深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 §4 相互独立的随机变量 §5 两个随机变量的函数的分布

§4相互独立的随机变量

2 §4 相互独立的随机变量

定义设F(xy)及F(x),F1()分别是二维随机变 量(X,Y的分布函数及边缘分布函数.若对于 所有x,y有 P(XSr, Y<y =P(X<x p(Ysy,,(4.1) 即F(x,y)=F(x)F0y) (4.2 则称随机变量λ和V是相互独立的

3 定义 设F(x,y)及FX (x),FY (y)分别是二维随机变 量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数. 若对于 所有x,y有 P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}, (4.1) 即 F(x,y)=FX (x)FY (y), (4.2) 则称随机变量X和Y是相互独立的

设(X,Y)是连续型随机变量,f(xy),f(x),f()分 别为(X,的概率密度和边缘概率密度,则X和 Y相互独立的条件(42)等价于 fx,y)=(x)/(y) (4.3) 几乎处处成 注:此处"几乎处处成立"的含义是:在平面上 除去"面积"为零的集合以外,处处成立

4 设(X,Y)是连续型随机变量, f(x,y), fX (x), fY (y)分 别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度, 则X和 Y相互独立的条件(4.2)等价于 f(x,y)=fX (x)fY (y) (4.3) 几乎处处成立. 注: 此处"几乎处处成立"的含义是: 在平面上 除去"面积"为零的集合以外, 处处成立

当(x,是离散型随机变量时,X和Y相互独立 的条件(4,2)式等价于:对于(X,Y)的所有可能取 的值(x2y)有 P{X=x1,}=P=x1P{=.(4.4)

5 当(X,Y)是离散型随机变量时, X和Y相互独立 的条件(4.2)式等价于: 对于(X,Y)的所有可能取 的值(xi ,yj )有 P{X=xi ,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}. (4.4)

例如§1例2中的随机变量X和Y,由于 2e (2x+y) x>0,1>0 f(,v)= 0 其它 2e2x,x>0. f(x)= 0.其 了fy(x) e,y>0, 0 其它, 故有f(x2y)=/(x)/(y),因而X,Y是相互独立的

6 例如 §1例2中的随机变量X和Y, 由于 故有 f(x,y)=fX (x)fY (y), 因而X,Y是相互独立的.     =     =      = − − − + 0, , e , 0, ( ) 0, , 2e , 0, ( ) 0, . 2e , 0, 0, ( , ) 2 (2 ) 其它 其它 其它 y f x x f x x y f x y y Y x X x y

又如,若X,Y具有联合分布律 Y 0 PiYi 1/6 2/6 1/2 1/6 2/6 1/2 PX=i 1/3 2/3 则X,Y也是相互独立的 再如§2例1中的随机变量F和D,由于 P{D=1,F=0}=110≠P{D=1}P{F=0}.因而F和 D不是相互独立的

7 又如, 若X,Y具有联合分布律 Y X 0 1 P{Y=j} 1 1/6 2/6 1/2 2 1/6 2/6 1/2 P{X=i} 1/3 2/3 1 则X,Y也是相互独立的. 再如§2例1中的随机变量F和D, 由于 P{D=1,F=0}=1/10P{D=1}P{F=0}. 因而F和 D不是相互独立的

二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x, y) p 2兀1O2V1-p 2(1-p2) (x-A4)y-A2)(-2) 其边缘概率密度/(x)30)的乘积为 f(xf(y) 2π0、、 (x-1)2,(y-2) 易证X和Y独立的充要条件是p=0

8 二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为 其边缘概率密度fX (x),fY (y)的乘积为 . ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2π 1 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2      −  + − − −       − − − − =              x y y x f x y . ( ) ( ) 2 1 exp 2π 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2             − + − = −       x y f x f y X Y 易证X和Y独立的充要条件是=0

例一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布 在7-~9时,设他们到达的时间相互独立,求他们 到达时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率 解设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公 室的时间,由假设X和Y的概率密度分别为 /4.8<x<12 f(x= 几/2,7<y<9 0,其它 fy (y) 0,其它

9 例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8~12时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布 在7~9时, 设他们到达的时间相互独立, 求他们 到达时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率. 解 设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公 室的时间, 由假设X和Y的概率密度分别为      =      = 其它 0, 其它 1/ 2,7 9, ( ) 0, 1/ 4,8 12, ( ) y f y x f x X Y

因为X,Y相互独立,故(X,Y的概率密度为 f(x,y=fux)fy(y) j1/88<x<12,7<y<9 0,其 按题意需要求概率P{X-≤1/12}.画出区域: x-y1/12,以及长方形[8x-12;7<y<9],它们 的公共部分是四边形BCCB,记为G.显然仅当 (X,Y)取值于G内,他们两人到达的时间相差才 不超过1/12小时.因此,所求的概率为

10 因为X,Y相互独立, 故(X,Y)的概率密度为        = = 0, . 1/8,8 12,7 9, ( , ) ( ) ( ) 其它 x y f x y f x f y X Y 按题意需要求概率P{|X−Y|1/12}. 画出区域: |x−y|1/12, 以及长方形[8<x<12; 7<y<9], 它们 的公共部分是四边形BCC'B',记为G. 显然仅当 (X,Y)取值于G内, 他们两人到达的时间相差才 不超过1/12小时. 因此, 所求的概率为

y-x B 9 101112 =x=12 yx=-12

11 y=x y−x=12 y−x=−12 7 8 9 10 11 12 8 9 B B' A C' C G