第九章向量与空间解析几何 第一节空间直角坐标系与向量的概念 思考题 求点M(x,y,=)与x轴,xOy平面及原点的对称点坐标 解:M(x,y,)关于x轴的对称点为M1(x-y-2),关于xO平面的对称点为 M2(x,y--),关于原点的对称点为M(-x,-y-2) 2.下列向量哪个是单位向量? (1)r=计+j+k,(2)a=80-1),(3)b= 1333 解:(1)∵=√P+12+12=3 r不是单位向量 l=()2+02+(片)2=1,∴a是单位向量 (3) 例=y(2+()+(=￥32 b不是单位向量 3.自由向量具有什么样的特征? 答:自由向量的特征是大小相等,方向相同,但起点不定 4.试举几个现实生活中能用向量描述的量? 答:如力,速度,位移,力矩等 5.与向量a平行的单位向量有几个?如何去求?试举例说明 答:与向量a平行的单位向量有两个,一个与a同向,一个与a反向例如:若a={1, ,1},则与a平行的单位向量为±=±1 习作题: 1.求平行于a={1,1,1}的单位向量 解:与a平行的单位向量为±=±1 2.求起点为A(1,2,1),终点为B(-19,-18,1)的向量AB的坐标表达式及AB 解:AB=(-19-1)i+(-18-2)j+(1-1)k=-20i-20j={-20,-20,0}, AB=√-20)2+(-20)2+02=202
第九章 向量与空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 思考题： 1. 求点 M (x, y,z) 与 x 轴， xOy 平面及原点的对称点坐标. 解： M (x, y,z) 关于 x 轴的对称点为 ( , , ) 1 M x −y −z ，关于 xOy 平面的对称点为 ( , , ) 2 M x y −z ，关于原点的对称点为 ( , , ) 3 M −x −y −z . 2. 下列向量哪个是单位向量？ （1） r = i + j + k ，（2） 1,0, 1 2 1 a = − ，（3） = 3 1 , 3 1 , 3 1 b . 解：（1） 1 1 1 3 1 2 2 2 r = + + = , r 不是单位向量. （2） ) 1 2 1 ) 0 ( 2 1 ( 2 2 2 = − a = + + , a 是单位向量. （3） 3 3 ) 3 1 ) ( 3 1 ) ( 3 1 ( 2 2 2 b = + + = , b 不是单位向量. 3. 自由向量具有什么样的特征？ 答：自由向量的特征是大小相等，方向相同，但起点不定. 4. 试举几个现实生活中能用向量描述的量？ 答：如力，速度，位移，力矩等. 5. 与向量 a 平行的单位向量有几个? 如何去求？试举例说明. 答：与向量 a 平行的单位向量有两个，一个与 a 同向，一个与 a 反向.例如：若 a ={1， 1，1}，则与 a 平行的单位向量为 1,1,1 3 1 = a a . 习作题： 1. 求平行于 a ={1，1，1}的单位向量. 解：与 a 平行的单位向量为 1,1,1 3 1 = a a . 2. 求起点为 A(1, 2, 1) ，终点为 B(−19, −18, 1) 的向量 AB 的坐标表达式及 | AB| . 解： AB = (−19 −1)i + (−18 − 2) j + (1−1)k = −20i − 20 j ={ 20, 20,0} − − , | | ( 20) ( 20) 0 20 2 2 2 2 AB = − + − + =
3.求点M1(5,10,15)到点M2(25,35,45)之间的距离 解:距离d=M1M1=(25-5)+(35-102+(45-152=5 4.求A使向量a={λ,1,5}与向量b={2,10.50}平行 解:由a∥b得=1=5得= 5.求与y轴反向,模为10的向量a的坐标表达式 解:a=10·(-j=-10j={0,-10,0} 6.求与向量a={1,5,6}平行,模为10的向量b的坐标表达式 解: √6,456, b=±10n==.56} 第二节向量的点积与叉积 思考题 1.若a与b为单位向量,则axb是单位向量吗? 答:不一定是因为axb=bsn(ab)=sm(ab),若a与b不垂直,则axb不是 单位向量 2.向量a2=aa,问a2与有关系吗? 答:∵l=a·a,故a2=aP 3.如何求同时垂直于向量a与b的向量c? 答:因为a×b既垂直于a又垂直于b,故c=A(a×b)(2为常数) 习作题 1.求点M(L,√2,1)的向径OM与坐标轴之间的夹角 解:设OM与x,y,二轴之间的夹角分别为a,B,y,则
3. 求点 (5,10,15) M1 到点 (25,35,45) M2 之间的距离. 解：距离 (25 5) (35 10) (45 15) 5 77 2 2 2 d = M1M2 = − + − + − = . 4. 求 使向量 a = {,1,5} 与向量 b = {2,10,50} 平行. 解：由 a // b 得 50 5 10 1 2 = = 得 5 1 = . 5. 求与 y 轴反向，模为 10 的向量 a 的坐标表达式. 解： a =10 (− j) = −10 j ={0, 10,0} − . 6. 求与向量 a ={1，5，6}平行，模为 10 的向量 b 的坐标表达式. 解： {1,5,6} 62 0 1 = = a a a , 故 1,5,6 62 10 10 0 b = a = . 第二节 向量的点积与叉积 思考题: 1. 若 a 与 b 为单位向量，则 a b 是单位向量吗？ 答：不一定是.因为 ^ ^ a b = a b sin (a,b) = sin (a,b),若 a 与 b 不垂直，则 a b 不是 单位向量. 2. 向量 a = a a 2 , 问 a 与a 2 有关系吗？ 答： a = a a 2 , 故 2 2 a =| a | . 3. 如何求同时垂直于向量 a与b 的向量 c ？ 答：因为 a b 既垂直于 a 又垂直于 b ，故 c = (a b) ( 为常数). 习作题: 1. 求点 M (1, 2,1) 的向径 OM 与坐标轴之间的夹角. 解：设 OM 与 x , y , z 轴之间的夹角分别为 , , ，则
COSa=<OM OM +(√2) cosB=OM_√2 k·OM cos y OM kloM 2 B 2.求同时垂直于向量a={368}和y轴的单位向量 解:记b=axj=368=(80-3} 故同时垂直于向量a与y轴的单位向量为±=±80-3} 3.求与a=i++k平行且满足a·x=1的向量x 解:因a∥x,故可设x=mn=2,,,再由ax=1得2+2+2=1,即=1 从而x=11 333 4.a={00},b={010},c=(0,1),求ab,a·c,b·c,及axa,axb,axC, b×c 解:依题意,a=i,b=j,c=k,故 a·b=i·j=0,a·c=ik=0,b·c=jk=0 a×a=ixi=0,axb=ixj=k,axc=i×k=-j,bxc=j×k=i 5.a={12}b={22,1},求a·b及axb 解:a·b=1×2+1×2+2×1=6 a×b=112|=330 6.证明向量a={101}与向量b=(-11}垂直 证明:∵a·b=1×(-1)+0×1+1×1=0
2 1 1 ( 2) 1 1 cos 2 2 = + + = = OM OM i i , 2 2 cos = = OM OM j j , 2 1 cos = = OM OM k k . 3 π = , 4 π = , 3 π = . 2. 求同时垂直于向量 a = − 3,6,8 和 y 轴的单位向量. 解：记 8,0, 3 0 1 0 = = − 3 6 8 = − − i j k b a j , 故同时垂直于向量 a 与 y 轴的单位向量为 8,0, 3 73 1 = − − b b . 3. 求与 a = i + j + k 平行且满足 a x =1 的向量 x . 解：因 a// x , 故可设 x = a = ,, ，再由 a x =1 得 + + =1 ，即 3 1 = ， 从而 = 3 1 , 3 1 , 3 1 x . 4. a = 1,0,0，b = 0,1,0，c = (0,0,1) ，求 a b ，a c ，b c ，及 aa，a b，ac ， b c . 解：依题意， a = i ， b = j ， c = k ，故 a b = i j = 0 ， a c = i k = 0， b c = j k = 0 . aa = i i = 0， a b = i j = k ，a c = i k = − j ，b c = j k = i . 5. a = 1,1,2,b = 2,2,1 ，求 a b 及 a b . 解： a b =12 +12 + 21= 6, 3,3,0 2 2 1 = 1 1 2 = − i j k a b . 6. 证明向量 a = 1,0,1 与向量 b = −1,1,1 垂直. 证明： a b = 1 (−1) + 0 1+11 = 0
(a, b 即a与b垂直 第三节平面与直线 思考题: 1.写出下列平面方程: (1)xOy平面, (2)过z轴的平面 (3)平行与zOx的平面 (4)与x,y,z轴正向截距相等的平面 解:(1)z=0 (2)ax+by=0(a,b为常数) (3)y=c(c为常数 (4)x+y+z=a(a>0) 2.用一般∫4x+By+C1+D1=0 表示空间直线的表达式是否惟一,直线 A2x+B2y+C2=+D2=0 x+y=0,-x-y=0 有何关系? 2x-y=32x+3y=0 答:用一般式方程表示空间直线的表达式不唯一,因为过两平面相交直线的任意两个不 同的平面的联立方程组均可表示这条直线 直线 与 平行 y=32x+3y=0 3.在什么条件下,可以确定一个平面的方程? 答:只要给出的条件能确定平面内的一点和垂直于平面的一个非零向量,即可确定一个 平面的方程 4.在什么条件下,可以确定一条直线的方程? 答:只要给出的条件能确定直线上的一点和平行于直线的一个非零向量,即可确定一条 直线的方程 5.由直线的一般式方程化为直线的点向式方程的关键点及主要步骤是什么? 答:关键点是确定直线的方向向量主要步骤是:①定点,由一般式方程任取直线 点;②定向,由两平面的法向量的叉积求得直线的方向向量,最后写出点向式方程 6.若平面方程为Ax+By+C=+D=0,则满足下列条件的平面有何特点,且作图形 (1)D=0,(2)A=D=0,(3)A=B=0,(4)A=B=D=0 答:(1)平面Ax+B+Cz=0过原点 (2)平面B+Cz=0过x轴, (3)平面C+D=0平行于xOy坐标面
2 π ( , ) ^ a b = ， 即 a 与 b 垂直. 第三节 平面与直线 思考题: 1. 写出下列平面方程： （1） xOy 平面， （2）过 z 轴的平面, （3）平行与 zox 的平面, （4）与 x ， y ， z 轴正向截距相等的平面. 解：（1） z = 0, （2） ax + by = 0 （ a,b 为常数）, （3） y = c ( c 为常数), （4） x + y + z = a (a 0) . 2. 用一般式 + + + = + + + = 0 0, 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 表示空间直线的表达式是否惟一，直线 − = + = 2 3 0, x y x y 与 + = − = 2 3 0 0, x y x y 有何关系？ 答：用一般式方程表示空间直线的表达式不唯一，因为过两平面相交直线的任意两个不 同的平面的联立方程组均可表示这条直线. 直线 − = + = 2 3 0 x y x y 与 + = − = 2 3 0 0 x y x y 平行. 3. 在什么条件下，可以确定一个平面的方程？ 答：只要给出的条件能确定平面内的一点和垂直于平面的一个非零向量，即可确定一个 平面的方程. 4. 在什么条件下，可以确定一条直线的方程？ 答：只要给出的条件能确定直线上的一点和平行于直线的一个非零向量，即可确定一条 直线的方程. 5. 由直线的一般式方程化为直线的点向式方程的关键点及主要步骤是什么？ 答：关键点是确定直线的方向向量.主要步骤是：①定点，由一般式方程任取直线上一 点；②定向，由两平面的法向量的叉积求得直线的方向向量，最后写出点向式方程. 6. 若平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0 ，则满足下列条件的平面有何特点，且作图形： （1） D = 0 , (2) A = D = 0 , (3) A = B = 0 , (4) A = B = D = 0. 答：（1）平面 Ax + By + Cz = 0 过原点, （2）平面 By + Cz = 0 过 x 轴, （3）平面 Cz + D = 0 平行于 xOy 坐标面
(4)平面二=0即为xOy坐标面 以上各题图形如下: (2) 7.在直线方程 x-x0y-y02-20中有的分母为零时应如何理解? P 答:分母为零时,应理解为分子也为零 习作题 写出过点M02,3)且以n=22为法向量的平面方程 解:平面的点法式方程为2(x-1)+2(-2)+(z-3)=0 2.求过三点4(100)B(010)C(001)的平面方程 解:设所求平面方程为ax+by+c+d=0, 将A,B,C的坐标代入方程,可得a=b=c=-d,故所求平面方程为x+y+z 3.求过点0.0,1)且与平面3x+4y+2z=1平行的平面方程
（4）平面 z = 0 即为 xOy 坐标面. 以上各题图形如下： 7. 在直线方程 p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 中有的分母为零时应如何理解？ 答：分母为零时，应理解为分子也为零. 习作题 ： 1. 写出过点 (1,2,3) M0 且以 n = 2,2,1 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为 2(x −1)+ 2(y − 2)+ (z − 3) = 0. 2. 求过三点 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,01) 的平面方程. 解：设所求平面方程为 ax + by + cz + d = 0 , 将 A, B, C 的坐标代入方程，可得 a = b = c = −d ，故所求平面方程为 x + y + z = 1. 3. 求过点 (0,0,1) 且与平面 3x + 4y + 2z = 1 平行的平面方程. x y z O (1) x y z O (2) x y z O (3) x y z O (4)
解:依题意可取所求平面的法向量为n={34,2} 从而其方程为3x-0)+4(-0)+2(=-1)=0 即3x+4y+2x=2 4.写出过点M11)且以a=32}为方向向量的直线方程 解:方程为 x-1y-1-1 5.求过两点4(12,1)B(22)的直线方程 解:取直线的方向向量s=AB={-1,则直线的方程为-1y-2三 6.求过点(11)且与直线x-1 y 平行的直线L的方程 解:依题意,可取L的方向向量为s=2,34,则直线L的方程为-1y-1_-1 x+y+z=1, 7.求直线 的点向式方程 y 解:令二=0,可解得直线上一点M0(G,,0), 取直线的方向量s=1×2-13=111=4-j-3 所以直线的点向方程为 8.求直x-1_y 与平面x-y+二=0的夹角 解:直线的方向向量s={232},平面的法向量n=-1}设直线与平面的夹角为, s川2×1+3×(-1)+2x1 则5m0s-2+32+2y2+(-1)+12√51 故 p arcsin
解：依题意可取所求平面的法向量为 n = {3,4,2}, 从而其方程为 3(x − 0)+ 4(y − 0)+ 2(z −1) = 0, 即 3x + 4y + 2z = 2 . 4. 写出过点 (1,1,1) M0 且以 a = 4,3,2 为方向向量的直线方程. 解：方程为 2 1 3 1 4 1 − = − = x − y z . 5. 求过两点 A(1,2,1),B(2,1,2) 的直线方程. 解：取直线的方向向量 s = = − AB 1, 1,1 ，则直线的方程为 1 1 1 2 1 1 − = − − = x − y z . 6. 求过点 (1,1,1) 且与直线 4 3 3 2 2 1 − = − = x − y z 平行的直线 L 的方程. 解：依题意，可取 L 的方向向量为 s = 2,3,4 ，则直线 L 的方程为 4 1 3 1 2 1 − = − = x − y z . 7. 求直线 − + = + + = 2 3 0 1, x y z x y z 的点向式方程. 解：令 z =0，可解得直线上一点 0 1 2 ( , ,0) 3 3 M , 取直线的方向向量 s = 1,1,12,−1,3 i j k i j k 4 3 2 1 3 1 1 1 = − − − = , 所以直线的点向方程为： 1 3 3 2 4 3 1 − = − − = − z x y . 8. 求直线 3 2 1 2 x 1 y z = − = − 与平面 x − y + z = 0 的夹角. 解：直线的方向向量 s = 2,3,2 ，平面的法向量 n = 1,−1,1. 设直线与平面的夹角为 ， 则 ( ) ( ) 51 1 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 sin 2 2 2 2 2 2 = + + + − + + − + = = s n s n , 故 51 1 = arcsin
第四节曲面与空间曲线 思考题 1.方程z2=x2+y2代表何曲面,分别与平面x=0,y=1和二=2的交线为何? 答:方程z2=y2+x2代表圆锥面,与平面x=0的交线 是yO坐标面内的 两条角平分线,与平面p=1的交线/2 是平面y=1内的双曲线,与平面z=2 的交线 x2+y2 是平面z=2内的圆 2.几种常见的二次曲面的名称及直角坐标系下的方程如何? 答:(1)球面方程为(x-x0)+(-y)+(-=0)=R2 (2)柱面母线平行于x轴的柱面方程为f(,z)=0,母线平行于y轴的柱面方程 为g(x,=)=0,母线平行于=轴的柱面方程为H(x,y)=0 (3)旋转曲面以x轴为旋转轴的旋转曲面的方程为/(√y2+2,x)=0,以y轴 为旋转轴的旋转曲面的方程为 gt、 x2+x2,y)=0,以z轴为旋转轴的旋转曲面的方程为 3.投影柱面是如何定义的?其主要用途是什么 答:过空间曲线C上的每一点作同一坐标面的垂线所形成的柱面,称为C关于这一坐标 面的投影柱面,其主要用途是确定空间曲线的范围 习作题: 1.指出下列方程所表示的几何图形的名称,并画草图 -5=0, (1) (2)3x2+4y2=25,(3)x2+y2 z+2=0, 答:(1)平行于y轴的直线 (2)母线平行于z轴的椭圆柱面, (3)以〓轴为旋转轴的旋转抛物面 (4)两相交平面 各题图形如下:
第四节 曲面与空间曲线 思考题: 1. 方程 2 2 2 z = x + y 代表何曲面，分别与平面 x = 0, y = 1 和 z = 2 的交线为何？ 答：方程 2 2 2 z = y + x 代表圆锥面，与平面 x = 0 的交线 = = 0 , 2 2 x z y 是 yOz 坐标面内的 两条角平分线，与平面 y =1 的交线 = + = 1, 1 2 2 z x y 是平面 y =1 内的双曲线，与平面 z =2 的交线 = + = 2 4, 2 2 z x y 是平面 z =2 内的圆. 2. 几种常见的二次曲面的名称及直角坐标系下的方程如何？ 答：（1）球面 方程为 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 x − x0 + y − y + z − z = R , （2）柱面 母线平行于 x 轴的柱面方程为 f (y,z) = 0 ，母线平行于 y 轴的柱面方程 为 g(x,z) = 0 ，母线平行于 z 轴的柱面方程为 h(x, y) = 0, （3）旋转曲面 以 x 轴为旋转轴的旋转曲面的方程为 ( , ) 0 2 2 f y + z x = ，以 y 轴 为旋转轴的旋转曲面的方程为 ( , ) 0 2 2 g x + z y = , 以 z 轴为旋转轴的旋转曲面的方程为 ( , ) 0 2 2 h x + y z = . 3. 投影柱面是如何定义的？其主要用途是什么？ 答：过空间曲线 C 上的每一点作同一坐标面的垂线所形成的柱面, 称为 C 关于这一坐标 面的投影柱面，其主要用途是确定空间曲线的范围. 习作题: 1. 指出下列方程所表示的几何图形的名称 ，并画草图. （1） + = − = 2 0, 5 0, z x （2） 3 4 25 2 2 x + y = , （3） x y 4z 2 2 + = , （4） 0 2 2 z − x = . 答：（1）平行于 y 轴的直线, （2）母线平行于 z 轴的椭圆柱面, （3）以 z 轴为旋转轴的旋转抛物面, （4）两相交平面. 各题图形如下：
1) (4) 2.分别求曲线 在xO面及yO面的投影 解:消去变量,得x2+y2=1, 故曲线在xOy面内的投影曲线为 1, 消去变量x,得z=1,y2≤1故曲线在yO面内的投影为 (-1≤y≤l) 3.求z=y2绕二轴旋转所得旋转曲面的方程? 解:方程为二=x2+y2
2. 分别求曲线 = = + 1 , 2 2 z z x y 在 xOy 面及 yOz 面的投影. 解：消去变量 z ，得 1 2 2 x + y = , 故曲线在 xOy 面内的投影曲线为 = + = 1, 1, 2 2 z x y 消去变量 x ，得 z =1, 1 2 y .故曲线在 yOz 面内的投影为 = = 0 1, x z (−1 y 1) . 3. 求 2 z = y 绕 z 轴旋转所得旋转曲面的方程？ 解：方程为 2 2 z = x + y . x y z O (3) y x z O (2) x y z O (4) (1) z x y O 5 -2
4.曲线{=5X绕x轴旋转所得旋转曲面方程及名称为何? 答:旋转曲面方程为y2+z2=5x,它称为旋转抛物面 5.画出曲面z 与z=x2+y2所围空间图形 O
4. 曲线 = = 0 5 , 2 y z x 绕 x 轴旋转所得旋转曲面方程及名称为何？ 答：旋转曲面方程为 y z 5x 2 2 + = ，它称为旋转抛物面. 5. 画出曲面 2 2 z = 1− x − y 与 2 2 z = x + y 所围空间图形. x y z O 1