第十二章级数 第一节数项级数及其敛散性 思考题: 1.级数收敛的必要条件所起的作用是什么? 答:级数收敛的必要条件可用来判别一些级数的发散性,缩小了收敛级数的范围 2.判定一个级数是否收敛,有哪几种方法? 答:有下列主要方法 (1)利用收敛定义,即考查lnsn是否存在 (2)若为正项级数,则可利用比较判别法或比值判别法 (3)若为非正项级数,考查是否绝对收敛 (4)若为交错级数,用莱布尼茨判别法来判断 习作题: 判别下列数项级数是否收敛 )∑(Vn+1 (2) (3) (4)∑(-1m-1 n(n+1) 解:(1):、m+1-n=1 而级数∑一发散∴级数∑(Ⅵ+1-√m)发散 (2)∑2是公比q=的等比级数,而<1,∴∑ (3)…lim-=lm (n+1)1 n +∞nl =lm(-)” 原级数收敛 4) n(n+1)an(n+1)
第十二章 级数 第一节 数项级数及其敛散性 思考题： 1. 级数收敛的必要条件所起的作用是什么？ 答：级数收敛的必要条件可用来判别一些级数的发散性，缩小了收敛级数的范围. 2. 判定一个级数是否收敛，有哪几种方法？ 答：有下列主要方法： （1）利用收敛定义，即考查 n n s → lim 是否存在. （2）若为正项级数，则可利用比较判别法或比值判别法. （3）若为非正项级数，考查是否绝对收敛. （4）若为交错级数，用莱布尼茨判别法来判断. 习作题： 1. 判别下列数项级数是否收敛： （1） = + − 1 ( 1 ) n n n , （2） =1 3 1 n n , （3） =1 ! n n n n , （4） ( 1) 1 ( 1) 1 1 + − = − n n n n . 解：（1） n n n n + + + − = 1 1 1 2 1 1 + n , 而级数 =1 +1 1 n n 发散, 级数 = + − 1 ( 1 ) n n n 发散. （2） =1 3 1 n n 是公比 3 1 q = 的等比级数，而 q 1， =1 3 1 n n 收敛. （3） n n n a a 1 lim + → = n n n n n n n ! ( 1) ( 1)! lim +1 → + + = n n n n ) 1 lim ( → + = e 1 1 − , 原级数收敛. （4） = − + − 1 1 ( 1) 1 ( 1) n n n n = =1 ( +1) 1 n n n
而级数∑_收敛,故原级数绝对收敛 n=l n(n+ 0 sin 20 sin 36 2.证明级数 sin ne 对任何都收敛 证明: sin n0 1 ≤ 而级数 +-++: 收敛 故因比较判别法知,原级数对任何O都绝对收敛 3.将循环小数0.38化为分数 解:0.38=0.38+10-2×0.38+10-×0.38+10-6×0.38+ 4.判定级数∑ 的敛散性 cosn a 解:因为级数 而级数 收敛,故级数Ssna n=l n n绝对收敛 第二节幂级数 思考题: 1.在收敛区间内幂级数有哪些性质? 答:幂级数的代数性质有:加法运算性质和乘法运算性质.幂级数的分析性质有:连续 性.可导性可积性,即在收敛区间内:(1)连续,(2)可导,且可逐项求导,(3)可积且 可逐项积分 2.如何将一个函数展开成幂级数?间接展开法有哪些优点? 答:函数的幂级数展开可利用直接展开法和间接展开法
而级数 =1 ( +1) 1 n n n 收敛，故原级数绝对收敛. 2. 证明级数 + + + + + 2 2 2 2 sin 3 sin 3 2 sin 2 1 sin n n 对任何 都收敛. 证明： 2 2 sin 1 n n n , 而级数 + + + + + 2 2 3 2 1 3 1 2 1 1 1 n = =1 2 1 n n 收敛, 故因比较判别法知, 原级数对任何 都绝对收敛. 3. 将循环小数 0.38 化为分数. 解： 0.38 = 0.38 +10−2 0.38 +10−4 0.38 +10−6 0.38 + = = 1 2 10 1 38 n n = = = 1 2 99 38 10 38 n n . 4. 判定级数 =1 4 2 cos n n n 的敛散性. 解：因为级数 4 2 cos n n 4 1 n , 而级数 =1 4 1 n n 收敛，故级数 =1 4 2 cos n n n 绝对收敛. 第二节 幂级数 思考题： 1. 在收敛区间内幂级数有哪些性质？ 答：幂级数的代数性质有：加法运算性质和乘法运算性质. 幂级数的分析性质有：连续 性. 可导性. 可积性，即在收敛区间内：（1）连续，（2）可导，且可逐项求导，（3）可积且 可逐项积分. 2. 如何将一个函数展开成幂级数？间接展开法有哪些优点？ 答：函数的幂级数展开可利用直接展开法和间接展开法
间接展开法与直接展开法比较有以下优点: (1)避免直接展开法中求系数an时f(x0)的复杂运算,而由基本展开式可直接求出 (2)根据幂级数运算保持收敛性不变的性质,由基本展开式可直接求出展开式的收敛 区间,因此不必通过求收敛半径等讨论收敛性 3.将函数展开成幂级数与将函数在x=0处展开成泰勒级数两句话的含义一致吗? 答:不一致将函数展开成幂级数可以在任意x=x0处展开,而将函数在x=0处展开 成泰勒级数是指将函数在特定的点x=0处展开成幂级数 4.计算器上,对函数血x的求值算法能通过本节所述的知识实现吗?请详细讨论和实 答:能 习作题: 1.求下列幂级数的收敛域 (1)>nx (2) (2n) 解:(1)=m/ lim (n+1)I/slim 级数∑nlx”的收敛域为{x|x=0 (2)R=lm lim [2(n+1) =lm(2n+1X2n+2 级数Sx 的收敛域为(-∞,+∞) (2n) 2.求幂级数∑(-1)”(n+1)x”的和函数 解:设(x)=∑(-1)”(m+1)x
间接展开法与直接展开法比较有以下优点： （1）避免直接展开法中求系数 n a 时 ( ) 0 ( ) f x n 的复杂运算，而由基本展开式可直接求出 n a , （2）根据幂级数运算保持收敛性不变的性质，由基本展开式可直接求出展开式的收敛 区间，因此不必通过求收敛半径等讨论收敛性. 3. 将函数展开成幂级数与将函数在 x = 0 处展开成泰勒级数两句话的含义一致吗？ 答：不一致.将函数展开成幂级数可以在任意 0 x = x 处展开，而将函数在 x = 0 处展开 成泰勒级数是指将函数在特定的点 x = 0 处展开成幂级数. 4. 计算器上，对函数 ln x 的求值算法能通过本节所述的知识实现吗？请详细讨论和实 验. 答：能. 习作题： 1. 求下列幂级数的收敛域： （1） =1 ! n n n x , （2） =1 (2 )! n n n x . 解：（1） 1 lim + → = n n n a a R = ( 1)! ! lim → n + n n = 1 1 lim n→ n + =0, 级数 =1 ! n n n x 的收敛域为 {x | x = 0} . （2） 1 lim + → = n n n a a R = [2( 1)]! 1 (2 )! 1 lim + → n n n = 1 (2 1)(2 2) lim + + → n n n = +, 级数 =1 (2 )! n n n x 的收敛域为 (−,+) . 2. 求幂级数 = − + 0 ( 1) ( 1) n n n n x 的和函数. 解：设 = = − + 0 ( ) ( 1) ( 1) n n n s x n x
两端关于x求积分得: s(xx=∑ x∈(-1,1) 1+x 两端求导得: s(x)= 即∑(-)"(n+1)x” (1+y2,x∈(-1,1) 3.将∫(x)=-展开成x-3的幂级数,并求收敛域 解:f(x)= 3+(x-3)3 因为∑(-1yx=1x∈(1D 1+x 所以 ∑(-1)"()”(x-3) 其中一1)∠1,即0<x<6 当x=0时,级数为∑发散;当x=6时,级数为∑(-1)·发散 (-1)"()"(x-3)”x∈(0,6) 4.以函数f(x/-+的幂级数展开式为基础,分别求出下列函数的幂级数展开式, 并写出收敛域 (2) (3)ln(l+x), 1+x (4)arctan x (5) cos cot x 解:(1) ∑(-1)"xn,x∈(-1) (2)1+x公(-x2)=∑(-1)”x2,x∈(-11)
两端关于 x 求积分得： s x x x ( )d 0 = = + − 0 1 ( 1) n n n x = x x 1+ x (−1, 1) 两端求导得： 2 (1 ) 1 ( ) x s x + = , 即 = − + − + = 0 2 , ( 1, 1) (1 ) 1 ( 1) ( 1) n n n x x n x . 3. 将 x f x 1 ( ) = 展开成 x − 3 的幂级数，并求收敛域. 解： 3 ( 3) 1 ( ) + − = x f x = ) 3 3 1 ( 1 3 1 − + x , 因为 = + − = 0 1 1 ( 1) n n n x x x (−1, 1) , 所以 = − = − − + 0 ) 3 3 ( 3 1 ( 1) ) 3 3 1 ( 1 3 1 n n x n x = = + − − 0 1 ) ( 3) 3 1 ( 1) ( n n n n x , 其中 1 3 3 1 − − x ， 即 0 x 6. 当 x = 0 时，级数为 =0 3 1 n 发散；当 x = 6 时，级数为 = − 0 3 1 ( 1) n n 发散, 故 x 1 = = + − − 0 1 ) ( 3) 3 1 ( 1) ( n n n n x x (0, 6) . 4. 以函数 x f x − = 1 1 ( ) 的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式， 并写出收敛域. （1） 1+ x 1 , （2） 2 1 1 + x , （3） ln(1+ x) , （4） arctan x , （5） cos cot x . 解：（1） 1+ x 1 = 1 ( ) 1 − −x = = − − 0 ( 1) , ( 1,1) n n n x x . （2） 2 1 1 + x = = − 0 2 ( ) n n x = = − 0 2 ( 1) n n n x , x (−1, 1)
(3)h(1+x)-/1 01+x dx-J∑(-)xad (-)xdx=∑ 刀+l (4)(arctan x) 1+x ∑(-1)”x2,x∈(-1) 于是 arctan-x(-x2dx=S 1, x∈[-1,1 (5)(arc cot x)=- (-1)x,x∈(-1,1), 于是a0co∑(--x2 2n+1 x∈[-1,1 n=02+1 第三节傅里叶级数 思考题: 1.f(x)是定义在[ab]上的函数,且满足收敛定理的条件,如何将其展成以b-a为周 期的傅里叶级数? b+a b 答:可设F(x)=f(x+),则F(x)在[一 ]上有定义,且满足收敛定 理条件,故可展开为以b-a为周期的傅里叶级数 2.函数f(x)的傅里叶级数展开式是否惟一?设以2l为周期的函数f(x),将其在 [-,刀上展开和在[0,2l]上展开的以2l为周期的傅里叶级数是否相同?为什么? 答:(1)f(x)的傅里叶展开式并不惟一,因为不同的区间b上的展开式的系数可能 不同 (2)当/(x)的周期为21时,注意定积分恒等或∫。f(xkx=∫f(x)dx,其中 f(x)的周期为2l,a为任意常数,则可知将f(x)在[-,展开和在D,2上展开的傅里 叶级数相同
（3） ln(1+ x) = + x x x 0 d 1 1 = = − x n n n x x 0 0 ( 1) d = = − 0 0 ( 1) d n x n n x x = = + + − 0 1 1 ( 1) n n n x n , x (−1, 1]. (4) 2 1 1 (arctan ) x x + = = = − − 0 2 ( 1) , ( 1,1) n n n x x , 于是 arctan x = = − x n n n x x 0 0 2 ( 1) d = ( ) = + + − 0 2 1 2 1 1 n n n x n , x [−1, 1]. (5) 2 1 1 (arc cot ) x x + = − = = + − − 0 1 2 ( 1) , ( 1,1) n n n x x , 于是 arc cot x = = + − x n n n x x 0 0 1 2 ( 1) d = ( ) = + + + − 0 2 1 1 2 1 1 n n n x n , x [−1, 1]. 第三节 傅里叶级数 思考题： 1. f (x) 是定义在 a,b 上的函数, 且满足收敛定理的条件，如何将其展成以 b − a 为周 期的傅里叶级数？ 答：可设 ) 2 ( ) ( b a F x f x + = + ，则 F(x) 在 ] 2 , 2 [ b − a b − a − 上有定义，且满足收敛定 理条件，故可展开为以 b − a 为周期的傅里叶级数. 2. 函数 f (x) 的傅里叶级数展开式是否惟一？设以 2 l 为周期的函数 f (x) ，将其在 [−l, l] 上展开和在[0，2 l ]上展开的以 2 l 为周期的傅里叶级数是否相同？为什么？ 答：（1） f (x) 的傅里叶展开式并不惟一，因为不同的区间 a,b 上的展开式的系数可能 不同. （2）当 f (x) 的周期为 2l 时，注意定积分恒等或 + f x x = f x x l a a l ( )d ( )d 2 2 0 ，其中 f (x) 的周期为 2 l ，a 为任意常数，则可知将 f (x) 在 [−l, l] 展开和在 0, 2l 上展开的傅里 叶级数相同
习作题: 1.将周期为1的函数∫(x)=1-x2(-1≤x≤)展成傅里叶级数 解:令x=,则得F()在[兀x]上的表达式为 F(1)=1 4π ∫FO对=∫ ∫=F(sy= cos ntt 2 at2 cos ntt=3「5=tsn -COS nTT bn=「=F()indr= 缸2/smdr=0 f(x)的傅里叶展开式为 11 CoS I x(-≤x≤ 把f(x)=1-x(0≤x≤1)展开成正弦级数和余弦级数 解:(1)先将/(x)延拓为奇函数f(x)={ <x 再作变换x=-1,得 0<t≤兀 F1(1) 丌≤x<0 由b=F() sn ndiS3 2∫(-)sind=(-).2 得F(=∑(y2 ≤t≤π且t≠0 令【=πx,得f(x)的正弦级数展开式为 snnπx,0<x≤1, x=0
习作题： 1. 将周期为 1 的函数 2 f (x) = 1− x ) 2 1 2 1 (− x 展成傅里叶级数. 解：令 2π t x = ，则得 F(t) 在 −π ,π 上的表达式为 2 2 4π ( ) 1 t F t = − ， 6 11 d 4π 1 π 1 ( )d π 1 2 2 π π π 0 π = = = − − − t t a F t t ， a F(t) nt t n cos d π 1 π = −π = nt t t cos d 4π 1 π 1 2 2 π π − − = t cos ntdt 2π 1 π 2 − 3 0 = t nt t n sin d 2 2π 1 π 3 0 = ( ) ( ) ( ) 2 1 2 π 1 cos π π 1 n n n n+ − = − ， F(t) nt t n bn sin d 1 π = −π = nt t t sin d 4π 1 π 1 2 2 π π − − =0 f (x) 的傅里叶展开式为 ( ) ( ) ( ) n x n f x x n n cos π 1 12 11 1 1 2 1 2 − = − = + = + ) 2 1 2 1 (− x 2. 把 f (x) = 1− x (0 x 1) 展开成正弦级数和余弦级数. 解: (1)先将 f (x) 延拓为奇函数 − − − − = 1 , 1 0, 1 , 0 1, ( ) 1 x x x x f x 再作变换 x t π 1 = , 得 − − − − = , π 0, π 1 , 0 π , π 1 ( ) 1 x t t t F t 由 b F t nt t n ( )sin d π 1 1 π = −π = nt t t )sin d π (1 π 2 π 0 − = π 2 ( 1) 1 n n − + ， 得 ( ) 1 F t = = + − 1 1 sin π 2 ( 1) n n nt n , −π t π 且 t 0. 令 t =π x , 得 f (x) 的正弦级数展开式为 = − − = = + 1, 0. sin π , 0 1, ( 1) π 2 1 1 1 x n x x x n n n
1-x,0≤x≤1, (2)先将∫(x)延拓为偶函数/2(x)= 再作变换x=-t,得 1+x.-1≤x<0 0<t<兀 F2() π≤x<0, ∫=F0=2 FC 4 为奇数时, 0.n为偶数时, 得F2()=+-2(Cost+ cos 3t coS 5t +…),一π≤t≤ 令t=πx,得f(x)的余弦级数展开式为 cos nt x 0≤x<1 f(2n+1)
(2) 先将 f (x) 延拓为偶函数 + − − = 1 , 1 0, 1 , 0 1, ( ) 2 x x x x f x 再作变换 x t 1 = , 得 + − − = , π 0, π 1 , 0 π, π 1 ( ) 2 x t t t F t 由 )d 1 π (1 π 2 ( )d π 1 π 2 0 π 0 = π = − = − t t a F t t , a F t nt t n ( ) cos d π 1 1 π = −π = nt t t ) cos d π (1 π 2 π 0 − = 0, , , , π 4 2 2 为偶数时 为奇数时 n n n 得 ( ) 2 F t = ) 5 cos5 3 cos3 (cos π 4 2 1 + 2 + 2 + 2 + t t t , −π t π , 令 t =π x , 得 f (x) 的余弦级数展开式为 = + − = + 1 2 2 cos π (2 1) 1 π 4 2 1 1 n n x n x , 0 x 1