第三章随机变量及其分布 §3条件分布 条件分布律 条件分布函数 条件概率密度 「]返回主目录
• 条件分布律 • 条件分布函数 •条件概率密度 第三章 随机变量及其分布 §3 条件分布 返回主目录
第三章随机变量及其分布 离散型随机变量的条件分布律 §3条件分布 设(X,y)是二维离散型随机变量,其分布律为 P(Xx,=y}=,i,/=1,2 (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为: P{X=x}=P.=∑P P{Y=y}=p,=∑P 「]返回主目录
一 、离散型随机变量的条件分布律 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,... { } , 1,2, 1 = = = = = • P X x p p i j i i i j { } , 1,2, 1 = = = = = • P Y y p p j i j j i j (X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为： 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 返回主目录
第三章随机变量及其分布 由条件概率公式自然地引出如下定义: §3条件分布 定义:设(X,y)是二维离散型随机变量,对于固定 的j,若P{F=y}>0,则称 PiX=x,r=y p PX=x Y=yI Pr=y) 为在F=y条件下随机变量x的条件分布律 条件分布律具有分布律的以下特性: 0P{X=x1Y=y}20; ∑PX=xY=y}=∑ ∑ P。 「]返回主目录
由条件概率公式自然地引出如下定义： 定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定 的 j , 若P{Y= yj }>0, 则称 , 1,2, { } { , } { | } = = = = = = = = • i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j i j j i j i j 为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 条件分布律具有分布律的以下特性： 1 0 P{ X= xi |Y= yj }0； = • • = • • = = = = = = = 1 1 1 0 1. 1 2 { | } i j j i i i j j j i j i j p p p p p p P X x Y y 返回主目录
第三章随机变量及其分布 同样对于固定的若P{X=x}>0,则称§3条件分布 PX=x,r=y p PY=VIX=x) PX=xi 为在Xx条件下随机变量Y的条件分布律 例1 射手进行射击,击中目标的概率为p,射击到击 中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进 行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数, 试求X和Y的联合分布律以及条件分布律。 解 共目X<K 人赵里晋3+…x的邮里晋p鱼表是
同样对于固定的 i, 若P{X= xi}>0, 则称 , 1,2, { } { , } { | } = = = = = = = = • j p p P X x P X x Y y P Y y X x i i j i i j j i 为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击到击 中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标所进 行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数， 试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。 例 1 并且 ． 的取值是 ， ， ， ； 的取值是 ， ， ， X Y Y X 2 3 4 1 2 解： 返回主目录
第三章随机变量及其分布 X即联史串A §3条件分布 Bx=Wh=w ={鲜平具单中目平共目并单里} b滤甲具中目·目滤以悲二某中目幽 甲矩少婚 b{X=时.=}=db.d b=d.b N-N-I 5 (4=1-b)(=5y…m=P PX=m=∑P{X=m,y=n=∑pq"2 n=m+1 =m+1 ∑q pq"-,m=1,2, n=m+1
, 1,2, 1 { } { , } 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 = = − = = • = = = = = − − = + − = + − = + pq m q q p q p P X m P X m Y n p q m m n m n n m n n m 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 PX = m，Y = n = P第m次射击时首次击中目标，并且共射击n次 = P第m 次射击时首次击中目标 ，且第n次射击时第二次命中目 标 由独立性，可得 ( 其中q =1− p ) (n = 2, 3，； m = 1， 2，， n −1 ) PX m Y n q p q p m n m = = = ， −1 − −1 2 2 q p n = − X的边缘分布律为 X,Y的联合分布律为
第三章随机变量及其分布 §3条件分布 P{Y=n}=∑PX=my=n=∑pqn2=(m-1)2qn2 m=1 m=1 2.3 在Y=n条件下随机变量X的条件分布律为 当n=2,3..时 PX=mr=n (n-1)92n-1.m=1.2 b{X=.k=1}=6 b d.b=d.b J -l- 53 「]返回主目录
2,3, { } { , } ( 1) , 2 2 1 1 2 2 1 1 = = = = = = = − − − = − − = n P Y n P X m Y n p q n p q n n m n n m 在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为 , 1,2, , 1; 1 1 ( 1) { | } 2 2 2 2 = − − = − = = = − − m n n p q n p q P X m Y n n n 当 n=2,3,… 时， 第三章 随机变量及其分布 Y的边缘分布律为 §3条件分布 (n = 2, 3，； m = 1， 2，， n −1 ) PX m Y n q p q p m n m = = = ， −1 − −1 2 2 q p n = − 返回主目录
第三章随机变量及其分布 §3条件分布 在=m条件下随机变量Y的条件分布律为 当m=1,2,3,,时, P(Y=nx=m- PX=m, r=nj-P9"2 PiX=m h pg n-n-1 pg n=m+1,m+2, bx=WI=N=dm-Ibdw S J 3 「]返回主目录
, 1, 2, { } { , } { | } 1 1 2 2 = = + + = = = = = = = − − − − pq n m m pq p q P X m P X m Y n P Y n X m n m m n 在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为 当m=1,2,3,… 时， 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 (n = 2, 3，； m = 1， 2，， n −1 ) PX m Y n q p q p m n m = = = ， −1 − −1 2 2 q p n = − 返回主目录
第三章随机变量及其分布 、条件分布函数 §3条件分布 设(,F)是二维连续型随机变量,由于 Px}=0,P(Fy;}=0 不能直接代入条件概率公式,我们利用极限的 方法来引入条件分布函数的概念 定义:给定y,设对于任意固定的正数e, P{yE0,若对于任意实数x,极限 lim PiX0+ P{X≤x,y-E0 P{y-E<Y≤y+} 存在,则称为在条件Y=y下X的条件分布函数,写 成P{KxY=y},或记为Fx(x 奋]返回主目录
二、条件分布函数 设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于 P{X= xi}=0, P{Y= yj }=0, 不能直接代入条件概率公式，我们利用极限的 方法来引入条件分布函数的概念。 定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ， P{y-0, 若对于任意实数 x，极限 { } { , } lim lim { | } 0 0 − + − + = − + → + → + P y Y y P X x y Y y P X x y Y y 存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，写 成 P{ X x |Y= y }，或记为 FX|Y (x|y). 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 返回主目录
第三章随机变量及其分布 §3条件分布 80F(y+E)-Fy(y-E) lim [ F(x,y+8-F(x,y-8J/28 0 lim [Fy (y+a )-Fr(y-8J/28 E OF(x, y) f( u vaud f(u, y)di (y) fr(y) fr(y) 「]返回主目录
第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 ( ) ( , ) ( ) ( , ) lim [ ( ) ( )]/ 2 lim [ ( , ) ( , )]/ 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) lim { } { , } ( | ) lim 0 0 0 0 | f y f u v dudv y F y d y d y F x y F y F y F x y F x y F y F y F x y F x y P y Y y P X x y Y y F x y Y y x Y Y Y Y Y X Y = = + − − + − − = + − − + − − = − + − + = − − → → → → + + + + , ( ) ( , ) f y f u y du Y x − = 返回主目录
第三章随机变量及其分布 §3条件分布 f(u, ydu xiy(x y)= fy(y) Exu(x y) f(u,y) ∞f(y) 称为在条件Y=y下X的条件分布函数, fxr(xl y) f(x, y) ∫y(y) 州喱虹亚軎X人=小送上送墨连新°
, ( ) ( , ) ( | ) | f y f u y du F x y Y x X Y − = , ( ) ( , ) ( | ) | − = x Y X Y du f y f u y F x y . ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y = 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 称为在条件Y= y下X的条件分布函数， 称为随机变量 X 在Y = y的条件下的条件密度函 数