北京交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 随机变量及其分布（2.4）连续型随机变量的概率密度

§4连续型随机变量的概率密度 概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布 「备]返回主目录

§4 连续型随机变量的概率密度 概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量的概念与性质 定义如果对于随机变量X的分布函数F(x) 存在非负函数f(x),使得对于任意 实数x,有F(x)=f(t, 则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称 为X的概率密度函数简称概率密度 连续型随机变量X由其密度函数唯一确定 「]返回主目录

一.连续型随机变量的概念与性质 §4 连续型随机变量的概率密度 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)， 存在非负函数 f (x)，使得对于任意 实数 x，有 则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称 为X 的概率密度函数,简称概率密度. − = x F(x) f (t)dt, 连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定． 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 由定义知道,概率密度fx)具有以下性质: f(x)≥0 .f() f(xdx=l 「]返回主目录

§4 连续型随机变量的概率密度 由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质： 1 ( ) 0. 0 f x  2 ( ) 1. 0 =   − f x dx f (x) 0 x 1 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 0P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1) )=.f(x)txx≤x) r x 49若f(x)在点x处连续,则有 F(x)=f(x) 「备]返回主目录

( ) .( ) 3 { } ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 0 2 1 f x dx x x P x X x F x F x x x =    = −  f (x) 0 x 1 x 2 x ( ) ( ). 4 ( ) 0 F x f x f x x  = 若 在点 处连续，则有 §4 连续型随机变量的概率密度 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 注意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变 量分布律的性质非常相似,但是,密度函数不是 概率! 我们不能认为:P(x=a}=(a) 连续型随机变量的一个重要特点 设X是连续型随机变量,则对任意的实数a, 有 PIX 0 「]返回主目录

注 意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变 量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是 概率！ 我们不能认为： PX = a= f (a) ！ §4 连续型随机变量的概率密度 设X 是连续型随机变量，则对任意的实数a， 有 PX = a= 0 连续型随机变量的一个重要特点 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 证明 = → =吧Jb=<X<0 lim f( dx=0 1 所以有 PX=a=0 「备]返回主目录

PX = a       = −   → X a n P a n 1 lim §4 连续型随机变量的概率密度 证明： 所以有 PX = a= 0  ( ) = 0 − → = a a n n f x dx 1 lim 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 说 (1).由上述性质可知,对于连续型随机变量,我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义; 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x), 则X在任意区间G(G可以是开区间,也可以是 闭区间,或半开半闭区间;可以是有限区间, 也可以是无穷区间)上取值的概率为, P{xeG}=∫八xk 「]返回主目录

说 明 ⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题． §4 连续型随机变量的概率密度 若已知连续型随机变量X的密度函数为f (x)， 也可以是无穷区间）上取值的概率为， 闭区间，或半开半闭区间；可以是有限区间， 则X 在任意区间G（G可以是开区间,也可以是   ( )   = G P X G f x dx 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 例1 设ⅹ是连续型随机变量,其密度函数为 f(x)= 4x-2x)01 解 (1).由密度函数的性质 ∫/(x 「备]返回主目录

例 1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 ( ) ( )    −   = 0 其它 4 2 0 2 2 c x x x f x 解： ⑴．由密度函数的性质 求：⑴．常数c； ⑵．PX 1． ( ) =1  + − f x dx §4 连续型随机变量的概率密度 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 例1(续) 得1=「/(=(x+/(x+∫ ∫x=2x3)=42x2 2 所以, 2.P(x>1}=∫(x=/(x+f( 奩]返回主目录

例 1（续） ( )  + − 得 1 = f x dx ( )  = − 2 0 2 c 4x 2x dx 2 0 2 3 3 2 2       = c x − x c 3 8 = 8 3 所以， c =   ( )  +  = 1 ⑵．P X 1 f x dx ( ) ( )   + = + 2 2 1 f x dx f x dx ( ) ( ) ( )    + − = + + 2 2 0 0 f x dx f x dx f x dx §4 连续型随机变量的概率密度 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 例1(续) x-2x2 dx 8 2 2x 8 「备]返回主目录

例 1（续） ( )  = − 2 1 2 4 2 8 3 x x dx 2 1 2 3 3 2 2 8 3       = x − x 2 1 = §4 连续型随机变量的概率密度 返回主目录