第四章随机变量的数字特征 §3.几种重要随机变量的数学期望及方差 1两点分布 X01 pk EXp, DX= EX-(EX=p-p= pq 2.二项分布 方法1 PfX=k=Cnp"q",k=o, 1, ..,n EX=∑kCPq”=∑k k n-k k=0 0k(n-k)! k-1 (k-1) (k-1)(n-1-(k-1) []返回主目录
§3.几种重要随机变量的数学期望及方差 EX=p，DX = EX − EX = p − p = pq 2 2 2 ( ) 。 P X k C p q k n k k n k n { = } = , = 0,1,, − 。 方法1： = − = − − = = n k k n k n k k k n k n p q k n k n EX k C p q k 0 0 !( )! ! = − − − − − − − − − = n k k n k p q k n k n np 1 1 1 ( 1) ( 1)!( 1 ( 1))! ( 1)! 第四章 随机变量的数字特征 p p p X k 1− 0 1 2. 二项分布 1.两点分布 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 n-1§3几种期望与方差 k-1k-1_n-1-(k-1)=np EX=np> cn-pq in-1- k=1 i=0 = np(p+q EX2=∑k kk q"k=∑k k n-k p g k=0 k!(n-k)! (k-1)!(n-k) k=1 (k-1) k k-1 n-k p q p g k-1)(n-k) (k-1)(n-k)! (n-2) k=(k-2)(n-2-(k-2)2qn2(-2+mP n(n-1)p2(p+q)-2+m=n2p2-m2+m DX=EX2-(EX)2=n2p2-n p2+np-nip2=npll-p)=npg
= − = − − = = n k k n k n k k k n k n p q k n k n EX k C p q k 0 2 0 2 2 !( )! ! DX = EX − (EX ) = n p − n p + n p − n p = n p(1− p) = npq 2 2 2 2 2 2 2 − = − − − = − − − − − = − = 1 0 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 n i i i n i n n k k k n k EX n p Cn p q n p C p q np p q np n = + = −1 ( ) = − − − − = n k k n k p q k n k n p k 1 1 ( 1)!( )! ! = − − = − − − − + − − = − n k k n k n k k n k p q k n k n p q p k n k n p k 1 1 1 1 ( 1)!( )! ! ( 1)!( )! ! ( 1) p q np k n k n n n p n k k n k + − − − − − = − = − − − − 2 2 2 2 ( 2) ( 2)!( 2 ( 2))! ( 2)! ( 1) n n p p q n p n p n p n p n = − + + = − + 2 −2 2 2 2 ( 1) ( ) §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征 方法2: §3几种期望与方差 X服从(0-1)分布,P{X1=0}=q,P(X1=1l}=p,=1,2…,n 且X1…,X独立,令X=X1+…+X,则Ⅹ的可能 取值为0,1,n, PiX=k=Cpg,k=o EX=∑EX=m,DX=∑DX1=mpq 3.泊松分布 设服从参数为入泊松分布, 其分布律为P(X=k} k EX=∑k e K! e∑ (k-1)! []返回主目录
且 X Xn , , 1 独立，令X = X1 ++ Xn ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n， Xi 服从（0-1）分布，P{Xi = 0} = q,P{Xi = 1} = p,i = 1,2,,n 方法2： P X k C p q k n k k n k n { = } = , = 0, , − EX EX np n i = i = =1 ， , 1 DX DX npq n i = i = = 3．泊松分布 设 X 服从参数为泊松分布， 其分布律为 − = = e k P X k k ! { } ，k=0,1,... = = − = = − = − − = − e e k e e k EX k k k k k 1 1 0 ! ( 1)! §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 §3几种期望与方差 EⅩ ∑k ∑k k=0 (k-1) ∑(k-1) ∑ k=1 (k-1) k=1 (k-1) +he A2+2 k=2(k-2) DX=EX2-(EX)2=2+-= 4均匀分布 ∫1/b-a)a<x<b f(x)=10,其它 +6 EX=xf(x)dx= x,dx []返回主目录
− = 0,其它 1/( ), ( ) b a a x b f x 。 2 1 ( ) a b dx b a EX xf x dx x b a + = − = = − = − = − = − = − − + − = − − = = 1 1 0 1 2 2 ( 1)! ( 1)! ( 1) ! ( 1)! k k k k k k k k e k e k k e k e k k EX k + = + − = − = − − 2 2 2 2 ( 2)! e e k e k k = − = + − = 2 2 2 2 DX EX (EX) §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 4.均匀分布 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 §3几种期望与方差 a+b2(b-a)2 DX= EX-(EX ax 2 12 5.正态分布X~N(,a2 (x-)2 EX=x 2元o ∫(a+)e2dt、 te 2 dt DX=E(X-u) 2 2 e 2 dt dt tde √2丌 y2兀 2丌 te e []返回主目录 2丌 2丌
5．正态分布 ~ ( , ) 2 X N ( ) ,( ) 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 2 2 t x EX x e dx t e dt x t = − = = + − − − − − 12 ( ) ) 2 ( 1 ( ) 2 2 2 2 a b 2 b a dx b a DX EX EX x b a − = + − − = − = = + = − − − − t e dt e dt t t 2 2 2 2 2 2 ,( ) 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 t x DX E X x e d x x = − = − = − − − − − − − − − − = = = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t e d t t e d t tde t 2 2 2 2 2 2 2 2 | 2 = − + = − − − − t e e dt t t §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 §3几种期望与方差 P{X-a}=P{-a≤X≤4+a} ￠(+- -0 )=Φ(l)-Φ(-1)=2d (1)-1=0.6826 P{|X-20}=P{2o≤X≤+2a} 2d(2-1=0.9544 P{X-3o}=P{-3≤X≤+3} =2d(3)-1=0.9974 因此,对于正态随机变量来说,它的值落在区间 4-30,4+30]内几乎是肯定的。 在上一节用切比晓夫不等式估计概率有 P日X-13}0.8889 []返回主目录
P{ − 2 X + 2} P{ −3 X +3} 因此，对于正态随机变量来说，它的值落在区间 [ − 3, + 3 ]内几乎是肯定的。 P{| X − | } = P{ − X +} ( ) ( ) − − − + − = = (1) −(−1) = 2(1) −1= 0.6826 = 2(2) −1= 0.9544 = 2(3) −1= 0.9974 §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 P{| X − | 2} = P{| X − | 3} = P{| X − | 3} 0.8889 在上一节用切比晓夫不等式估计概率有： 返回主目录