深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征 §3 协方差及相关函数 §4 矩、协方差矩阵

例1设随机变量X具有数学期望E(X)=4方差 D(X)=a3≠0.记X=(x1)a 则E(X)=E(X-1)=[E(X)-A=0; D(X)=E(X"2)-[E(x')2=E X-u E[(X-1)]= 即x=x=/的数学期望为0.方差为 称X*为X的标准化变量

2 例1 设随机变量X具有数学期望E(X)=m, 方差 D(X)=s20. 记X *=(X-m)/s . 0, 1. [( ) ] 1. 1 ( ) ( ) [ ( )] * 2 2 2 2 2 * *2 * 2 即 的数学期望为 方差为 s m s s m s s m - = = - = =               - = - = X X E X X D X E X E X E [ ( ) ] 0; 1 ( ) 1 ( ) * = - = - m = s m s 则 E X E X E X 称X *为X的标准化变量

例2设随机变量X具有(0-1)分布,其分布律为 P{X=0}=1-p,P{X=1}=p 求D(X 解E()=0×(1-p)+1xp=p E(2)=02×(1-p)+12×p=p 由24)式 D(X)=E(2)-[E(O]2p-p2=p(1-p)

3 例2 设随机变量X具有(0-1)分布, 其分布律为 P{X=0}=1-p, P{X=1}=p. 求D(X). 解 E(X)=0(1-p)+1p=p, E(X2 )=02(1-p)+12p=p. 由(2.4)式 D(X)=E(X2 )-[E(X)]2=p-p 2=p(1-p)

例3设X(4)求D(X) 解X的分布律为 e PX=k=h!,k=0,1 2 1>0. 上节例6已算得E(X)=4,而 E(H2)=EX(x-1)+=EX(x-1)+E() k-元 k k(k-1) !+=2el (k-2) =2ee1+42+ 所以D()=E(2)[E()2=2

4 例3 设X~p(l), 求D(X). 解 X的分布律为 , 0,1,2, , 0. ! e { = } = =  - l l l k  k P X k k l l l l l l l + - = - + =   = - -  = - 2 2 2 0 ( 2)! e ! e ( 1) k k k k k k k k 上节例6已算得E(X)=l, 而 E(X2 )=E[X(X-1)+X]=E[X(X-1)]+E(X) =l 2e -l e l+l=l 2+l. 所以 D(X)=E(X2 )-[E(X)]2=l

例4设XU(a,b),求D(X) 解Ⅺ的概率密度为 f(x)=b-a a<x<b 其它. 上节例7算得E(X) atb 方差为 D(X)=E(Y2)-[E(X)2 a+b.(6-a dx b-a

5 例4 设X~U(a,b), 求D(X). 解 X的概率密度为 12 ( ) 2 d 1 ( ) ( ) [ ( )] . 2 7 ( ) 0, . , . 1 ( ) 2 2 2 2 2 a b b a x b a x D X E X E X a b E X a x b f x b a b a -  =      + - - = = - + =       = -  上节例 已算得 方差为 其它

例5设随机变量服从指数分布,其概率密度 为 x/0 f(x)=16 x>0 x<0 其中0-0,求E(1),D(X) 解 E(X)= xf(x)dx=l xdedx 0 -x/6 -x/ -re +|e dx=0

6 例5 设随机变量X服从指数分布, 其概率密度 为       = - 0, 0. e , 0, 1 ( ) / x x f x x   e e d , e d 1 ( ) ( )d 0 / 0 / 0 / |      = - + = = =     -  -  -  - x x E X x f x x x x x x x 其中>0, 求E(X), D(X). 解

E(X)=xf(rdx=x/ x/0 dx 2-x/6 r e b2x-x4x=26 +2 于是D(X)=E(2)[E(2=202-02=02 即有E(X)=e,D(X)=02

7 于是 D(X)=E(X2 )-[E(X)]2=2 2- 2= 2 . 即有 E(X)=, D(X)= 2 . e 2 e d 2 , e d 1 ( ) ( )d 2 0 / 0 2 / 0 2 2 2 / |      = - + = = =     -  -  -  - x x x E X x f x x x x x x x

方差的几个重要性质 (1)设C是常数,则D(C)=0 2)设X是随机变量,C是常数,D(CX=C2D( (3)对任意两个随机变量X,y, D(x+)=D()+D(Y) +2E{[XxE(A)[Y-E(功]}(2.5) 特别,若X,Y相互独立,则 D(x+)=D(+D(Y) (26) (4)D(η)=0的充要条件是X以概率1取常数C, P{X=C}=1

8 方差的几个重要性质 (1) 设C是常数, 则D(C)=0. (2) 设X是随机变量, C是常数, D(CX)=C2D(X). (3) 对任意两个随机变量X,Y, D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (2.5) 特别, 若X,Y相互独立, 则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) (2.6) (4) D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C, P{X=C}=1

证(4)证略.下面证明()2)、3) (1)D(C)=E{C-E(C]2}=0 (2)D(CX)=E{CY-E(C)2}=C2E{XE()]2} CD(X) (3)D(+Y)=E{[(+)-E(+)]2} E{[X-E()]}+E{Y-E(Y)]2} +2E{[X-E(O)[Y-E(]} D(x)+D()+2E{[X-E(O)[Y-E(Y)]} 如X,Y相互独立,则XE(X)与Y-E(Y也相互独 立,则E{XE(Y-E(Y)]} ELX-E(XJELY-EYIO

9 证 (4)证略. 下面证明(1),(2),(3) (1) D(C)=E{[C-E(C)]2}=0 (2) D(CX)=E{[CX-E(CX)]2}=C2E{[X-E(X)]2} =C2D(X). (3) D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2} =E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2} +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}. 如X,Y相互独立, 则X-E(X)与Y-E(Y)也相互独 立, 则E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =E[X-E(X)]E[Y-E(Y)]=0

例6设Xb(n2D)求E(X,D(X) 解由二项分布的定义知,随机变量X是n重伯 努利试验中事件A发生的次数,且在每次试验 中A发生的概率为p.引入随机变量: 1,A在第k次试验发生, X=10.,A在第次试验不发生=12n 易知X=X1+X2+…+Xn (2.7) 由于ⅹ只依赖于第k次试验,而各次试验相互 独立,于是X1,X2,n相互独立

10 例6 设X~b(n,p)求E(X),D(X). 解 由二项分布的定义知, 随机变量X是n重伯 努利试验中事件A发生的次数, 且在每次试验 中A发生的概率为p. 引入随机变量: 1,2, . 0, , 1, , k n A k A k Xk =     = 在第 次试验不发生 在第 次试验发生 易知 X=X1+X2+...+Xn , (2.7) 由于Xk只依赖于第k次试验, 而各次试验相互 独立, 于是X1 ,X2 ,...,Xn相互独立

又知Xk=-1,2,…,n服从同一(0-1)分布 X,01 Pk1-p p (27表明以n2p为参数的二项分布变量,可分 解为n个相互独立且都服从以为参数的(0-1) 分布的随机变量之和 由例2知E(X)=P,D(X)=Pp(1-p),k=1,2,,n,则 E(X)=E∑X E(XN=np

11 又知Xk ,k=1,2,...,n服从同一(0-1)分布: p p p X k k 1- 0 1 ( ) ( ) . 1 1 E X E X E X np n k k n k k  = =      =   = = (2.7)表明以n,p为参数的二项分布变量, 可分 解为n个相互独立且都服从以p为参数的(0-1) 分布的随机变量之和. 由例2知E(Xk )=p, D(Xk )=p(1-p), k=1,2,...,n, 则