2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 2003-2004学年第一学期概阜统计重修潺考试试卷答豪 计算题(本题满分30分,共有5道小题,每道小题6分) 设A、B是随机事件,P(小)=07,P(4-B)=03,求P(4B) 由于A=AB∪AB,所以P(4小)=P(AB)+P(4B)=P(AB)+P(4-B) 所以,P(AB)=P()-P(-B)=07-03=04, P(4B)=1-P(AB)=1-04=06 2.设连续型随机变量x的密度函数为/()==e-2-(-m<x<+∞),求E(x)与D(x) 因为/(吵人、=1 (x-1)2 0<x<+0 2X2 所以,X~M1, 所以,E(x)=1,D(x)=1 3.袋中有红球4只,黑球3只,从中任意取出2只,求这2只球的颜色不相同的概率 设A=任取2只球,颜色不相同,则 P(4)=C2=12=4 4.设随机变量X服从区间(O,2)上的均匀分布,求 D( 由于随机变量X服从区间(0,2)上的均匀分布,所以E(x)=1,D(x)=2=1 第1页共8页
2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 第 1 页 共 8 页 2003-2004 学年第一学期概率统计重修课考试试卷答案 一．计算题（本题满分 30 分，共有 5 道小题，每道小题 6 分）． 1．设 A 、 B 是随机事件， P(A) = 0.7， P(A− B) = 0.3 ，求 P(AB)． 解： 由于 A = AB AB ，所以 P(A) = P(AB)+ P(AB)= P(AB)+ P(A− B) 所以， P(AB)= P(A)−P(A−B)= 0.7−0.3= 0.4 ， P(AB)=1− P(AB) =1− 0.4 = 0.6． 2．设连续型随机变量 X 的密度函数为 ( ) 2 1 1 2 − + − = x x f x e (− x +) ，求 E(X ) 与 D(X) ． 解： 因为 ( ) ( ) − − = = − + − 2 2 2 1 2 1 2 1 exp 2 1 2 1 2 1 x f x e x x (− x +) 所以， 2 1 X ~ N 1, 所以， E(X )=1， ( ) 2 1 D X = ． 3．袋中有红球 4 只，黑球 3 只，从中任意取出 2 只，求这 2 只球的颜色不相同的概率． 解： 设 A=任取2只球，颜色不相同 ，则 ( ) 7 4 21 12 2 7 1 3 1 4 = = = C C C P A ． 4．设随机变量 X 服从区间 (0， 2) 上的均匀分布，求 ( ) ( ) 2 E X D X ． 解： 由于随机变量 X 服从区间 (0， 2) 上的均匀分布，所以 E(X )=1， ( ) 3 1 12 2 2 D X = = ．
2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 所以,E(x)=D(x)(x)=3+1= 所以 E(x2)44 5.设总体X的密度函数为 ∫(a+1)x0-1为未知参数,(X1,…,X)是从总体X中抽取的一个样本,求a的矩估计量 E(x)=xf(xdx=x(a+1)x"dr=(a+ 1) xadr= 0 +2 得方程E(H)=a+1 ,解方程,得 2E(X) 1-E(X 将x替换成E(X),得a的矩估计量为G2X-1 二.计算题(本题满分40分,共有5道小题,每道小题8分) 6.已知男人中有54%是色盲患者,女人中有0.27%是色盲患者.并且某学校学生中男、女生的比例为 2:1,现从这批学生中随机地选出一人,发现此人是色盲患者,试问此人是男生的概率为多少? 解 设A={选出的学生为男生},B={选出的学生为色盲患者},则由Bcs公式,得 P(B)= P(A)×P(B4) P(4)×P(B+PG×P( ×0.054 =0.975 0.054+-×0.0027 7.设连续型随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx <x< 试求:(1)系数A与B;2).概率P(-1<X<1}:(3)随机变量X的密度函数 第2页共8页
2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 第 2 页 共 8 页 所以， ( ) ( ) ( ) 3 4 1 3 2 2 1 2 E X = D X + E X = + = ． 所以， ( ) ( ) 4 1 3 4 3 1 2 = = E X D X ． 5．设总体 X 的密度函数为 ( ) ( ) + = 0 其它 1 x 0 x 1 f x 其中 −1 为未知参数， ( ) X1，， Xn 是从总体 X 中抽取的一个样本，求 的矩估计量． 解： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 0 1 1 0 + + = = + = + = + + − E X x f x dx x x dx x dx ． 得方程 ( ) 2 1 + + = E X ，解方程，得 ( ) E(X ) E X − − = 1 2 1 ． 将 X 替换成 E(X ) ，得 的矩估计量为 X X − − = 1 2 1 ˆ ． 二．计算题（本题满分 40 分，共有 5 道小题，每道小题 8 分）． 6．已知男人中有 5.4%是色盲患者，女人中有 0.27%是色盲患者．并且某学校学生中男、女生的比例为 2∶1，现从这批学生中随机地选出一人，发现此人是色盲患者，试问此人是男生的概率为多少？ 解： 设 A = 选出的学生为男生 ， B = 选出的学生为色盲患者 ，则由 Bayes 公式，得 ( ) ( ) ( ) P(A) P(B A) P(A) P(B A) P A P B A P A B + = 0.9756 0.0027 3 1 0.054 3 2 0.054 3 2 = + = ． 7．设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x) = A+ Barctan x (− x +) 试求：⑴. 系数 A 与 B ；⑵. 概率 P−1 X 1 ；⑶. 随机变量 X 的密度函数．
2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 解: (1)由imF(x)=1,lmF(x)=0,得 I=lim F(x)=lim(A+Arctan x)=A+B x→+ 0=lim F(x)=lim(A-Barctan x)=A-B x→ A+-B 解方程组 B= A-B=0 所以 F(x)=+- arctan x(-∞<x<+∞) 2丌 -1<X<1 F()-F(-1) +-arctan +-arcta 2 ( 11 丌 xy (3).X的密度函数为 f(x)=F(x)= (∞<x<+∞) 丌1 8.设二维随机变量(X,Y)服从平面区域 +v2≤ 上的均匀分布 1)试求二维随机变量(X,H)的联合密度函数 (2).求随机变量X及Y各自的边缘密度函数 (3)求E(X),E(Y)及E(XY) (4)判断随机变量X与Y是否相互独立?是否不相关? 第3页共8页
2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 第 3 页 共 8 页 解： ⑴. 由 lim ( ) =1 →+ F x x ， lim ( ) = 0 →− F x x ，得 F(x) (A B x) A B x x 2 1 lim lim arctan = = + = + →+ →+ F(x) (A B x) A B x x 2 0 lim lim arctan = = − = − →− →− 解方程组 − = + = 0 2 1 2 A B A B ，得 2 1 A = ， 1 B = 所以， F(x) arctan x 1 2 1 = + (− x +) ⑵. P−1 X 1 = F(1)− F(−1) ( ) − + − = + arctan 1 1 2 1 arctan1 1 2 1 − + − = + 4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 = ⑶. X 的密度函数为 ( ) ( ) 2 1 1 1 x f x F x + = = (− x +)． 8．设二维随机变量 (X, Y) 服从平面区域 ( ) 1 2 2 D = x， y ： x + y 上的均匀分布． ⑴. 试求二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数； ⑵. 求随机变量 X 及 Y 各自的边缘密度函数； ⑶. 求 E(X )， E(Y) 及 E(XY) ； ⑷ 判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立？是否不相关？ 解：
2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 (.平面区域D的面积为丌,所以,二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 D 0(x,y)∈D (2).当-1≤x≤1时, f(x)=「f(x,ykh 所以,随机变量X的边缘密度函数为 fr(x) 1<x 其它 同理,随机变量Y的边缘密度函数为 f()={x y 其它 (3).由对称性,得 E(X)=xf(xxx=20 E()=J dy=0 E(xr)=xyf(x, y)drdy=_Jxydrdy=0 ()由于cov(X,Y)=E(XY)-E(x)E(Y)=0,所以,随机变量X与Y不相关.但是 x,y)≠f()()(x2 所以,随机变量X与Y不相互独立 9.设随机变量X~N(0,1),Y=X2+1,试求随机变量y的密度函数 随机变量X的密度函数为 ∞<x<+∞) 第4页共8页
2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 第 4 页 共 8 页 ⑴．平面区域 D 的面积为 ，所以，二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为 ( ) ( ) ( ) = x y D x y D f x y ， ， 0 1 , ⑵. 当 −1 x 1 时， ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 2 f x f x y dy dy x x x X = = = − − − − + − ， 所以，随机变量 X 的边缘密度函数为 ( ) − − = 0 其它 1 1 1 2 2 x x f x X ； 同理，随机变量 Y 的边缘密度函数为 ( ) − − = 0 其它 1 1 1 2 2 y y f y Y ． ⑶. 由对称性，得 ( ) ( ) 0 1 2 1 1 2 = − = = − + − dx x x E X x f x dx X ( ) ( ) 0 1 2 1 1 2 = − = = − + − dy y y E Y yf y dy Y ( ) ( ) 0 1 , 1 2 2 = = = + + − + − x y E XY xyf x y dxdy xydxdy ⑷ 由于 cov(X, Y) = E(XY)− E(X)E(Y) = 0 ，所以，随机变量 X 与 Y 不相关．但是， f (x y) f (x)f (y) X Y , ( 1) 2 2 x + y 所以，随机变量 X 与 Y 不相互独立． 9．设随机变量 X ~ N(0, 1)， 1 2 Y = X + ，试求随机变量 Y 的密度函数． 解： 随机变量 X 的密度函数为 ( ) 2 2 2 1 x f x e − = (− x +)
2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 设随机变量Y的分布函数为F(),则有 F()=P{≤y}=P{x2+1≤y}=P2{x2xy-l} ①.如果y-1≤0,即y≤1,则有F1()=0: ②.如果y>1,则有 F(y)=P{x2sy-1}=Py-≤x≤y-l dx x2 F()= y 0 所以 2 f()=F()={√2 y 0 frl y> 0 10.某单位有200台分机,每台分机有5%的时间要使用外线通话.假定每台分机是否使用外线是相互 独立的,试用中心极限定理估计该单位至少要装多少条外线,才能以99%以上的概率保证分机使用外线时不 等待 (已知Φ(233=099,其中Φ(x)是标准正态分布N(0,1)的分布函数) 设A={某台分机使用外线},则P()=005 设X:该单位某时刻使用外线的分机数.则X~B(200,0.05) 设需要给单位安装n条外线,则要使分机使用外线时不等待,必须X≤n,所以, P(使用外线时不等待}=P{X≤n} 第5页共8页
2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 第 5 页 共 8 页 设随机变量 Y 的分布函数为 F (y) Y ，则有 ( ) 1 1 2 2 FY y = P Y y = P X + y = P X y − ①. 如果 y −1 0 ，即 y 1 ，则有 FY (y) = 0 ； ②. 如果 y 1 ，则有 ( ) 1 1 1 2 FY y = P X y − = P − y − X y − − − − − − − = = 1 0 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 y y x y x e dx e dx 即 ( ) = − − 0 0 1 2 2 1 0 2 2 y e dx y F y y x Y 所以， ( ) ( ) − = = − − 0 0 1 2 1 1 2 2 2 1 y y y e f y F y y Y Y 即 ( ) = − − − 0 0 1 2 1 1 2 1 y e y y f y y Y ． 10．某单位有 200 台分机，每台分机有 5%的时间要使用外线通话．假定每台分机是否使用外线是相互 独立的，试用中心极限定理估计该单位至少要装多少条外线，才能以 99%以上的概率保证分机使用外线时不 等待． （已知 (2.33) = 0.99 ，其中 (x) 是标准正态分布 N(0，1) 的分布函数．） 解： 设 A = 某台分机使用外线 ，则 P(A) = 0.05 设 X ：该单位某时刻使用外线的分机数．则 X ~ B(200，0.05) ． 设需要给单位安装 n 条外线，则要使分机使用外线时不等待，必须 X n ，所以， P使用外线时不等待 = P X n
2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 X-200×0.05 n-200×0.05 200×005×095√200×005×095 n-200×0.05 n-10 √200×0.05×0.95 √9.5 由题意,P{使用外线时不等待}≥099,即 ≥0.99 9.5 查表,得"=10 所以,n≥2.33×√95+10=1718 因此,至少要装18条外线,才能满足要求 三,计算题(本题满分30分,共有3道小题,每道小题10分) 11.设总体X的密度函数为 f(x)={a3 (0-x)00是未知参数,(X1,…,Xn)是从该总体中抽取的一个样本 (1).求未知参数O的矩估计b (2)求 解: )E(x)=x(k=(6x 所以,=2E(X),将E(x)用样本均值F。1 x来替换,得未知参数的矩估计为 =2X 2.Dl) D2X)=4DF4p(x),而 D(x)=E(x2)-[E(x (-x 22 3 D()=4o(x) 4022 所以 2.设随机变量X与y相互独立,且都服从标准正态分布N(O,1).令随机变量 第6页共8页
2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 第 6 页 共 8 页 − − = 200 0.05 0.95 200 0.05 200 0.05 0.95 X 200 0.05 n P − = − 9.5 10 200 0.05 0.95 n 200 0.05 n 由题意， P使用外线时不等待 0.99 ，即 0.99 9.5 10 − n 查表，得 2.33 9.5 10 n − 所以， n 2.33 9.5 +10 =17.18 因此，至少要装 18 条外线，才能满足要求． 三．计算题（本题满分 30 分，共有 3 道小题，每道小题 10 分）． 11．设总体 X 的密度函数为 ( ) ( ) − = 0 其它 0 6 3 x x x f x ， 其中 0 是未知参数， ( ) X1，， Xn 是从该总体中抽取的一个样本． ⑴. 求未知参数 的矩估计 ˆ ； ⑵. 求 ( ) D ˆ ． 解： ⑴. ( ) ( ) ( ) 2 6 0 3 2 = = − = + − x dx x E X xf x dx ， 所以， = 2E(X) ，将 E(X ) 用样本均值 = = n i Xi n X 1 1 来替换，得未知参数 的矩估计为 ˆ = 2X ⑵. ( ) ( ) ( ) D(X ) n D D X D X 4 2 4 ˆ = = = ，而 ( ) ( ) ( ) 2 2 D X = E X − E X ( ) ( ) 4 20 6 2 2 2 0 3 3 2 2 = − − = = − + − x dx x x f x dx 所以， ( ) ( ) n n D X n D 20 5 4 4 ˆ 2 2 = = = 12．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1) ．令随机变量
2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 Z=√x2+y2 )试求随机变量Z的密度函数f2()(2)试求E(z) 解 (1)由题意,得 fr(x) f() 丌 设随机变量Z=√X2+y2的分布函数为F2(),则 F P1z≤x=PNX 当:≤0时,F()=Px2+y2=≤:=P(2)=0 当:2>0时,F()=Px2+y≤:}=()kh a。 dxdy 作极坐标变换x=rcos6,y=rsn,则有 F2()=defe 2rdr 2 所以,随机变量Z=√x2+y2的分布函数为F2(=) 2 rdr ->0 0 2≤0 所以,随机变量2乙=√x2+y的度函数为/()=F()=x5:>0 z≤0 0)j(k==2== c 3.已知总体X的分布律为 第7页共8页
2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 第 7 页 共 8 页 2 2 Z = X + Y ． ⑴ 试求随机变量 Z 的密度函数 f (z) Z ．⑵ 试求 E(Z)． 解： ⑴ 由题意，得 ( ) 2 2 2 1 x X f x e − = (− x )， ( ) 2 2 2 1 y y f y e − = (− y )． 设随机变量 2 2 Z = X + Y 的分布函数为 F (z) Z ，则 FZ (z) = PZ z= P X +Y z 2 2 当 z 0 时， ( ) ( ) 0 2 2 FZ z = P X +Y z = P = ； 当 z 0 时， ( ) ( ) ( ) + = + = x y z FZ z P X Y z f X x f Y y dxdy 2 2 2 2 + + − = x y z x y e dxdy 2 2 2 2 2 2 1 作极坐标变换 x = r cos, y = rsin ，则有 ( ) − − = = z r z r Z F z d e rdr e rdr 0 2 0 2 2 0 2 2 2 1 所以，随机变量 2 2 Z = X + Y 的分布函数为 ( ) = − 0 0 0 0 2 2 z e rdr z F z z r Z 所以，随机变量 2 2 Z = X + Y 的密度函数为 ( ) ( ) = = − 0 0 0 2 2 z ze z f z F z z Z Z ⑵ ( ) ( ) + − + − + − + − = = = − + 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 E Z zf z dz z e dz ze e dz z z z z 2 2 2 2 1 2 0 2 2 2 = = = = + − − + − e dz e dz z z ． 13．已知总体 X 的分布律为
2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 X 2 3 P 20(-O) 其中0<6<1是未知参数,(Xx1,X2,X3)是从中抽取的一个样本,试求当样本观测值为 (x1=1,x2=2,x3=1)时,参数O的最大似然估计值 解 P(X1=1,X2=2,X3=1)=P(X1=1)P(X2=2)P(X3=1) 02.20(1-0).02=20(1-0) 所以当样本观测值为(x1=1,x2=2,x3=1)时,似然函数为 L()=263(1-0) 所以,L(O)=50(5-60) 令L(O)=0,得50(5-60)=0,由此得似然函数L()在区间(,1)上的驻点为=2.并且B是似然 函数l(0)在区间(0,)上的唯一驻点,因此此时似然函数L(0)的最大值点为=5,即当样本观测值为 (x=1,x2=2,x=1)时,参数O的最大似然估计值为6=5 第8页共8页
2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案 第 8 页 共 8 页 X 1 2 3 P 2 2(1−) ( ) 2 1− 其 中 0 1 是未知参数， ( ) 1 2 3 X , X , X 是 从 中 抽 取 的 一 个 样 本 ， 试 求 当 样 本 观 测 值 为 ( 1, 2, 1) x1 = x2 = x3 = 时，参数 的最大似然估计值． 解： ( 1, 2, 1) ( 1) ( 2) ( 1) P X1 = X2 = X3 = = P X1 = P X2 = P X3 = = 2(1− ) = 2 (1− ) 2 2 5 ． 所以当样本观测值为 ( 1, 2, 1) x1 = x2 = x3 = 时，似然函数为 ( ) = 2 (1− ) 5 L 所以， ( ) 5 (5 6 ) 4 L = − ． 令 L( ) = 0 ，得 5 (5 6 ) 0 4 − = ，由此得似然函数 L() 在区间 (0, 1) 上的驻点为 6 5 0 = ．并且 0 是似然 函数 L() 在区间 (0, 1) 上的唯一驻点．因此此时似然函数 L() 的最大值点为 6 5 0 = ．即当样本观测值为 ( 1, 2, 1) x1 = x2 = x3 = 时，参数 的最大似然估计值为 6 5 ˆ = ．