21+(2x) arcta、l 1+4x arctan 2 +-arctan 2x+C 3.计算下列不定积分: (1)∫√16-x2dx (2) x 解:(1)令x=4sn1(-<1<),则l6-x2=4cost,dx=4co 于是∫16-x2dx=4cost.4 cos tdt=81+cos2)dn 8t+sin 2t+C 由右图所示的直角三角形,得 16-x sin 2t= 2sin t cost= 2 4 故∫√16 8 arcsin￥xVl6 C (2)x=2 tant(-<(<1),0(4+x)2=8sec't, dx=2 sec tdt
= x x x x x x x e sin 4 d 25 16 e cos 4 25 4 e sin 4 5 1 5 5 5 − − , 移项合并，得 x x x x C x x = e (5sin 4 − 4cos 4 ) + 41 1 e sin 4 d 5 5 . （5） = − = − − − x x x x x x x x x )d 100 cos100 ( 100 cos100 ) 100 cos100 sin 100 d d( = C x x x − + 100 cos100 10000 sin 100 . （6） x arctan 2xdx = ) 2 arctan 2 d( 2 x x = − d(arctan 2 ) 2 arctan 2 2 2 2 x x x x = x x x x x d 1 (2 ) 2 2 arctan 2 2 2 2 2 + − = x x x x )d 1 4 1 (1 4 1 arctan 2 2 2 2 + − − = x C x x x − + arctan 2 + 8 1 4 arctan 2 2 2 . 3. 计算下列不定积分： （1） 16 x dx 2 − , （2） + 2 3 2 (4 ) d x x . 解：（1）令 ) 2 π 2 π x = 4sin t(− t ，则 16 x 4cost 2 − = ，dx = 4costdt ， 于是 16 x dx 4cost 4costdt 8 (1 cos 2t)dt 2 − = = + =8t + 4sin 2t +C. 由右图所示的直角三角形，得 8 16 4 16 4 sin 2 2sin cos 2 2 2 x x x x t t t − = − = = , 故 C x x x x dx + − − = + 2 16 4 16 8 arcsin 2 2 . （2）令 ) 2 π 2 π x = 2 tan t(− t ，则 (4 x ) 8sec t,dx 2sec tdt 2 3 2 3 2 + = = , t 4 x 16 2 − x
于是 2 sec td 由右图所示的直角三角形,得 sin t 故 C 4
于是 C t t t t t t x x = = = + + 2 sin d 2 cos 2sec d 4sec 1 (4 ) d 2 3 2 3 2 . 由右图所示的直角三角形，得 2 4 sin x x t + = 故 C x x x x + + = + 2 2 3 2 (4 ) 2 4 d . t x 4 2 + x 2