第四章一元函数微分学的应用 第一节柯西( Cauchy)中值定理与洛必达( L'Hospital)法则 思考题 1.用洛必达法则求极限时应注意什么? 答:应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足 2.把柯西中值定理中的“f(x)与F(x)在闭间区[ab上连续”换成“f(x)与F(x)在 开区间(b)内连续”后,柯西中值定理的结论是否还成立?试举例(只需画出函数图象) 说明 答:不成立 图像如下 习作题: 1.用洛必达法则求下列极限 (2) (3)lim sin(r-2 (4) x-3x+2x-sin 解:(1)lin=,=lm(x+1)=2 sin x 2)lim lim cos x=1 (3)lim Sin(x rt )=lim cos(x-T) x-3x+2x-sin x 4x3-6x+2-cosx2-1 4x3 2.用洛必达法则求下列极限: (1)lim x (2)lm(+x)
第四章 一元函数微分学的应用 第一节 柯西( Cauchy )中值定理与洛必达( LHospital )法则 思考题 ： 1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？ 答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足. 2. 把柯西中值定理中的“ f (x) 与 F(x) 在闭间区 a,b 上连续”换成“ f (x) 与 F(x) 在 开区间 (a,b) 内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象） 说明. 答：不成立. 图像如下： 习作题： 1. 用洛必达法则求下列极限： （1） 1 1 lim 2 1 − − → x x x ， （2） x x x sin lim →1 ， （3） ( ) − − → x x x sin lim ， （4） x x x x x x x − − + − → 4 4 2 0 3 2 sin lim . 解：(1) 1 1 lim 2 1 − − → x x x = lim ( 1) 1 + → x x =2, (2) x x x sin lim →0 = x x lim cos →0 =1, (3) ( ) π sin π lim π − − → x x x = ( ) 1 cos π lim π − → x x =1, (4) x x x x x x x − − + − → 4 4 2 0 3 2 sin lim = 4 1 4 6 2 cos lim 3 3 0 − − + − → x x x x x = 0 1 2 1 − − = −1. 2. 用洛必达法则求下列极限： （1） x x x → + 0 lim , （2） ( )x x x 1 0 lim 1+ → . y A B O x
解:(1)lnxx= lim en=e lim=x x→0 )lm(+x)=me-=2-=m x→0 3.设∫(x)=x2-x,直接用柯西中值定理求极限m<(x) f(0)=0,sinO=0 lim /() =lim f(x)-f() x→0snx-sn0 加mn/6) sin(5)(在0与x之间) 第二节拉格朗日( Lagrange)中值定理及函数的单调性 思考题: 1将拉格朗日中值定理中条件f(x)“在闭区间[ab]上连续”换为“在开区间(ab)内 连续”后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明 不成立 如下图 2.罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理,仔细阅读下面给出的罗尔中值 定理的条件与结论,并回答下列问题 罗尔中值定理:若f(x)满足如下3条 (1)在闭区间[b上连续
解 ：(1) x x x → + 0 lim = x x x ln 0 lim e → + = x x x 1 0 ln lim e → + = x x − → + 0 lim e =1, (2) ( )x x x 1 0 lim 1+ → = x x x 1 ln(1 ) 0 lim e + → = x x x ln(1 ) lim 0 e + → = 1 1 lim 0 e x→ x+ = e . 3. 设 f (x) = x − x 2 ，直接用柯西中值定理求极限 ( ) x f x x sin lim →0 . 解： f (0) = 0, sin 0 = 0, ( ) x f x x sin lim →0 = ( ) ( ) sin sin 0 0 lim 0 − − → x f x f x = ( ) ( ) sin lim 0 → f x ( 在 0 与 x 之间) = cos 2 1 lim 0 − → = −1. 第二节 拉格朗日 (Lagrange ) 中值定理及函数的单调性 思考题： 1.将拉格朗日中值定理中条件 f (x) “在闭区间 a,b 上连续”换为“在开区间 (a,b) 内 连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明. 答：不成立. 如下图： 2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值 定理的条件与结论，并回答下列问题. 罗尔中值定理：若 f (x) 满足如下 3 条： （1）在闭区间 a,b 上连续； y A B O x
(2)在开区间(a,b)上可 (3)在区间[a,b]端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),则在开区间(a,b)内至少存 在一点5,使得f()=0 需回答的问题 (1)罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别? 答:罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之,拉格朗日中值定理是罗 尔中值定理的推广 (2)罗尔中值定理中条件(1)换为“在开区间(a,b)内连续”,定理的结论还成立吗? 画图说明 答:不成立 如下图: (3)不求∫(x)=(x-1)(x-2)x-3)(x-4)的导数,说明方程f(x)=0有几个实根 并指出它们所在的区间 答:方程f(x)=0有3个实根,分别在区间(1,2)、(2,3)、(3,4)内 原因:∵∫(1)=∫(2)=∫(3)=f(4)=0,据罗尔定理即可得出结果 3.举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的(可采用画 图方式说明) 答:如下图所示 B B a op b f(x)在[a,b]内不连续 f(x)在x=0处不可导
（2）在开区间 (a,b) 上可导； （3）在区间 a,b 端点处的函数值相等，即 f (a) = f (b) ，则在开区间 (a,b) 内至少存 在一点 ，使得 f ( ) = 0 . 需回答的问题： （1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？ 答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗 尔中值定理的推广. （2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间 (a,b) 内连续”，定理的结论还成立吗？ 画图说明. 答：不成立. 如下图： （3）不求 f (x) = (x −1)(x − 2)(x −3)(x − 4) 的导数，说明方程 f (x) = 0 有几个实根, 并指出它们所在的区间. 答：方程 f (x) = 0 有 3 个实根, 分别在区间（1, 2）、（2, 3）、（3, 4）内. 原因： f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 0 , 据罗尔定理即可得出结果. 3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画 图方式说明）. 答：如下图所示. A B y O x y A B a O b x f (x) 在 [a,b] 内不连续 f (x) 在 x = 0 处不可导 B a O 0 b A x y
习作题: 讨论函数y=e-的单调性 解:函数y=e的定义域为(-∞,+∞) 令y=0,得x=0, 用x=0把(-∞,+∞)分成两部分(-∞,0),(0+∞) 当x∈(-∞,0)时f(x)>0,当x∈(0,+∞)时f(x)0,f"(-2)=-6<0 ∴f(x)的极大值为∫(-2)=4,极小值为∫(0)=0
习作题： 讨论函数 2 e x y − = 的单调性. 解：函数 2 e x y − = 的定义域为 (−,+) , 2 2 e x y x − = − , 令 y = 0 , 得 x = 0, 用 x = 0 把 (−,+) 分成两部分 (−,0),(0 + ) , 当 x (−,0) 时 f (x) 0 , 当 x (0,+) 时 f (x) 0 , 因此 2 e x y − = 在 (−,0) 上单调递增, 在 (0,+) 上单调递减. 第三节 函数的极值与最值 思考题： 1. 画图说明闭区间上连续函数 f (x) 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下 由图可知, 函数 f (x) 的极值与最值的关系为： f (x) 的极值为可能为最值，最值在极值 点及边界点上的函数值中取得. 2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？ 答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利 用极值的第一充分条件或第二充分条件判定. 习作题： 1. 求 3 f (x) = x + 2 3x 在闭区间 − 5,5 上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解： f (x) 3x 6x 2 = + , 令 f (x) = 0 , 得 x1 = 0, x2 = −2, f (x) = 6x + 6, f (0) = 6 0 , f (−2) = −6 0 , ∴ f (x) 的极大值为 f (−2) = 4，极小值为 f (0) = 0 . x a 1 x O 2 x 3 x b x y
f∫(-5)=-50 f(5)=200 比较∫(-5),f(-2),f(0),f(5)的大小可知 f(x)最大值为200,最小值为-50 求函数y=x+√-x在[-5,1]上的最大值 1 解 令y=0 y(-5)=√6-5,y()=1,比较可知 y=x+1-x在5,1]上最大值为y=4 第四节曲率 思考题: 1.对圆来说,其半径与其曲率半径相等吗?为什么? 答:相等 因为:曲率半径R= /lim 4a Ax0△s||-0r·△a 2.是否存在负曲率,为什么? 答:不存在 因为曲率定义为:k=mN9,故可知曲率为非负的值 习作题: 1.求立方抛物线y=ax3(a>0)上各点处的曲率,并求x=a处的曲率半径 解 于是曲率k +9a2x4 当x=a时曲率k=6a2
∵ f (−5) = −50 , f (5) = 200 . ∴ 比较 f (−5), f (−2), f (0), f (5) 的大小可知： f (x) 最大值为 200， 最小值为 −50 . 2. 求函数 y = x + 1− x 在 [−5 ,1 ] 上的最大值. 解： x y − = − 2 1 1 1 , 令 y = 0 , 得 4 3 x = . ∵ 4 5 ) 4 3 y( = , y(− 5) = 6 − 5, y(1) =1, 比较可知 y = x + 1− x 在 [−5 ,1 ] 上最大值为 4 5 y = . 第四节 曲率 思考题： 1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等. 因为：曲率半径 r s r R s s = = = → → 0 0 lim 1 lim 1 . 2. 是否存在负曲率，为什么？ 答：不存在. 因为曲率定义为： s k s = → 0 lim ，故可知曲率为非负的值. 习作题： 1. 求立方抛物线 ( 0) 3 y = ax a 上各点处的曲率, 并求 x = a 处的曲率半径. 解： 2 y = 3ax , y = 6ax , 于是曲率 ( ) 2 3 2 1 y y k + = = ( ) 2 3 2 4 1 9 6 a x ax + , 当 x = a 时曲率 ( ) 2 3 6 2 1 9 6 a a k + =
故曲率半径R= k 2.曲线y=x(x≥0)上哪一点处曲率最大,求出该点的曲率 解: 6 故曲率 6x (x≥0), +9 +9x4 对k关于x求导,得 令一=0且x≥0得x 0≤x0;x 时,<0 曲线y=x(x≥0)上,(454,45+)处曲率最大,最大曲率为k= 第五节函数图形的描绘 思考题: 1.若(x02f(x0)为连续曲线弧y=f(x)的拐点,问 (1)f(x0)有无可能是f(x)的极值,为什么? 答:可能 如:y(x)= x2,x≤0. 0. (000为y(x)的拐点且y(0)为y(x)的极值 (2)f(x0)是否一定存在?为什么?画图说明 y=d 如y=x图像如右 0)点为曲线y=x3的拐点,但1-0不存在 O
故曲率半径 ( ) 2 6 6 1 1 9 2 3 a a k R + = = . 2. 曲线 ( 0) 3 y = x x 上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解： 2 y = 3x , y = 6x , 故曲率 ( ) ( ) ( 0) 1 9 6 1 9 6 2 3 2 3 4 4 + = + = x x x x x k , 对 k 关于 x 求导, 得 ( ) 2 3 4 4 4 1 9 6 ) 1 9 54 (1 d d x x x x k + + = − , 令 0 d d = x k 且 x 0 得 4 45 1 x = . 0 x 4 45 1 时, 0 d d x k ; 4 45 1 x 时, 0 d d x k , 曲线 ( 0) 3 y = x x 上， (45 ,45 ) 4 3 4 1 − − 处曲率最大 , 最大曲率为 4 4 5 3 5 k = . 第五节 函数图形的描绘 思考题： 1. 若 ( , ( )) 0 0 x f x 为连续曲线弧 y = f (x) 的拐点，问： （1） ( ) 0 f x 有无可能是 f (x) 的极值，为什么？ 答：可能. 如： ( ) = , 0, , 0, 2 x x x x y x (0,0) 为 y(x) 的拐点且 y(0) 为 y(x) 的极值. （2） ( ) 0 f x 是否一定存在？为什么？画图说明. 答：不一定. 如 3 1 y = x 图像如右： (0,0) 点为曲线 3 1 y = x 的拐点，但 0 d d x= x y 不存在. 3 1 y = x x y O
2.根据下列条件,画曲线 1)画出一条曲线,使得它的一阶和二阶导数处处为正 解:如下图 (2)画出一条曲线,使得它的二阶导数处处为负,但一阶导数处处为正 解:如下图 (3)画出一条曲线,使得它的二阶导数处处为正,但一阶导数处处为负 解:如下图 (4)画出一条曲线,使得它的一阶、二阶导数处处为负 解:如下图
2. 根据下列条件，画曲线： (1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正. 解：如下图. (2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正. 解：如下图. (3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负. 解：如下图. （4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负. 解：如下图. O x y O x y x y O x y O
习作题: 1.设水以常速am3/s(a>0)注入图419所示的容器中,请作出水上升的高度关 于时间t的函数y=f()的图像,阐明凹向,并指出拐点 解:函数图像如下 图4-19 在区间4]上函数y=f()的图像上凹,在区间[1,2]上函数y=f()的图像下凹 点(1,f(t1)为函数图像的拐点 2.(1)f(x)的图像如图4-20所示,试根据该图像指出函数f(x)本身拐点横坐标x 的值 答:拐点横坐标为x=x3与x=x x 图4-21 图4-20 (2)在图4210的二阶导数f(x)的图像中,指出函数f(x)本身拐点横坐标x的值 答:拐点横坐标为x=x1和x=x2 3.求曲线y=10+5x2+x3的凹凸区间与拐点 解:函数的定义域为(∞+∞) y=10x+10x y=10+20x
习作题： 1. 设水以常速 m /s 3 a （ a 0 ）注入图 4—19 所示的容器中，请作出水上升的高度关 于时间 t 的函数 y = f (t) 的图像，阐明凹向，并指出拐点. 解：函数图像如下： 在区间 1 0,t 上函数 y = f (t) 的图像上凹, 在区间 1 2 t ,t 上函数 y = f (t) 的图像下凹, 点 ( ( )) 1 1 t , f t 为函数图像的拐点. 2. （1） f (x) 的图像如图 4—20 所示，试根据该图像指出函数 f (x) 本身拐点横坐标 x 的值. 答：拐点横坐标为 3 x = x 与 4 x = x . （2）在图 4—21 的二阶导数 f (x) 的图像中，指出函数 f (x) 本身拐点横坐标 x 的值. 答：拐点横坐标为 1 x = x 和 2 x = x . 3. 求曲线 2 3 3 10 y = 10 + 5x + x 的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为 (− ,+), 2 y =10x +10x , y = 10 + 20x , 0 1 t 2 t t y = f (t) y 图 4—19 f a O x1 b x f (x) 2 x 3 x 4 x 图 4—20 图 4—21 a b x f (x) f O 1 x 2 x 3 x 4 x
令y”=0,得 1 用x=-把(∞+∞)分成(-,-),(,+∞)两部分 当x∈(-∞,-)时,y”0, 曲线的凹区间为(一+∞),凸区间为(-∞-),拐点为(- 4求曲线y=x+3的渐近线 解:∵lm_x+3 =∞,故x=1为曲线的铅直渐近线 x+3 ∞,故x=2为曲线的铅直渐近线 x+3 lim =m (x-1)(x-2) x→① +∥12=0,故y=0为曲线的水平渐近线, 曲线的渐近线为:y=0,x=1,x=2 第六节一元函数微分学在经济上的应用 思考题: 1.回答下列问题 (1)为什么说需求价格弹性一般为负值? 答:因为需求价格弹EQ=n、的是需求量关于价格的导数而一般情 Ep o(p) 况下,需求函数Q=Q(p)是价格p的单凋递减函数,即一般地<0,所以说需求价格 弹性一般为负值 (2)设生产x个单位产品时,总成本为C(x),问这时每单位产品的平均成本是多少? 答:平均成本C(x)=C( (3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增
令 y = 0 , 得 2 1 x = − , 用 2 1 x = − 把 (− ,+) 分成 ) 2 1 (−,− ， , ) 2 1 (− + 两部分. 当 x ) 2 1 (−,− 时， y 0 , 当 x , ) 2 1 (− + 时， y 0 , 曲线的凹区间为 , ), 2 1 (− + 凸区间为 ), 2 1 (−,− 拐点为 ) 6 65 , 2 1 (− . 4.求曲线 ( 1)( 2) 3 − − + = x x x y 的渐近线. 解： ( )( ) = − − + → 1 2 3 lim 1 x x x x , 故 x =1 为曲线的铅直渐近线, ( )( ) = − − + → 1 2 3 lim 2 x x x x , 故 x = 2 为曲线的铅直渐近线, ( )( ) 2 1 3 3 lim lim 0 1 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x → → + + = = − − − − , 故 y = 0 为曲线的水平渐近线, 曲线的渐近线为： y = 0, x = 1, x = 2 . 第六节 一元函数微分学在经济上的应用 思考题: 1. 回答下列问题： (1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？ 答：因为需求价格弹性 ( ) p Q Q p p Ep EQ d d = 中， p Q d d 是需求量关于价格的导数, 而一般情 况下，需求函数 Q = Q(p) 是价格 p 的单凋递减函数，即一般地 0 d d p Q , 所以说需求价格 弹性一般为负值. (2)设生产 x 个单位产品时，总成本为 C(x) ，问这时每单位产品的平均成本是多少？ 答：平均成本 ( ) x C x C(x) = . (3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增
长速度正在逐步变慢”,并画图说明 答:设u表示某项经济指标,t表示时间,u=l(t)二阶可导,则“经济指标的增长速 度正在逐步加快”,即指一是递增函数,所以 d2>0,也即u=l(1)的图像上升且上凹 (如下图1):相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”,即指一>0,-0从而>0.若一=1,则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的,若 EO >1,则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比若0<<1,则表明需求变动 的百分比低于收入变动的百分比 习作题: 1.某厂商提供的总成本和总收入函数如右图,试画出 R 下列对于产品数量q的函数图象 (1)总利润:(2)边际成本:(3)边际收入 解:(1)总利润L=R(q)-C(q),图像如下图(1) (2)边际成本M=C(q),图像如下图(2)
长速度正在逐步变慢”，并画图说明. 答：设 u 表示某项经济指标， t 表示时间， u = u(t) 二阶可导，则“经济指标的增长速 度正在逐步加快”，即指 t u d d 是递增函数，所以 0 d d 2 2 t u ，也即 u = u(t) 的图像上升且上凹 （如下图 1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指 0 d d 0, d d 2 2 t u t u ，也即 u = u(t) 的图像上升且下凹（如下图 2）. 2. 一般情况下，对商品的需求量 Q 是消费者收入 x 的函数，即 Q = Q(x) ，试写出需求 Q 对收入 x 的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义. 答：需求收入弹性 ( ) x Q Q x x Ex EQ d d = . 因为一般情形下，需求 Q 是收入 x 的增函数， 故 0 d d x Q 从而 Ex EQ >0. 若 Ex EQ =1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若 Ex EQ 1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若 0< Ex EQ <1，则表明需求变动 的百分比低于收入变动的百分比. 习作题： 1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出 下列对于产品数量 q 的函数图象. （1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入 解：（1）总利润 L= R(q) − C(q) ，图像如下图（1）, （2）边际成本 Mc =C'(q) , 图像如下图（2）, u 图 1 t t 图 2 u t O q R R C C 1 q 2 q