§3随机变量的分布函数 概 定义设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 F(x)=P{X≤x} 称为X的分布函数 F(x)=P{X≤x 对于任意的实数x1,x2(x1<x2),有: P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x} =F(x2)-F(x1) X ]返回主目录
1. 概 念 定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数 F(x) = P{X x} 称为 X 的分布函数． 对于任意的实数 x1 , x2 (x1< x2 ) ，有： ( ) ( ). { } { } { } 2 1 1 2 2 1 F x F x P x X x P X x P X x = − = − x1 x2 x X o F(x) = P{X x} 0 x x X §3 随机变量的分布函数 返回主目录
§3随机变量的分布函数 2.例子 X 2 例1设随机变量X的分布律 1 为:求X的分布函数 4 24 解:当x<1时,满足X≤x的X的集合为⑦, F(x)=P{X≤x}=P{}=0 X 「备]返回主目录
例 1 设随机变量 X 的分布律 为： 求 X 的分布函数. X pk 2 1 -1 2 3 4 1 4 1 解：当 x <-1 时，满足 X x的 X 的集合为， 0 ２ x X x -1 ３ F(x) = P{X x} = P{} = 0. 2. 例 子 §3 随机变量的分布函数 返回主目录
§3随机变量的分布函数 当一1≤x<2时,满足X≤x的x取值为x F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}= X|-1 1 27 37 1x23 X pk 24 当2≤x<3时,满足X≤x的x取值为X=-1,或2 F(x)=P{X≤x}=P{X=-1或Y=2}=米1 42 ]返回主目录
当 −1 x 2时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1, . 4 1 F(x) = P{X x} = P{X = −1} = ２ x X -1 x ３ 当 2 x 3时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1, 或 2 . 2 1 4 1 F(x) = P{X x} = P{X = −1或X = 2} = + X pk 2 1 -1 2 3 4 1 4 1 §3 随机变量的分布函数 返回主目录
§3随机变量的分布函数 同理当3≤x时 F(x)=P{X≤x}=P{X=-1或X=2或X=3}=1 0 X< 1≤x<2, F(x) 434 2≤x<3 x≥3 10|123 X 「备]返回主目录
同理当 3 x 时, F(x) = P{X x}= P{X = −1或X = 2或X = 3}=1. − − = 1, 3. , 2 3, 4 3 , 1 2, 4 1 0, 1, ( ) x x x x F x -1 0 1 2 3 x 1 §3 随机变量的分布函数 返回主目录
§3随机变量的分布函数 P{X≤}=F()=, 3、311 P{<X≤x}=F(=)-F(=) 442 P{2≤X≤3} =F(3)-F(2)+P{X=2} 424 123
, 4 1 ) 2 1 } ( 2 1 P{X = F = , 2 1 4 1 4 3 ) 2 3 ) ( 2 5 } ( 2 5 2 3 P{ X = F − F = − = , 4 3 2 1 4 3 1 (3) (2) { 2} {2 3} = − + = = − + = F F P X P X -1 0 1 2 3 x 1 §3 随机变量的分布函数
§3随机变量的分布函数 分布函数F(x)在x=xk(k=1,2,)处有跳跃, 其跳跃值为pk=P{X=xk} X-1 23 2 1 11 pk\A 24 123 X ]返回主目录
-1 0 1 2 3 x 1 2 1 4 1 4 1 分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=P{X= xk}. X pk 2 1 -1 2 3 4 1 4 1 §3 随机变量的分布函数 返回主目录
§3随机变量的分布函数 例2一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离 试求随机变量X分布函数 解:(1)若x<0,则{X≤x}是不可能事件,于是 F(x)=P{X≤x}=P(x)=0 (2)若0≤x≤2,由题意, P{0≤X≤x}=kx2
例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比， 并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数. 解：（1） 若 x < 0, 则 {X x} 是不可能事件，于是 F(x) = P{X x} = P() = 0. （2） {0 } , 0 2, 2 P X x k x x = 若 由题意， X §3 随机变量的分布函数
§3随机变量的分布函数 取x=2,由已知得P{0≤x≤2}=1与上式对比 得k=14,即P{0≤xs2)+3 4 于是,0≤x≤2时 F(X)=P{X≤x}=P(X<0}+P0≤X≤x} x4 (3)若x≥2,则{X≤x}是必然事件,于是 F(x)=P{X≤x}=1 「备]返回主目录
于是，0 x 2时 . 4 ( ) { } { 0} {0 } 2 x F X P X x P X P X x = = = + （3） 若 x 2 , 则 {X x} 是必然事件，于是 F(x) = P{X x} =1. . 4 1/ 4, {0 2} 2 x 得k = 即P x = 取x = 2,由已知得P{0 x 2}=1,与上式对比 §3 随机变量的分布函数 返回主目录
§3随机变量的分布函数 0 x<0 F(x)= 0<x<2 4 1.x≥2. 23 ]返回主目录
= 1, 2. , 0 2, 4 0, 0, ( ) 2 x x x x F x 0 1 2 3 1 F(x) x §3 随机变量的分布函数 返回主目录
§3随机变量的分布函数 3.分布函数的性质 分别观察离散型、连续型分布函数的图象,可以 看出,分布函数F(x)具有以下基本性质: 10F()是一个不减的函数1F(x) 即当x2>x时, F(x2)≥F(x1) ]返回主目录
3. 分 布 函 数 的 性 质 分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以 看出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质： ( ) ( ). 2 1 2 1 F x F x x x 即当 时， 1 0 F (x) 是一个不减的函数． 0 1 2 3 1 F(x) x §3 随机变量的分布函数 返回主目录