《高等数学》课程电子教案：第六章 定积分习题与答案

第六章定积分 第一节定积分的概念 思考题: 1.如何表述定积分的几何意义?根据定积分的几何意义推出下列积分的值: (2) 解:若x∈号时,(x)≥0则∫。/(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x),直线 x=ax=b及x轴所围成平面图形的面积若x∈]时,fx)≤0,则∫f(x)dx在几何 上表示由曲线y=∫(x),直线x=a,x=b及x轴所围平面图形面积的负值 (1)由下图(1)所示,几xdx=(-A1)+A1=0 o 1 R R (3) (2)由上图(2)所示,「8√R2-x2dx=A2 (3)由上图(3)所示, Jix cos xdx=A3+(-A4)+A=A3+A5+(-A3-A3)=0

第六章 定积分 第一节 定积分的概念 思考题： 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）  − xdx 1 1 , （2）  − − R x x R R d 2 2 , （3）  cos xdx 0 2 , （4）  − x dx 1 1 . 解：若    x  a b f x  f x x a b , 时, ( ) 0,则 ( )d 在几何上表示 由曲线 y = f (x) ，直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成平面图形的面积. 若 xa,b 时，  f x  f x x a b ( ) 0,则 ( )d 在几何 上表示由曲线 y = f (x) ，直线 x = a, x = b 及 x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示， d ( 1 ) 1 0 1  −1 x x = −A + A = . （2）由上图（2）所示， 2 π d 2 2 2 2 R R x x A R  −R − = = . （3）由上图（3）所示， cos d 3 ( 4 ) 5 3 5 ( 3 5 ) 0 2π  0 x x = A + −A + A = A + A + −A − A = . R − R O R x y 2 A (2) -1 -1 1 1 1 A 1 A O x y (1) O x y 1 -1 3 A 4 A 5 A 2π π (3) −1 −1 1 O 1 x y A6 A6 (4)

(4)由上图(4)所示,|xdx=2A=211=1 2.若当a≤x≤b,有f(x)≤g(x),下面两个式子是否均成立,为什么? l)J6f(x)dx≤jg(x (2)∫f(x)dxs∫g(x)dx 答:由定积分的比较性质知(1)式成立,而不定积分的结果表示一族函数,∫f(x)dx 与g(x)dx不能比较大小,故(2)式不成立 3.n个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系? 答:二者均反映了多个数的平均值大小,后者是前者的推广,但n个数的算术平均值是 有限个数的平均值,而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值,前者计算 公式是∑a,后者计算公式是 f(x)dx b 习作题: 1.用定积分的定义计算定积分∫cdx,其中c为一定常数 解:任取分点a=x<x1<x2<…<x=b,把[a,b分成n个小区间 [x-1,x](=1,2…m),小区间长度记为△x=x1-x1(i=1,2…n),在每个小区间 x1,x上任取一点5作乘积f(5)Ax的和式 f().Ax )=c(b-a) 记=max{Ax},则cdx=lm∑∫(51)Ax1=lmc(b-a)=c(b-a) →0 2.利用定积分的估值公式,估计定积分[(4x-2x3+5)dx的值 解:先求f(x)=4x2-2x3+5在[1上的最值,由 0,得x=0或x 比较f(-1)=11(0)=5G)=-27 8--104,f(1)=7的大小,知 11, 1024

（4）由上图（4）所示， 1 1 1 2 1 d 2 6 2 1  −1 x x = A =    = . 2. 若当 a  x  b ，有 f (x)  g(x) ，下面两个式子是否均成立，为什么？ （1） f x x g x x b a b  a ( )d   ( )d , （2）  f (x)dx   g(x)dx . 答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，  f (x)dx 与  g(x)dx 不能比较大小，故（2）式不成立. 3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？ 答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但 n 个数的算术平均值是 有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算 公式是 = n i ai n 1 1 ,后者计算公式是  − b a f x x b a ( )d 1 . 习作题： 1. 用定积分的定义计算定积分  b a cdx ,其中 c 为一定常数. 解 ： 任 取 分 点 a = x0  x1  x2  xn = b , 把 [a ,b] 分 成 n 个小区间 [ , ] i 1 i x x − (i = 1 ,2n) ，小区间长度记为 x i = i x - i−1 x (i = 1 ,2n) ,在每个小区间   i i x , x −1 上任取一点 i  作乘积 i i f ( )x 的和式：   = =   =  − − = − n i n i f i xi c xi xi c b a 1 1 1 ( ) ( ) ( ) , 记 max{ } 1 i i n = x    , 则 d lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 c x f x c b a c b a n i i i b a =    = − = −  = → →  . 2. 利用定积分的估值公式，估计定积分 − − + 1 1 4 3 (4x 2x 5) dx 的值. 解：先求 ( ) 4 2 5 4 3 f x = x − x + 在 −1,1 上的最值，由 ( ) 16 6 0 3 2 f  x = x − x = , 得 x = 0 或 8 3 x = . 比较 , (1) 7 1024 27 ) 8 3 f (−1) = 11, f (0) = 5, f ( = − f = 的大小，知 , 11 1024 27 f min = − f max =

由定积分的估值公式,得/m1-(-1s∫(4x2-2x3+5kxs/m-(-1 ≤.(4x2-2x3+5x≤22 512 3.求函数f(x)=Ⅵ1-x2在闭区间[1,1上的平均值 解:平均值 1-(-1) 4.利用定积分的定义证明dx=b-a 证明:令()2=1,则∫dx=J。/(x)dx,任取分点a=x<x…<x=b,把分 成n个小区间[x1,x,并记小区间长度为Ax=x-x1(i=12…;n),在每个小区间 x-,x上任取一点5,作乘积f(5)Ax的和式∑f(51)Ax=∑A,=b-a,记 =mx{△x},则∫dx=mn∑f(5)Ax,=lm(b-a)=b-a 第二节微积分基本公式 思考题: sin tdn) 答:因为smdt是以x为自变量的函数,故∫smd 2.(,f(x)dx)=? 答:因为∫f(x)dx是常数,故(Jf(x)dxy=0 dr]o/(r)dr d 答:因为f(x)dx的结果中不含x,故「f(x)dx=0 d r j, cost dx=? 答:由变上限定积分求导公式,知 cost dx= cos x

由定积分的估值公式，得 [1 ( 1)] (4 2 5)d 1 ( 1) max 1 1 4 3 min  − −  − +   − −  − f x x x f , 即 (4 2 5)d 22 512 27 1 1 4 3 −  − +   − x x x . 3. 求函数 2 f (x) = 1− x 在闭区间[-1，1]上的平均值. 解：平均值 − =  − =  − − = 1 1 2 2 4 π 2 π 1 2 1 1 d 1 ( 1) 1  x x . 4. 利用定积分的定义证明  = − b a dx b a . 证明：令 f (x) = 1,则   = b a b a dx f (x)dx ，任取分点 0 1 a = x  x … xn = b ,把 a,b 分 成 n 个小区间   i i x , x −1 ，并记小区间长度为 ( 1,2 , ) xi = xi − xi−1 i =  n ，在每个小区间   i i x , x −1 上任取一点 i  ，作乘积 ( ) i f  i x 的和式 f x x b a n i n i  i   i =  i = − =1 =1 ( ) ,记 max{ } 1 i i n = x    , 则 x f x b a b a x n i i i b a =   = − = − → =  d lim →  ( ) lim ( ) 0 1 0   . 第二节 微积分基本公式 思考题： 1.  =  ( sin d ) d d 1 x t t t ? 答：因为  x t t 1 sin d 是以 x 为自变量的函数，故  x t t t 1 sin d d d =0. 2. ( ( )d ) ? 2 1  =  f x x 答：因为  2 1 f (x)dx 是常数，故 ( ( )d ) 0 2 1  =  f x x . 3. =  b a f x x x ( )d d d ？ 答：因为  b a f (x)dx 的结果中不含 x ，故 =  b a f x x x ( )d d d 0. 4. =  x a t x x cos d d d 2 ？ 答：由变上限定积分求导公式，知 =  x a t x x cos d d d 2 2 cos x

d d 答 d 6.若f()=snrd,则f(x)=2 E: f(x)=(xsin(x)--sin x=2xsn x-sinx 7.当/(x)为积分区间b上的分段函数时,问如何计算定积分∫。(x)dx?试举例 说明 答:分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质,将∫”(x)dx分解为部 分区间上的定积分来计算例如:若以)=x2,0≤x≤1 则 1<x<0. /o如::: 8.对于定积分,凑微分法还能用吗?为什么? 答:能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算,而凑微分法所得原函数不须作 变量置换 习作题: 1.计算下列定积分 (1)[i1-x|dx,(2) xax 解:(1)[11-x|dx=[(1-x) (1-x)2(x-1) 2 (2) dx x 3)Isin x dx= sin xdx+(-sin x)d =(-cosx)6+cosx|2=2+2=4

5. =  1 e d d d 2 x t t x ？ 答： =  1 e d d d 2 x t t x 2 2 ( e d ) e d d 1 x x t t x − = −  . 6. 若  = 2 ( ) sin d 2 x x f x t t ，则 f (x) =？ 答： f (x) = 2 2 2 2 4 2 (x )sin( x ) − sin x = 2xsin x − sin x . 7. 当 f (x) 为积分区间 [a,b] 上的分段函数时，问如何计算定积分  b a f (x)dx ？试举例 说明. 答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将  b a f (x)dx 分解为部 分区间上的定积分来计算.例如：若    −     = , 1 0, , 0 1, ( ) 2 x x x x f x 则 f (x)dx 1 −1 = xdx 0 −1 + f (x)dx 1 −1 = 1 0 3 0 1 2 2 3 x x + − = 6 1 − . 8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？ 答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作 变量置换. 习作题： 1. 计算下列定积分 （1）  − 2 0 |1 x | dx , （2） − 1 2 2 x | x | dx , （3）  2π 0 | sin x | dx . 解：（1）  − 2 0 |1 x | dx =  − 1 0 (1 x)dx +  − 2 1 (x 1)dx = 2 1 2 1 0 2 2 ( 1) 2 (1 ) − + − − x x = 2 1 2 1 + =1. （2） − 1 2 2 x | x | dx = − − 0 2 3 ( x )dx +  1 0 3 x dx = 1 0 4 0 2 4 4 4 x x − + − =4+ 4 17 4 1 = . （3）  2π 0 | sin x | dx =  π 0 sin xdx +  − 2π π ( sin x)dx = 2π π π 0 (−cos x) + cos x =2+2=4

snπtdt 2.求极限lim 11+cosπx 解:此极限是“一”型未定型,由洛必达法则,得 ∫sd5mxty cosT x (1+cosπx) πSmπxxl-丌 3.计算下列各题: (1)「x10d (2) (4)100dx (5)2 sin xdx (6)xe dx (7)sin(2x+π)d (8)cox2+4)dx,(9)Jydx,(10) 0100+x tan x (11) (12) shxdx, (13).chxdx 解:(1)xdx= 10110l (2) ∫bedx=elb=e-1 (4)J100dx= 100x hn100ln100 (5)J3 sin xdx=-cos. 2=l (6) xe dx=er d(x) (7)J3 sin( 2x+T )dx=[2sin(2x+T d(2x+T)=--cos(2x+r=-1 dx=4 0 cos(+ 4444 In

2. 求极限 x t t x x 1 cosπ sin π d lim 1 1 +  → . 解：此极限是“ 0 0 ”型未定型，由洛必达法则，得 x t t x x 1 cosπ sin π d lim 1 1 +  → = (1 cosπ ) ( sin π d ) lim 1 1 +    → x t t x x = π 1 ) π 1 lim ( π sin π sin π lim 1 1 = − − = x→ − x x→ x 3. 计算下列各题： （1）  1 0 100 x dx ， （2）  4 1 xdx ， （3）  1 0 e dx x , （4） x x 100 d 1 0  , （5） sin xdx 2 π 0  , （6） x x x e d 2 1 0  , （7） sin( 2x π )dx 2 π  0 + , （8） x x )d 4 π 4 cos( π  0 + , （9） x x x d 2 e ln 1 , （10）  + 1 0 2 100 d x x , （11）  4 π 0 2 d cos tan x x x , （12）  1 0 shxdx , （13）  1 0 chxdx . 解：（1）  1 0 100 x dx = 101 1 101 1 0 101 = x . （2）  4 1 xdx = 3 14 3 2 4 1 2 3 x = . （3） e d e e 1 1 0 1  0 = = − x x x . （4） x x 100 d 1 0  = ln 100 99 ln 100 100 1 0 = x . （5） sin d cos 2 1 π 0 2 π  0 x x = − x = . （6） 2 e 1 2 e e d( ) 2 1 e d 1 0 1 2 0 1 0 2 2 2 −  =  = = x x x x x x . （7） sin( 2x π )dx 2 π  0 + = sin( 2 π )d(2 π ) 2 1 2 π 0 + +  x x = 2 π 0 cos(2 π ) 2 1 − x + = −1. （8） x x )d 4 π 4 cos( π  0 + = ) 4 π 4 )d( 4 π 4 4 cos( π  0 + + x x = π 0 ) 4 π 4 4sin( + x = 4 − 2 2 . (9) x x x d 2 e ln 1 = ln d(ln ) 2 1 e 1 x x  = 4 1 ln 4 1 e 1 2 x =

arctan arctan (11)∫an dx= 4 tan xd( tan x) (12)shxdx= dr=e+e e+e I=chI-1 (13) chrdr=fe+- 2 aShI 第三节定积分的积分方法 思考题: 1.下面的计算是否正确,请对所给积分写出正确结果 (1)2 Vcos x-cos xdx=2(cos x) 2 sin xdx (cos x)2d(cos x) (2)[V1-x'dx=L'V1-(sin )d(sin t) os td dt dt 11+ cos 2t 答:(1)不正确,应该为 Vcos x-cos'xdx=212(cos x)sin xdx 2∫5( cos x)2d(co)=-cos2 4

(10)  + 1 0 2 100 d x x =  + 1 0 2 ) 10 1 ( d 100 1 x x = 1 10 0 arctan 10 1 x = 10 1 arctan 10 1 . （11）  4 π 0 2 d cos tan x x x =  4 π 0 tan xd(tan x) = 4 π 0 2 2 (tan x) = 2 1 . （12）   − − = 1 0 1 0 d 2 e e shxdx x x x = 1 0 2 e e x −x + = 1 ch1 1 2 e e 1 − = − + − . （13）  1 0 chxdx =  − 1 + 0 d 2 e e x x x = 1 0 2 e e x −x − = sh1 2 e e 1 = − − . 第三节 定积分的积分方法 思考题： 1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果： （1） cos x cos xdx 2 π 2 π 3 − − = (cos x) sin xdx 2 π 2 π 2 1 − = (cos ) d(cos ) 2 π 2 π 2 1 x x − − = cos 0 3 2 2 π 2 π 2 3 = − − x . （2） − − − = − 1 1 1 1 2 2 1 x dx 1 (sin t) d(sin t) = −  1 1 cost costdt = − 1 1 2 (cost) dt =2  1 0 2 (cost) dt =2 sin 2 2 1 sin 2 ) 1 2 1 d ( 2 1 cos 2 1 0 1 0 = + = + +  t t t t . 答：（1）不正确，应该为： cos x cos xdx 2 (cos x) sin xdx 2 1 2 π 2 π 2 π 0 3   − − = = 3 4 cos 3 4 2 (cos ) d(cos ) 2 π 0 2 3 2 π 0 2 1 − = − =  x x x

(2)不正确,应该为 sn)dsin)=「3(cos3d =2(3(csr=21+0x=(+1sn2)2=x 2.定积分与不定积分的换元法有何区别与联系 答:定积分与不定积分的换元法的区别在于:不定积分换元积分后要作变量回代,定积 分在换元时要同时变换积分限,而不用作变量回代.联系在于:二者均要求置换的变元 x=o()单调可导,且选择变元x=q(1)的规律相同 3.利用定积分的几何意义,解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律 答:如图,设f(x)在d上满足f(x)>0,则∫。(x)dx表示由曲线y=f(x,直线 x=0,x=a及x轴所围图形的面积,不妨记为A,则当∫(x)为偶函数时, f(x)dx=2A=2(x)dx(如下图()所示),当f(x)为奇函数时, f(x)dx=(-4)+A=0(如下图(2)所示) A (1) 习作题 1.计算下列定积分 04+ 解:(1)令x=4smt,则√16-x2=4 cost. dx=4 cos tdt 当x=0时,t=0;当x=4时,t 2’于是 6-xdx54w:4osd=J3+cs2)=(8+4m2)=

（2）不正确，应该为： −   − − − = − = 1 1 2 π 2 π 2 π 2 π 2 2 2 1 x dx 1 (sin t) d(sin t) (cost) dt =2 = + = + =   2 π 0 2 π 0 2 π 0 2 sin 2 ) 2 1 d ( 2 1 cos 2 (cos ) d 2 t t t t t t 2 π . 2. 定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？ 答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积 分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代. 联系在于：二者均要求置换的变元 x = (t) 单调可导，且选择变元 x = (t) 的规律相同. 3. 利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律. 答：如图, 设 f (x) 在 0,a 上满足 f (x) ≥0，则  a f x x 0 ( )d 表示由曲线 y = f (x) ，直线 x = 0 ， x = a 及 x 轴 所 围 图 形 的 面积 ， 不 妨记 为 A ，则当 f (x) 为偶函数时，   = = − a a a f x x A f x x 0 ( )d 2 2 ( )d ( 如下图 (1) 所 示 ) ， 当 f (x) 为奇函数时， ( )d = (− ) + = 0 − f x x A A a a (如下图(2)所示). （1） （2） 习作题: 1. 计算下列定积分: (1) 16 x dx 4 0 2  − , (2)  + 1 0 2 d 4 1 x x . 解：（1）令 x = 4sin t , 则 16 x 4cost,dx 4costdt 2 − = = , 当 x = 0 时， t = 0 ; 当 x = 4 时， 2 π t = ， 于是 16 x dx 4 0 2  − = 4cos 4cos d 8(1 cos2 )d (8 4sin 2 ) 2 4π π 0 2 π 0 2 0  = + = + =   t t t t t t t  . x y -a a y = f (x) A A O x y -a O a A A y = f (x)

(2) d( )=-arctan -=-arctan 04+x 2.计算下列定积分 (1)(5x+1edx (2)Jh(2x+1)kx e"cosπxdx (4)|(x3+3x+e)xdx 解:(1)「(5x+1 (5x+1)-d(5x+1) 6e-1e 5 ()J2x+1)x=xh(2x+1)2-xhn(x+1) In( 4e+1)-hn 2eh(4e+1)-hn3-1,(1 ln(4e+1) h(2x+1) (2e+)h(4e+1)-3h3 smπx COSTT x-∫。 lSmπx OST x (e+1) 移项合并得[ e cost xdx= 4hn33

（2）  + 1 0 2 d 4 1 x x =  + 1 0 2 ) 2 d( ) 2 1 ( 1 2 1 x x = 2 1 arctan 2 1 2 arctan 2 1 1 0 = x . 2. 计算下列定积分： （1） x x x (5 1)e d 4 0 5  + , （2） ln( 2x 1)dx 2e 1 + , （3） x x x e cosπ d 1 0 π  , （4） x x x x x ( 3 e ) d 1 0 3 3  + + . 解：（1） x x x (5 1)e d 4 0 5  + = 5 e (5 1)d 5 4 0 x x  + =  + − + 1 0 5 1 0 5 d(5 1) 5 e (5 1) 5 e x x x x = 5 1 0 5 5 e 5 e 5 6e 1 − = − x . (2) ln( 2x 1)dx 2e 1 + = ln(2 1) d(ln(2 1)) 2e 1 2e + 1 − +  x x x x x x x d 2 1 2 2e ln( 4e 1) ln 3 2e 1 + = + − − = 2e ln( 4e +1) − ln 3 − x x )d 2 1 1 (1 2e 1 + − = 2e ln( 4e +1) − ln 3 − ( ) 2e 1 ln 2 1 ) 2 1 (x − x + ( ) ln 3 2e 1 2 3 )ln 4e 1 2 1 = (2e + + − − + . (3) x x x e cosπ d 1 0 π  = π sin π e d 1 0 π x x  x x x x  de π sin π e sin π π 1 1 0 1 0 π  = − =0 x x x e sin π d 1 0 π  − = ) π cosπ e d( 1 0 π x x − −  x x x x  de π cosπ e cosπ π 1 1 0 1 0 π  = − = − (e +1) − π 1 π x x x e cosπ d 1 0 π  移项合并得 x x x e cosπ d 1 0 π  (e 1) 2π 1 π = − + . （4） x x x x x ( 3 e ) d 1 0 3 3  + + e ) 3 1 ln 3 3 4 d( 3 1 0 4 x x x = x + +   = + + − + + 1 0 3 4 1 0 3 4 e )d 3 1 ln 3 3 4 e ) ( 3 1 ln 3 3 4 ( x x x x x x x x

3l3-22314 4h33 第四节广义积分 思考题: 1.下列解法是否正确?为什么? dx=In x=hn 2-In1=h2 答:不正确因为在-1,2]上存在无穷间断点x=0,∫d不能直接应用 Newton- Leibniz公式计算,事实上, d dx+ dx + lim E1→0°J-1 lim bn(-xJF+ lim hn xpe =lmhE1+h2-lmE2不存在, 故 发散 2.指出下面广义积分的计算错误: e dx=lim dx=-lin lim(1-e 答:本题计算错误在于lneb=0,因为lmeb=0,而lneb=-∞,故lneb 不存在,从而edx发散 习作题: 1研究广义积分∫dx的敛散性 解: lmn-lim=+∞ dx发散 2.计算广义积分(x-4)3d

= 45 14 e 9 2 ln 3 3ln 3 2 e ) 9 1 ln 3 3 20 e ( 3 1 ln 3 3 4 1 3 2 1 0 3 2 5 3 + + − + + − + + = x x x . 第四节 广义积分 思考题: 1. 下列解法是否正确？为什么？ d ln| | ln 2 ln1 ln 2 1 2 1 2 1 = = − = − − x x x . 答：不正确.因为 x 1 在[ −1， 2 ]上存在无穷间断点 x = 0 ， − 2 1 d 1 x x 不能直接应用 Newton −Leibniz 公式计算，事实上， − 2 1 d 1 x x = − 0 1 d 1 x x +  2 0 d 1 x x =  − → − + 1 1 0 1 d 1 lim   x x + → +  2 2 0 2 d 1 lim   x x =   1 1 1 0 lim ln( )   − − → − + x +   2 0 2 2 lim ln   x → + = 1 0 lim ln 1   → + + ln 2 − 2 0 2 lim   → + 不存在, 故 − 2 1 d 1 x x 发散. 2. 指出下面广义积分的计算错误: e d lim e d lim e lim (1 e ) 1 0 1 0 0 0 = = − = − = − = − → − → − →    b b b x b b x b x x x . 答：本题计算错误在于 lim e = 0 − → b b ，因为 lim e = 0 − →+ b b ，而 = − − →− b b lim e ，故 b b − → lim e 不存在，从而   0 e dx x 发散. 习作题： 1. 研究广义积分  + 0 2 d 1 x x 的敛散性. 解：   + 0 2 d 1 x x = − = − = + → →+ + + x x x x x 1 lim 1 ) lim 1 ( 0 0 ,   + 0 2 d 1 x x 发散. 2. 计算广义积分 (x 4) dx 6 0 3 2  − −

2 解:(x-4)3dx 3(x-4)5+3x-4)5=32-0+0-3y4=32+4) 3.计算广义积分[e-10d 解 0-( 100 100100 4计算广义积分∫ 0100+x o 100+r2 lo arctan=I

解： (x 4) dx 6 0 3 2  − − = (x 4) dx 6 4 3 2  − − + (x 4) dx 4 0 3 2  − − = 3( 4) 3( 4) 3 2 0 0 3 4 3( 2 4) 3 3 3 3 4 0 3 1 6 4 3 1 x − + x − =  − + − − = + . 3. 计算广义积分 x x e d 1 100  + − . 解： x x e d 1 100  + − = 100 100 1 100 e 100 1 ) 100 e 0 ( 100 e − − + − − = − − = x . 4. 计算广义积分  + 0 + 2 100 d x x . 解：  + 0 + 2 100 d x x = 20 π 10 arctan 10 1 0 = + x