北京交通大学：2002-2003学年第二学期概率统计（B）期末考试试卷答案

2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 2002-2003学年第二学期概阜论与教狸统计(B)期水考试试卷答食 本题满分35分,共有5道小题,每道小题7分) ,设A、B、C是三个随机事件,且P()=P(B)=P)=,P(4B)=6,P(BC)= P(AC)=0.试求A、B、C这三个随机事件中至少有一个发生的概率 解 所求概率为P(A∪B∪C).由概率的加法公式得 P(AUBUC)=P(A)+P(B)+(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+(ABC) 由于 ABC CAC,由概率的单调性、非负性及题设中的条件,得0≤P(ABC)≤P(AC) 0≤P(ABC)≤P(AC)=0,所以P(ABC)=0 因此,P(A∪B∪C=P(小)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(4BC) 120 2.一座20层的高楼的底层电梯上了10位乘客,乘客从第2层起开始离开电梯,每一名乘客在各层 离开电梯是等可能的,求没有两位乘客在同一层离开的概率 解 设A=段有两位乘客在同一层离开} 每一位乘客从第2层至第20层的任何一层离开电梯是等可能的,因此每一位乘客有19种选法,20位 乘客共有190方法(样本点总数) 如果没有两位乘客在同一层离开电梯,则从19层中任意选出10层,让这10位乘客在这10层中每层 离开1人,有方法P种(A事件所含样本点数) 所以,P(小)=P=0054675854 3.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 s-y 0<x< y 0其它 第1页共9页

2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 1 页 共 9 页 2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 一．（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分）， 1．设 A 、 B 、 C 是三个随机事件，且 ( ) ( ) ( ) 5 1 P A = P B = P C = ， ( ) 6 1 P AB = ， ( ) 8 1 P BC = ， P(AC) = 0 ．试求 A 、 B 、C 这三个随机事件中至少有一个发生的概率． 解： 所求概率为 P(A B C) ．由概率的加法公式得 P(ABC) = P(A)+ P(B)+ P(C)− P(AB)− P(BC)− P(AC)+ P(ABC)． 由于 ABC  AC ，由概率的单调性、非负性及题设中的条件，得 0  P(ABC)  P(AC)． 0  P(ABC)  P(AC) = 0 ，所以 P(ABC) = 0． 因此， P(ABC) = P(A)+ P(B)+ P(C)− P(AB)− P(BC)− P(AC)+ P(ABC) 120 53 0 0 8 1 6 1 3 1 5 1 5 1 = + + − − − + = ． 2．一座 20 层的高楼的底层电梯上了 10 位乘客，乘客从第 2 层起开始离开电梯，每一名乘客在各层 离开电梯是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率． 解： 设 A = 没有两位乘客在同一层离开 每一位乘客从第 2 层至第 20 层的任何一层离开电梯是等可能的，因此每一位乘客有 19 种选法，20 位 乘客共有 10 19 方法（样本点总数）． 如果没有两位乘客在同一层离开电梯，则从 19 层中任意选出 10 层，让这 10 位乘客在这 10 层中每层 离开 1 人，有方法 10 P19 种（ A 事件所含样本点数）． 所以， ( ) 0.054675854 1910 10 19 = = P P A ． 3．设二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为 ( )      = − 0 其它 0 , e x y f x y y

2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 试求E(X) 解 E(x)=「∫x(x,y)h dx lxe-dv= lxe-dx=1 4.设随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,并且E(Xx)=3,D(X)=,试求常数a与b 因为随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,所以E(x)=2+b,Dx)=0=y 12 由题设条件E(Xx)=3,D(X)=,得方程组 a ,解此方程组,得a=1,b=5 12 5.设总体X的密度函数为 ()=2 -x)00是未知参数.(X1,X Xn)是取自该总体中的一个样本,试求O的矩估计 因为E(x)=x(xx≈了6x2(0-x) 所以,有O=2E(x)将E(X)替换成样本均值X,得0的矩估计量为 6=2X (本题满分45分,共有5道小题,每道小题9分) 6.根据以往的考试结果分析,努力学习的学生中有90%的可能考试及格,不努力学习的学生中有90% 的可能考试不及格.据调查,学生中有90%的人是努力学习的,试问: 第2页共9页

2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 2 页 共 9 页 试求 E(X )． 解： ( ) ( )   + − + − E X = xf x, y dxdy 1 0 0 = = =    + − + − + dx xe dy xe dx x x y 4．设随机变量 X 服从区间 (a, b) 上的均匀分布，并且 E(X ) = 3， ( ) 3 4 D X = ，试求常数 a 与 b ． 解： 因为随机变量 X 服从区间 (a, b) 上的均匀分布，所以 ( ) 2 a b E X + = ， ( ) ( ) 12 2 b a D X − = ． 由题设条件 E(X ) = 3， ( ) 3 4 D X = ，得方程组 ( )       = − = + 3 4 12 3 2 2 b a a b ，解此方程组，得 a =1，b = 5． 5．设总体 X 的密度函数为 ( ) ( )     −   = 0 其它 0 6 3    x x x f x 其中   0 是未知参数． ( ) X X Xn , , , 1 2  是取自该总体中的一个样本，试求  的矩估计． 解： 因为 ( ) ( ) ( ) 2 6 0 2 3     = = − =   + − E X xf x dx x x ． 所以，有  = 2E(X) ．将 E(X ) 替换成样本均值 X ，得  的矩估计量为  = 2X ． 二．（本题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题 9 分）， 6．根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有 90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有 90% 的可能考试不及格．据调查，学生中有 90%的人是努力学习的，试问：

2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 (1)考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人? 解 设A=被调查的学生是努力学习的 B=彼被调查的学生考试及格 由题设,有P(4)=09,P()=01:P(B2=09,P因)=09 要求的概率为P团)和八(4B).由B公式,有 P(AP(BA 0.1×(1-0.9 P((B+PGP(B1)09×09+0.1×(-09) 0.012195 (2)P(AB) P(4)P园4) 09×(1-0.9) P()P(园小+P((园7)09×0-09)+01×09 0.5 7.盒子中有5个球,编号分别为,2,3,4,5.从中随机取出3个球,令X:取出的3个球中 的最大号码.(1)求随机变量X的分布律.(2)求随机变量X的分布函数. 解 (1)X的取值为3,4,5.且 P{X=3} P{X=4} PX 所以,随机变量X的分布律为: P 6 10 10 (2)随机变量X的分布函数为: 0x<3 3≤x<4 4≤x<5 10 8.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 y0<y<x<1 0 其它 第3页共9页

2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 3 页 共 9 页 ⑴ 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？ ⑵ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？ 解： 设 A = 被调查的学生是努力学习的， B = 被调查的学生考试及格． 由题设，有 P(A) = 0.9 ， P(A) = 0.1 ； P(B A) = 0.9 ， P(B A) = 0.9． 要求的概率为 P(A B) 和 P(AB) ．由 Bayes 公式，有 ⑴ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.012195 0.9 0.9 0.1 1 0.9 0.1 1 0.9 =  +  −  − = + = P A P B A P A P B A P A P B A P A B ． ⑵ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 0.9 1 0.9 0.1 0.9 0.9 1 0.9 =  − +   − = + = P A P B A P A P B A P A P B A P A B ． 7．盒子中有 5 个球，编号分别为 1, 2, 3, 4, 5 ．从中随机取出 3 个球，令 X ：取出的 3 个球中 的最大号码．⑴ 求随机变量 X 的分布律．⑵ 求随机变量 X 的分布函数． 解： ⑴ X 的取值为 3, 4, 5 ．且   10 1 1 3 3 5 = = = C P X ，   10 3 4 3 5 2 3 = = = C C P X ，   10 6 5 3 5 2 4 = = = C C P X ． 所以，随机变量 X 的分布律为： X 3 4 5 P 10 1 10 3 10 6 ⑵随机变量 X 的分布函数为： ( )               = 1 5 4 5 10 4 3 4 10 1 0 3 x x x x F x ． 8．设二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为 ( )       = 0 其它 0 1 , 2 cx y y x f x y

2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 )试求常数c:(2)求条件密度函数f12() 解 )由联合密度函数的性质,有「「f(,y)kh=1,因此 1=∫J/(xykb=)=x= C= 10 (2)当0<x<1时, f()=了/x,yb=-10x3=5x 所以随机变量X的边缘密度函数为fx(x)= 5x+0<X<1 0其它 所以当0<x<1时, (lx) 0<y<x (x)0其它 9.一报刊亭出售4种报纸,它们的价格分别为06,1.0,1.5,1.8(元),而且每份报纸售出的概 率分别为0.25,0.3,0.35,0.1.若某天售出报纸400份,试用中心极限定理计算该天收入至少450元 的概率 标准正态分布N(0,1)的分布函数Φ(x)的值: 138 141 14 1.50 1.53 Φp(x) 0.9162 92070925109292 09332 0.9370 设x:该天售出第份报纸的收入.(=1,2,…400) 则Xk的分布律为 X 0.6 1.5 0.25 0.3 0.35 E(X)=06×025+10×03+1.5×0.35+1.8×0.1=1.155 第4页共9页

2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 4 页 共 9 页 ⑴ 试求常数 c ；⑵ 求条件密度函数 f (y x) Y X ． 解： ⑴ 由联合密度函数的性质，有 ( , ) = 1   + − + − f x y dxdy ，因此 ( ) 2 10 1 , 1 0 4 0 2 1 0 c x dx c f x y dxdy dx cx ydy x = = = =      + − + − ， 所以， c =10． ⑵ 当 0  x 1 时， ( ) ( ) 4 0 2 f x f x, y dy 10x ydy 5x x X = = =   + − 所以随机变量 X 的边缘密度函数为 ( )      = 0 其它 5 0 1 4 x x f x X ． 所以当 0  x 1 时， ( ) ( ) ( )       = = 0 其它 0 2 , 2 y x x y f x f x y f y x X Y X 9．一报刊亭出售 4 种报纸，它们的价格分别为 0.6, 1.0, 1.5, 1.8 （元），而且每份报纸售出的概 率分别为 0.25, 0.3, 0.35, 0.1 ．若某天售出报纸 400 份，试用中心极限定理计算该天收入至少 450 元 的概率． 标准正态分布 N(0, 1) 的分布函数 (x) 的值： x 1.38 1.41 1.44 1.47 1.50 1.53 (x) 0.9162 0.9207 0.9251 0.9292 0.9332 0.9370 解： 设 X k ：该天售出第 k 份报纸的收入． (k =1, 2,  . 400) 则 X k 的分布律为 X k 0.6 1.0 1.5 1.8 P 0.25 0.3 0.35 0.1 E(Xk ) = 0.60.25 +1.00.3+1.50.35 +1.80.1 =1.155

2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 E(x2)=062×025+102×03+152×035+182×01=15015 所以,D(x)=E(x2)-[E(x4)=15015-155=0167475 令X表示该天的总收入,则有X=∑X 由独立同分布场合下的大数定律,有 ∑X-400×1.155 P{x≥450}=P{∑X2 450-400×1.155 400×0.167475√400×0.167475 X-400×1.155 0是未知参数,(X1,X2,…,Xn)是取 自该总体的一个样本()求出O的极大似然估计量:(2)求出a2=D(x)的极大似然估计量 (1)似然函数为 L()=f(x;0)-1 00越小,则L()的值就越大.另一方面,未知参数O要满足条件 0mx{x,x2,…,xn},因此取日=mx{x1,x2,…,xn}即可使似然函数L()达到最 大 所以,O的极大似然估计量为O=max{x1,X2 (2由于口2=D(x)=,而且函数2=在b>0时是严格增加的,具有单值的反函数所以 由极大似然估计量的性质,知a2、O2 的极大似然估计量为 max 第5页共9页

2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 5 页 共 9 页 ( ) 0.6 0.25 1.0 0.3 1.5 0.35 1.8 0.1 1.5015 2 2 2 2 2 E Xk =  +  +  +  = ， 所以， ( ) ( )  ( ) 1.5015 1.155 0.167475 2 2 2 D Xk = E Xk − E Xk = − = 令 X 表示该天的总收入，则有 = = 400 k 1 X X k ． 由独立同分布场合下的大数定律，有                  −    −  =        =    = = 400 0.167475 450 400 1.155 400 0.167475 400 1.155 450 450 400 1 400 1 k k k k X P X P X P 1.466 1 ( 1.466) 0.9292 400 0.167475 400 1.155 1 400 1  −  − =                −  −  = −  k= Xk P ． 10．设总体 X 服从区间 (0, ) 上的均匀分布，其中   0 是未知参数， ( ) X X Xn , , , 1 2  是取 自该总体的一个样本．⑴ 求出  的极大似然估计量；⑵ 求出 = D(X ) 2  的极大似然估计量． 解： ⑴ 似然函数为 ( ) ( ) n n i i L f x    1 ; 1 =  = = ( x (i n)) i 0   , =1, 2,  , 由 L() 的构造可知，若   0 越小，则 L() 的值就越大．另一方面，未知参数  要满足条件： x (i n) i 0  , =1, 2,  , 所以，   maxx1 , x2 ,  , xn  ，因此取  = maxx1 , x2 ,  , xn  即可使似然函数 L() 达到最 大． 所以，  的极大似然估计量为  = maxX1 , X2 ,  , Xn ． ⑵ 由于 ( ) 12 2 2   = D X = ，而且函数 12 2 2   = 在   0 时是严格增加的，具有单值的反函数．所以 由极大似然估计量的性质，知 12 2 2   = 的极大似然估计量为 maxX , X , , Xn  12 1 ˆ 1 2  2 =  ．

2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 三.(本题满分20分,共有2道小题,每道小题10分) 1l.设A与B是两个随机事件,且P(4)>0,P(B)>0.定义随机变量X、Y如下: 若事件A发生 若事件B发生 X o若事件4不发生 l0若事件B不发生 证明:如果X与Y不相关,则X与Y相互独立 如果X与Y不相关,则E(XY)=E(X)E() If E(xY)=P(X=l, Y=1=P(AB), E(X)=P(X=1=P(A, E(r)=P(y=1=P(B) 因此有,P(B)=P(4)P(B),这表明,随机事件A与B相互独立 因此,随机事件A与B相互独立:随机事件A与B相互独立:随机事件A与B相互独立 由随机事件互与B相互独立,得P{X=0.,Y=1}=P{x=0}Py=1 由随机事件A与B相互独立,得P{X=1,Y=0}=P{x=1}Py=0} 由随机事件与B相互独立,得P{X=0,Y=0}=P{X=0Py=0} 即,P{x=x,y=y,}=P{x=xp=y}(x,=0,1y1=0,1) 这表明,随机变量X与Y相互独立 12.设总体X存在二阶矩,记E(x)=μ,D(x)=a32.(X2X Xn)是取自该总体的 个样本,S2是样本方差.证明:E(S2)=a 解 E(s)=E∑(x ∑(x-x) (x,-)-(x-) n40-0+x-3-n- 第6页共9页

2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 6 页 共 9 页 三．（本题满分 20 分，共有 2 道小题，每道小题 10 分）， 11．设 A 与 B 是两个随机事件，且 P(A)  0 ， P(B)  0 ．定义随机变量 X 、Y 如下：    = 若事件 不发生 若事件 发生 A A X 0 1 ，    = 若事件 不发生 若事件 发生 B B Y 0 1 ． 证明：如果 X 与 Y 不相关，则 X 与 Y 相互独立． 解： 如果 X 与 Y 不相关，则 E(XY) = E(X )E(Y)． 而 E(XY) = PX =1, Y =1= P(AB)， E(X) = PX =1= P(A)， E(Y) = PY =1= P(B)． 因此有， P(AB) = P(A)P(B) ，这表明，随机事件 A 与 B 相互独立． 因此，随机事件 A 与 B 相互独立；随机事件 A 与 B 相互独立；随机事件 A 与 B 相互独立． 由随机事件 A 与 B 相互独立，得 PX = 0, Y =1= PX = 0PY =1 ； 由随机事件 A 与 B 相互独立，得 PX =1, Y = 0= PX =1PY = 0 ； 由随机事件 A 与 B 相互独立，得 PX = 0, Y = 0= PX = 0PY = 0 ； 即， PX = xi , Y = y j= PX = xiPY = y j ( = 0, 1; = 0, 1) i j x y ． 这表明，随机变量 X 与 Y 相互独立． 12．设总体 X 存在二阶矩，记 E(X ) =  ， ( ) 2 D X =  ．( ) X X Xn , , , 1 2  是取自该总体的一 个样本， 2 S 是样本方差．证明： ( ) 2 2 E S =  ． 解： ( ) ( ) ( )       − −  =      − − =   = = n i i n i i E X X n X X n E S E 1 2 1 2 2 1 1 1 1 (( ) ( ))       − − − − = = n i E Xi X n 1 2 1 1   (( ) ( ) ( )( ))      − + − − − − − = = n i E Xi X X Xi n 1 2 2 2 1 1     ( ) ( ) ( ) ( )      − + − − − − − =   = = n i n i E Xi n X X Xi n 1 1 2 2 2 1 1    

2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 ∑E(X1-A)-nE(x-p) E(X-E(X )-nEX-EX) D(x, )-nD(r n0-0-|=σ 第7页共9页

2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 7 页 共 9 页 ( ) ( )       − − − − = = n i E Xi n X n 1 2 2 1 1   ( ) ( )       − − − − = = n i E Xi nE X n 1 2 2 1 1   ( ( )) ( ( ))       − − − − = = n i E Xi E Xi nE X E X n 1 2 2 1 1 ( ) ( )      − − = = n i D Xi nD X n 1 1 1 ( ) 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1      − = − =        −  − = = n n n n n n i